1、 - 1 - 福建省东山县 2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理 一、选择题 (本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分 ) 1 已知命题 p： ? x0， 总有 (x 1)ex1， 则 p为 ( ) A ? x0 0， 使得 (x0 1)ex0 1 B ? x00， 使得 (x0 1)ex0 1 C ? x0， 总有 (x 1)ex 1 D ? x 0， 使得 (x 1)ex 1 2 某公司 10位员 工的月工资 (单位：元 )为 x1， x2，?， x10， 其均值和方差分别为 x 和 s2，若从下月起 每位员工的月工资增加 100 元 ， 则这 10 位员工下月工资的均
2、值和方差分别为 ( ) A.x ， s2 1002 B x 100， s2 1002 C.x ， s2 D x 100， s2 3 一个人打靶时连续射击两次，事件 “ 至少有一次中靶 ” 的互斥事件是（ ） A 至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶 4 设 点 P(x， y)， 则 x 2且 y 1是点 P在直线 l： x y 1 0上的 ( ) A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5 高三某班有学生 56 人 ， 现将所有同学随机编号 ， 用系统抽样的方法 ， 抽取一个容量为 4的样本 ， 已知 5号、 33号
3、、 47号学生在样本中 ， 则样本中还有一个学生的编号为 ( ) A 13 B 17 C.19 D 21 6.一只蚂蚁一直在三边长分别为 3,4,5 的三角形的边上爬行 ,该蚂蚁距离三 角形的三个顶点的距离均超过 1的概率为 ( ) A. B. C. D. 7右 图是把二进制的数 11111(2)化成十进制的数的一个程序框图 ， 则判断框内应填入的条件是 ( ) A i5? B i5? C i4? D i4? 8 某车间生产一种玩具 ， 为了要确定加工玩具所需要的时间 ， 进行了 10次实验 ， 数据 如下： 玩具个数 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 加工时间 4 7 12
4、 15 21 25 27 31 37 41 如回归方程的斜率是 b ， 则它的截距是 ( ) - 2 - A.a 11b 22 ； B.a 22 11b ； C.a 11 22b ； D.a 22b 11 9若直线 mx ny 4 与圆 O： x2 y2 4 没有交点，则过点 P(m， n)的直线与 椭圆 149 22 ? yx 的交点个数为 ( ) A至多一个 B 2 C 1 D 0 10. 已知 00( , )M x y 是双曲线2 2:12xCy?上 的一点， 12,FF 是 C 上的两个焦点，若120MF MF?，则 0y 的取值范围是（ ） A.（ - 33 ，33） B.（ - 3
5、6 ， 36 ） C.（ 223? ， 223 ） D.（ 233? ， 233 ） 11.已知双曲线 xy a ,bab? ? ? ?22 1( 0 0 )的右焦点为 F ，过点 F 作斜率为 ?1 的直线 l 交双曲线的渐近线于点 P （点 P 在第一象限）， O 为坐标原点，若 OFP? 的面积为 ab?228，则该双曲线的离心率为（ ） 、53、 73 、 103 、 153 12.已知椭圆 的左顶点为 ，左焦点为 ，点 为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为 ，离心率 ，则 的取值范围是 ( ) A. 0,12 B. 0.10 C.-4,10 D.-4,12 二、填空题
6、(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 ) 13 甲 、 乙 、 丙三人进行传球练习 ， 共传球三次 ， 球首先从甲手中传出 ， 则第 3 次球恰好传回给甲的概率是 _ ； 14.已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为 1/2， E 的右焦点与抛物线 2:8C y x? 的焦点重合 ， ,AB是 C 的准线与 E 的两个交点，则 |AB? ； 15甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为 a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为 b，且 a， b 0,1,2， ? ， 9若 |a b|1 ，则称甲乙 “ 心有灵犀 ” 现任意找两人玩这个游戏，则二人 “ 心有灵犀 ” 的概率
7、为 _ ; - 3 - 16已知 为坐标原点， 是椭圆 （ ）的左焦点， ， 分别为 的左、右顶点， 为 上一点，且 轴，过点 的直线 与线段 交于点 ，与 轴交于点 。若直线 经过 的中点，则 的离心率为 . 三、解答题 (17题 10 分，其余每题 12 分，共 70分 ) 17. （ 10 分） 已知命题 ，命题 q: ? .若命题 “ ” 是 假 命题， “ p q” 是 真 命题 ， 求实数 a的取值范围 18. （ 12分） 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价 x（元） 8 8 2 8 4 8 6 8 8 9 销量 y（
