1、 专题专题 05：极值点偏移第三招：极值点偏移第三招含对数式的极值点含对数式的极值点偏移问题偏移问题 前面我们已经指明并提炼出利用判定定理解决极值点偏移问题的策略：若 ( ) fx的极值点为 0 x，则根 据对称性构造一元差函数 ( )()()00 F xf xxf xx=+-，巧借 ( ) F x的单调性以及 ( ) 00F=，借助于 ( )()()120 02 fxfxfxxx 轾 =- 臌 与 ()002 fxxx 轾 +- 臌 ()02 2fxx=-，比较 2 x与 01 2xx-的大小，即 比较 0 x与 21 2 xx+ 的大小有了这种解题策略，我们师生就克服了解题的盲目性，细细咀
2、嚼不得不为其绝妙 的想法喝彩。 本文将提炼出极值点偏移问题的又一解题策略：根据 ( )( )12 f xf x=建立等式，通过消参、恒等变形 转化为对数平均，捆绑构造函数， 利用对数平均不等式链求解 例. 已知函数 2 ( )ln(2) .f xxaxa x=-+- （1）讨论( )f x的单调性； （2）设0a，证明：当 1 0 x a -； （3）若函数( )yf x=的图象与x轴交于,A B两点，线段AB中点的横坐标为 0 x，证明： 0 ()0fx . 【问题的进一步探究】【问题的进一步探究】 对数平均不等式的介绍与证明对数平均不等式的介绍与证明 两个正数a和b的对数平均定义： (),
3、 ( , )lnln (). ab ab L a bab a ab - = - = 对数平均与算术平均、几何平均的 大小关系： ( , ) 2 ab abL a b + （此式记为对数平均不等式对数平均不等式）来源: Z XXK来源:Z+xx+k.Com 取等条件：当且仅当ab=时，等号成立. 只证：当ab时，( , ) 2 ab abL a b + . 证明如下：来源: （I）先证：( , )abL a b 不等式 1 lnlnln2ln(1) abaaba abxxx bbaxbab - ?其中 构造函数 1 ( )2ln(),(1)f xxxx x =-，则 2 2 211 ( )1(1
4、)fx xxx =-=-. 因为1x时，( )0fx ，所以函数( )f x在(1,)+?上单调递减， 故( )(1)0f xf=，从而不等式成立； （II）再证：( , ) 2 ab L a b + ?= + + 其中 构造函数 2(1) ( )ln,(1) (1) x g xxx x - =- + ，则 2 22 14(1) ( ) (1)(1) x g x xxx x - =-= + .来源:Z|X|X|K 因为1x时，( )0g x ，所以函数( )g x在(1,)+?上单调递增， 故( )(1)0g xg=，从而不等式成立； 综合（I） （II）知，对, a bR+?，都有对数平均不
5、等式( , ) 2 ab abL a b + 成立， 当且仅当ab=时，等号成立.来源:163文库 例题第（例题第（3）问另解：）问另解：由 12 ( )()0f xf x= 22 111222 ln(2)ln(2)0 xaxa xxaxa x?+-=-+-= 22 12121212 lnln2()()xxxxa xxxx?+-=-+- 来源:Z#X#X# K 1212 22 1212 lnln2()xxxx a xxxx -+- ? -+- 来源: 故要证 12 00 1 ()0 2 xx fxx a + 22 12121212 12 1212 12 1 lnln 2lnln2() 2 xx
6、xxxxxx xx xxxx xx +-+-+ ?= - -+- + - 12 1212 lnln2xx xxxx - ? +- . 根据对数平均不等式 ，此不等式显然成立，故原不等式得证. 已知函数( )lnf xxx=与直线ym=交于 1122 ( ,), (,)A x yB xy两点. 求证： 12 2 1 0 x x e . 已知函数 ( )() ln,. b fxxa a bR x =+-? （）讨论函数 ( ) fx的单调区间与极值； （）若0b且 ( ) 0f x 恒成立，求 1 1 a eb - -+的最大值； （）在（）的条件下，且 1 1 a eb - -+取得最大值时，设
7、 ( )() 1a F bm mR b - =-?，且函数 ( ) F x有两 个零点 12 ,x x，求实数m的取值范围，并证明： 2 12 .x xe 来源:ZXXK 已知函数，其中 （1）若，讨论的单调区间； （2）已知函数的曲线与函数的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为，证明： . 已知函数 ( ) ln ax fx x =. （1）若 ( ) fx在点 ( )() 22 ,ef e处的切线与直线40 xy+=垂直，求函数 ( ) fx的单调递增区间； （2）若方程 ( ) 1fx =有两个不相等的实数解 12 ,x x，证明： 12 2xxe+. 来源:Z&xx&k.Com 【新题试炼】【新题试炼】来源来源:163文库 【2019 四川自贡一诊】已知函数 （1）求的单调区间； （2）若有极值，对任意的，当，存在 使，证明：. 【2018 广东江门调研】已知函数， 是常数且. （1）若曲线在处的切线经过点，求 的值； （2）若（ 是自然对数的底数） ，试证明：函数有两个零点，函数的两个零点满足 .
