1、 - 1 - 2017 2018学年上学期竞赛试卷 高二数学（理科）试卷 总分： 150分 时间： 120分钟 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。 1、设集合 21 , 2 , 4 , | 4 0 A B x x x m? ? ? ? ?，若 1AB? ，则 B? （ ） A 1, 3? B. 1,0 C. 1,3 D. 1,5 2、 设 a b R?， ，则 “ ab? 是 “ 11ab? ” 的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3、 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 4 2 2?
2、B. 228 3 ? C 224 3 ? D. 8 2 2? 4、 将 sin 26yx?的图象向左平移 6? 个单位，则所得图象的函数解析式为 （ ） A. sin2yx? B. cos2yx? C. sin 23yx?D. sin 26yx?5、设点 M 是 ABC? 所在平面内一点，且 12AM MB? ，则 CM 等于（ ） A. 2133CA CB? B. 1233CA CB? C. 1122CA CB? D. 22CA CB? 6 设 0, 0ab?，若 3 是 33ab与 的等比中项，则 11ab? 的最小值为（ ） A. 8 B. 14 C. 4 D. 1 7、若 43tan
3、? ，则 ? ? 2sin2cos 2 （ ） A. 1625 B. 2548 C. 1 D. 6425 - 2 - 8、 下面程序执行后输出的结果是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9、 在棱长为 a 的正方体中随机地取一点 P，则点 P 与正方体各表面的距离都大于 3a 的概率为 ( ) A. 127 B. 116 C. 19 D. 13 10、 若偶函数 ?fx在 ? ?,0? 上单调递增， ? ? ? ? 3224lo g 3 , lo g 5 , 2a f b f c f? ? ? ?， 则,abc满足（ ） A. abc? B. c a b? C. bac? D. c
4、 b a? 11、已知函数 2 11( ) s in s in ( 0 )2 2 2xf x x? ? ? ? ?， xR? ，若 ()fx在区间 ( ,2)?内没有零点，则 ? 的取值范 围是（ ） A 1(0, 8 B 1 1 5(0, , 8 4 8 C. 5(0, 8 D. 15(0, ,1)48 12、数列 na 满足 12)1(1 ? naa nnn ，则数列 na 的前 60项和为（ ） A 3690 B 3660 C 1845 D 1830 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分。 13、 已知 21,ee 是夹角为 32? 的两个 单位向量， 21 2eea
5、? ， 21 eekb ? ，若 ba? ，则 k的值为 。 - 3 - 14、 已知 实数 ,xy 满足30102xyxyx? ? ? ? ?， 则 2yx? 的最小值 为 _。 15 、在 ABC? 中 ， 内 角 ,ABC 的 对 边 分 别 为 ,abc ， 且 满 足2 2 2s in s in s in s in s inA B A B C? ? ?，则 acb? 的取值范围为 _。 16、已知函数2| |,() 2 4 , 0x x mfx x m x m x? ? ? ? ?，其中 0m? ，若存在实数 b ，使得关于 x 的方程 ()f x b? 有三个不同的根，则 m 的取
6、值范围是 _。 三、解答题（共 70分） 17、（本小题 12分） 已知 ? ? 22 3 s in c o s 2 c o sf x x x x?. （ 1）求 ?fx的单调递增区间； （ 2）在 ABC? 中， 4BC? ， sin 2sinCB? ，若 ?fx的最大值为 ? ?fA，求 ABC? 的面积 . 18、 （本小题 10 分） 已知函数 ( ) | 2 | | 2 3 |f x x a x? ? ? ?， ( ) | 1| 2g x x?. （ 1）若 1a? ，求不等式 ( ) 6fx? 的解集； （ 2）若对任意的 1xR? ，都有 2xR? ，使得 12( ) ( )f
