1、 - 1 - 安徽省淮南市 2017-2018 学年高二数学上学期期中试题 理 一、选择题（每题 5 分，共 12 题） 1.椭圆 22125 169xy?的焦点坐标是（ ） A.(5,0)? B.(0, 5)? C.(0, 12)? D.( 12,0)? 2.已知直线 ,ab，平面 ,?，且 a ? ， b ? ，则“ ab? ”是“ /?”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在直角坐标系中，方程 | | 1xy? 的曲线是（ ） A B C D 4.将图 1 所示正方体截去两个三棱锥，得到图 2 所示的几何体，则该几何体的侧视图为（
2、 ） A. B. C. D. 5.椭圆 221 :116 9xyC ?和 222 : 1 (0 9 )9 1 6xyCkkk? ? ? ?有（ ） A.相等的焦距 B.等长的长轴 C.相等的离心率 D.等长的短轴 6.有关下列命题，其中说法错误的是（ ） A.命题“若 2 3 4 0xx? ? ? ，则 4x? ”的否命题为“若 2 3 4 0xx? ? ? ，则 4x? ” - 2 - B.“ 0x? ”是“ 5x? ”的必要不充分条件 C.若 pq? 是假命题，则 p ， q 都是假命题 D.命题“若 1x? 且 3y? ，则 4xy?”的等价命题是“若 4xy?，则 1x ? 或 3y?
3、 ” 7.已知直线 y x c?过椭圆 22 1( 0)xy abab? ? ? ?短轴的一个顶点，则离心率为（ ） A. 33 B. 22 C.12 D. 24 8.如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， E ， F 分别是 11CD， 1CC 的中 点，则异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为（ ） A.255 B. 55 C. 65 D.5618 9.中心为 (0,0) ，一个焦点为 (0,5 2)F 的椭圆，截直线 32yx?所得弦中点的横坐标为 12 ，则该椭圆方程是（ ） A. 2222175 25xy? B. 22175 25xy? C. 22125
4、75xy? D. 2222125 75xy? 10.在体积为 43 的三棱锥 S ABC? 中， 2AB BC?， 90ABC? ? ? ， SA SC? ，且平面SAC? 平面 ABC ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（ ） A.823? B.92? C.272? D.12? 11.设 12,AA分别为椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的左右顶点，若在椭圆上存在点 P ，使得1212PA PAkk? ，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. 1(0, )2 B. 2(0, )2 C. 1( ,1)2 D. 2( ,1)2 12.如图，正方体 1
5、1 1 1ABCD A B C D? 的棱长为 1， E 为 11AB 的中点，则下列五个命题： 点 E 到平面 11ABCD 的距离为 12 ； 在空间与 1DD ， AC ， 11BC 都相交的直线有无数条； - 3 - 空间四边形 1ABCD 在正方体六个面内的射影围成的图形中，面积最小的值为 12 ； 过 1CC 的中点与直线 1BC 所成角为 40? 并且与平面 11BBD 所成角为 50? 的直线有 3 条。 其中真命题个数（ ） . A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（每题 5 分，共 4 题） 13.命题 0:p x R? ，使得 20010xx? ? ? ，写出命题
6、p 的否定 . 14.焦点在 y 轴上的椭圆 2212xym?的离心率为 12 ，则 m 的值为 . 15.如图，已知在一个二面角的棱上有两个点 A ， B ，线段 AC ， BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于交线 AB ， 4AB? ，6AC? ， 8BD? ， 2 17CD? ，则这个二面角的度数为 . 16.已知 22 ( , ) | 2 3M x y x y? ? ?， ( , ) | N x y y m x b? ? ?.若对于所有的 mR? ，均有MN? ? ，则 b 的取值范围是 . 三、解答题（ 17 题 10 分， 18-22 题 12 分） 17.已知命题 p ：
7、方程 2213 2 3xyaa?表示焦点在 y 轴上的椭圆；命题 q ：点 ( ,1)Pa 在椭圆22123xy?的外部 .若 ()pq? 为真，求 a 的取值范围 . 18.已知中心在坐标原点的椭圆，经过点 (2,3)A ，且过点 (2,0)F 为其右焦点 . （ 1）求椭圆的标准方程；（ 2） P 是（ 1）中所求椭圆上的动点，求 PF 中点 Q 的轨迹方程 . - 4 - 19.如图组合体中，三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的侧面 11ABBA 是圆柱的轴截面（过圆柱的轴，截圆柱所得的截面）， C 是圆柱底面圆周上不与 A ， B 重合的一个点 . （ 1）求证：无论点 C 如何运动