8、件） 90 84 83 80 75 68 （ 1）求回归直线方程 bx a，其中 b 20， a ； （ 2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（ 1）中的关系，且该产品的成本是 4元 /件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润销售收入成本） 参考公式： 19. （ 12分） 已知抛物线 2x?2y , - 4 - (1)设点 A的坐标为 2,03（ ） ,求抛物线上距离点 A最近的点 P的坐标及相应的距离 |PA|; (2)在抛物线上求一点 P,使 P到直线 x-y+3=0的距离最短 ,并求出距离的最小值 . 20.(12 分 )某中学的高二 (1)班男同学有 45 名
9、 ,女同学有 15 名 ,老师按照分层抽样的方法组建了一个 4人的课外兴趣小组 . （ 1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数 ; （ 2）经过一个 月的学习、讨论 ,这个兴趣小组决定选出 2名同学做某项实验 ,方法是先从小组里选出 1名同学做实验 ,该同学做完后 ,再从小组内剩下的同学中选 1名同学做实验 ,求选出的2 名同学中恰有一名女同学的概率 ; （ 3）实验结束后 ,第一次做实验的同学得到的实验数据为 68,70,71,72,74,第二次做实验的同学得到的实验数据为 69,70,70,72,74,请问哪位同学的实验更稳定 ?并说明理由 . 21. （ 12分） 已知
10、椭圆 C： （ ），四点 ， ， ，中恰有三点在椭圆 C上。 （ 1）求 C的方程； （ 2）设直线 l不经过 P2点且与 C相交于 A， B两点。若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和为 -1，证明： l过定点。 22. （ 12分） 设圆 2 2 15 0yx? ? ? ?2x 的圆心为 A，直线 l过点 B(1,0)且与 x轴不重合，l 交圆 A于 C， D两点，过 B作 AC 的平行线交 AC 于点 E。 - 5 - （ 1）证明 |EA|+|EB|为定值，并写出点 E的轨迹方程； （ 2）设点 E的轨迹为曲线 C1，直线 l交 C1于 M， N两点，过 B且与 l垂直的直线与圆 A交
11、于 P，Q 两 点，求四边形 MPNQ面积的取值范围。 - 6 - 高二年理科数学期中考试卷参考答案 1B;2D;3D;4A;5C;6D;7D;8B;9B;10A;11C;12A; 13 14 14. 6 15. 725 16. 1/3 17解 : p: a 1 q: a 1或 a -2 若 p真 q假，则 2 a 1 若 p假 q真，则 a 1 综上， a (-2,1) (1,+ ) 18解： （ 1）由于 8 5， 80 所以 a b 80 208 5 250， 从而回归直线方程为 20x 250 （ 2）设工厂获得的利润为 L元，依题意得 L x（ 20x 250） 4（ 20x 250
12、） 20x2 330x 1 000 20（ x ） 2 361 25 当且仅当 x 8 25时， L取得最大值 故当单价定为 8 25元时，工厂可获得最大利润 19 解： (1) 设 抛 物 线 上 上 的 点 , 则, 当 时 , 达到最小值 , 当点 P的坐标为 时 , ; (2) 设 为 该 抛 物 线 上 任 一 点 , 那么 , 则点 P 到 直 线 的 距 离, 当且仅当 时 ,取 “=” , 此时点 . - 7 - 即抛物线上的点 P 的坐标为 时 ,点 P到直线 的距离最短 ,最小值为. 20解 :(1) P= ,某同学被抽到的概率为 . 设有 x名男同学 ,则 , x=3.男
13、、女同学的人数分别为 3,1. (2)把 3 名男同学和 1 名女同学记为 a1,a2,a3,b,则选取 2 名同学的基本事件有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a1),(a2,a3),(a2,b),(a3,a1),(a3,a2),(a3,b),(b,a1), (b,a2),(b,a3)共 12种 ,其中有 1名女同学的有 6种 , 选 出的 2名同学中恰有 1名女同学的概率为 P= . (3) =71, =71, s1= =2, s2= , 第二个同学的实验更稳定 . 21解： （ 1）由已知得，根据椭圆的对称性 ， 必然在椭圆上，代入得，则剩余一点必然为 ，代入得 ，所
14、以 ， 。椭圆的方程为。 （ 2）当直线 的斜率存在时，设直线方程为 ，将直线方程与椭圆方程联立，得 ，设 ， ，由韦达定理得， 。则 ， 。又由，得 。代入直线方程，及韦达定理的结论，得，化简，得 ，因为直线不过点 ，所以 ，则 ，所以 的方程为 ，即直线过定点 。 - 8 - 当直线 的斜率不存在时，设 ， ，由斜率之和为 ，得 ，得，此时 的方程为 ，但此时 与椭圆只有一个交点，不符合题意，故舍去这种情况。 因此， 直线 必过 定 点 。 22解： （ 1）将圆的方程化为标准方程： ，由于 ，则 ，又 ，所以 ，因此 ，所以 ，这样就得到了 为定值 ，由题设得 ， ， ，根据椭圆的定义，点 的轨迹方程为： （ ）。 （ 2）设 （ ），则在 中应用余弦定理，有，结合 ，可解得 。类似的，可得，从而 。此时直线 的方程为，于是圆的弦长 。所以可得四边形 的面积 ，因为 ，所以 ，于是四边形 的面积的取值范围是 。