7、x g x? 成立，求实数 a 的取值范围。 19、（本小题 12分） 如图，在四棱锥 中，底面 ABCD为正方形， 平面 ，已知 AE=DE=2， 为线段 的中点 （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求四棱锥 的体积 - 4 - 20、（本小题 12分） 数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 0na? ， 2 2 4 3n n na a S? ? ?， （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）设11nnnb aa?，求数列 nb 的前 n 项和 nT 。 21、（本小题 12分） 已知函数 1( ) ln 1xfx x? ? （ 1）判断函数 ()fx的奇偶性并给出证明； （ 2）对
8、于 2,6x? ， 1( ) ln ln1 ( 1 )(7 )xmfx x x x? ? ?恒成立，求实数 m 的取值范围。 22、（本小题 12分） 已知圆 C： 22( 3) 4xy? ? ?， 一动直线 l 过 A( 1， 0)与圆 C相交于 P、 Q两点 ， M是 PQ 中点 ，直线 l 与直线 m ： 3 6 0xy? ? ? 相交于 N. (1)求证：当 l 与 m 垂直时 ， l 必过圆心 C； (2)当 PQ 2 3 时 ， 求直线 l 的方程； (3)探索 AM AN 是否与直线 l 的倾斜角有关？若无关 ， 请求出其值；若有关 ， 请说明理由 - 5 - 高二数学（理科）竞
9、赛答案 选择题： CDBBA、 C DAAC、 BD 填空题： 13、 45 14、 32 15、 23(1, 3 16、 (3, )? 17 、 试 题 解 析 ： （ 1 ） ? ? 22 3 s in c o s 2 c o sf x x x x? ? ?3sin 2 1 co s 2xx? ? ? ? 312 sin 2 c o s 2 122xx?2sin 2 16x? ? ?， 当 2 2 22 6 2k x k? ? ? ? ? ? ? ?时，得 63k x k? ? ? ? ? ?fx的单调递增区间为 ,63kk? ? ?， kZ? （ 2） sin 2sinCB? ，由正弦定
10、理得 2cb? ， ?fx的最大值为 ? ?fA 2262Ak? ? ， kZ? 3Ak? ? ， kZ? 又 ? ?0,A ? 3A ? 在 ABC? 中，由余弦定理得 : ? ?2221 6 2 4 co sb b b A? ? ? 433b? ABC? 的面积 1 8 3sin23S bc A? 18、 (1)2,1? (2) | 1 5a a a? ? ? ?或 19、 1）连结 BD和 AC 交于 ，连结 ， ABCD为正方形， 为 中点， 为 中点， ， 平面 ， 平面 ACF 平面 （ 2） 四棱锥 的体积 20、（ 1） 21nan? （ 2）3(2 3)n nT n? ?-
11、6 - 21、（ 1）奇函数（ 2） (0,7) 22、 (1)证明： l 与 m垂直 ， 且 km 13 ， kl 3.又 kAC 3， 所以当 l与 m垂直时 ， l的方程为 y 3(x 1)， l必过圆心 C. (2)解： 当直线 l 与 x 轴垂直时 ， 易知 x 1 符合 题意 当直线 l 与 x 轴不垂直时 ， 设直线 l 的方程为 y k(x 1)， 即 kx y k 0.因为 PQ 2 3 ， 所以 CM 43? 1， 则由CM2| 3|1kk 1， 得 k 43 ， 直线 l： 4x 3y 4 0.从而所求的直线 l 的方程为 x 1或 4x 3y 4 0. (3)解： CM
12、MN ， AM AN (AC CM ) AN AC AN CM AN AC AN . 当 l与 x轴垂直时 ， 易得 N 51,3?， 则 AN 50,3?.又 AC (1， 3)， AM AN AC AN 5； 当 l的斜率存在时 ， 设直线 l的方程为 y k(x 1)， 则由 13 6 0y k xxy? （ ） ， ，得 N 3 6 51 3 1 3kk? ， ， 则 AN 551 3 1 3kkk?， . AM AN AC AN 551 3 1 3kkk? 1+ 5. 综上 ， AM AN 与直线 l的斜率无关 ， 且 AM AN 5. 另解：连结 CA并延长交 m于点 B， 连结 CM， CN， 由题意知 ACm ， 又 CMl ， 四点 M、 C、 N、B 都在以 CN 为直径的圆上 ， 由相 交 弦定理 ，得 AM AN |AM| |AN| |AC| |AB| 5.