8、，平面 1ABC? 平面 1AAC ； （ 2）当点 C 是弧 AB 的中点时，求四棱锥 1 1 1A BCCB? 与圆柱的体积比 . 20.设 12,FF分别是椭圆 E ： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的左、右焦点，过点 1F 的直线交椭圆 E 于A ， B 两点， 11| | 3| |AF BF? （ 1）若 2| | 4,AB ABF? 的周长为 16，求 2|AF ； （ 2）若2 3cos 5AF B?，求椭圆 E 的离心率 . 21.已知多面体 ABCDEF 如图所示，其中 ABCD 为矩形， DAE? 为等腰直角三角形， DA AE? ，四边形 AEFB 为梯形，
9、且 /AE BF ，90ABF? ? ? ， 22AB BF AE? ? ?. （ 1）若 G 为线段 DF 的中点，求证： /EG 平面 ABCD ； （ 2）线段 DF 上是否存在一点 N ，使得直线 BN 与平面 FCD 所成角的余弦值等于 215 ？若存在，请指出点 N 的位置；若不存在，请说明理由 . - 5 - 22.如图，已知离心率为 32 的椭圆 C ： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?过点 (2,1)M ， O 为坐标原点，平行于 OM 的直线 l 交椭圆 C 与不同的两点 A ， B . （ 1）求椭圆 C 的方程 . （ 2）证明：直线 ,MAMB 斜率之和为
10、定值 . 答案 选择题： 1-5 CBCBA 6-10 CBACA 11-12 DC 填空题 13. 2, 1 0x R x x? ? ? ? ? 14.32 15.60? 16. 66 , 22? 解答题 17. 230 3a? 18.(1) 依题意，可设椭圆 C 的方程为 ? ?22 10xy abab? ? ? ?， - 6 - 且可知左焦点为 ? ?2,0F? ? ，从而有 22 3 5 8ca A F A F? ? ? ? ? ?，解得 24ca?，又2 2 2a b c?，所以 2 12b? ，故椭圆 C 的方程为 22116 12xy? （ 2）设 00( , ), ( , )P
11、 x y Q x y Q 为 PF 的中点 0000222222xxxxyyyy? ? ? ? ?由 P 是 22116 12xy?上的动点 22(2 2) 4 116 12xy? ?， 即 Q 点的轨迹方程是 22( 1) 143xy? ?19.（ 1）由条件， AB 为底面圆的直径， C 是圆柱底面圆周上不与 A 、 B 重合的一个点，所以 AC BC? ，又圆柱母线 1AA? 平面 ABC ，则 1AA BC? ， 1AA AC A? 点， 所以 BC? 平面 1AAC ，从而平面 1ABC ? 平面 1AAC ； （ 2） 设圆柱的母线长为 h ，底面半径为 r ，则圆柱的体积为 2r
12、h? ， 当点 C 是弧 AB 的中点时， ABC? 为等腰直角三角形，面积为 2r ， 三棱锥 1A ABC? 的体积为 221133r h r h? ? ? ， 三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的体积为 2rh， 则四棱锥 1 1 1A BCCB? 的体积为 2 2 21233r h r h r h?， 四棱锥 1 1 1A BCCB? 与圆柱的体积比为 23? 20.（本小题满分 13 分） 解：（ 1）由 11| | 3| |AF FB? ， | | 4AB? 得： 1| | 3AF? ， 1| | 1FB? - 7 - 2ABF? 的周长为 16，由椭圆定义可得 4 16a? ，
13、 12| | | | 2 8AF AF a? ? ?. 故 21| | 2 | | 8 3 5A F a A F? ? ? ? ?. （ 2）设 1|FB k? ，则 0k? 且 1| | 3 ,| | 4AF k AB k?， 由椭圆定义可得 22| | 2 3 , | | 2A F a k B F a k? ? ? ?. 在 2ABF? 中，由余弦定理可得 2 2 22 2 2 2 2| | | | | | 2 | | | | c o sA B A F B F A F B F A F B? ? ? ? ?， 即 2 2 2 6( 4 ) ( 2 3 ) ( 2 ) ( 2 3 ) ( 2
14、)5k a k a k a k a k? ? ? ? ? ? ? ?， 化简可得 ( )( 3 ) 0a k a k? ? ?，而 0ak?，故 3ak? . 于是由 21| | 3 | |AF k AF?， 2| | 5BF k? ， 因此 2 2 222| | | | | |BF AF AB?，可得 12FA FA? ， 故 12AFF? 为等腰直角三角形 . 从而 22ca? ，椭圆 E 的离心率 22ce a? . 21.（ 2） N 与 D 重合 22.（）解：设椭圆 C 的方程为： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?， 由题意得：222 2 232411caaba b c
15、? ?，解得 2 8a? ， 2 2b? ， 椭圆方程为 22182xy? （）证明：由直线 /l OM ，设 l ： 12yx?， 将式子代入椭圆 C 得： 222 2 4 0x mx m? ? ? ?， - 8 - 设1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则122x x m? ?，212 24x x m?， 设直线 MA 、 MB 的斜率分别为12,kk， 则 11 1 22yk x ? ?， 22 2 12yk x ? ? 121211112222x m x mkk xx? ? ? ? ? ?， 121 2 1 241 2 ( ) 4xxm x x x x? ? ? ? ? ?2 24102 4 2 ( 2 ) 4mm mm? ? ? ? ? ? ?.
