初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第21讲 从三角形的内切圆谈起.pdf

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1、1 第二十一讲第二十一讲 从三角形的内切圆谈起从三角形的内切圆谈起 和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆, 这个多边形叫做圆的外切多边形 三 角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心, 圆外切三角形、 圆外切四边形有下列重要性质 : 1三角形的内心是三角形的三内角平分线交点,它到三角形的三边距离相等; 2圆外切四边形的两组对边之和相等,其逆亦真,是判定四边形是否有外切圆的主要 方法 当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时,就得到隐含丰富结论的下列图形: 注:设 RtABC 的各边长分别为 a、b、c (斜边),运用切线长定理、面积等知识可得到其 内切圆半径的不同表示式: (1) 2 cba

2、r ; (2) cba ab r 请读者给出证 【例题求解】【例题求解】 【例 1】 如图,在 RtABC 中,C=90,BC=5,O 与 RtABC 的三边 AB、BC、 AC 分相切于点 D、E、F,若O 的半径 r2,则 RtABC 的周长为 思路点拨思路点拨 AF=AD,BE=BD,连 OE、OF,则 OECF 为正方形,只需求出 AF(或 AD)即可 【例 2】 如图,以定线段 AB 为直径作半圆 O,P 为半圆上任意一点(异于 A、B),过点 P 作半圆 O 的切线分别交过 A、B 两点的切线于 D、C,AC、BD 相交于 N 点,连结 ON, NP,下列结论:四边形 ANPD 是

3、梯形;ON=NP:DPP C 为定值;FA 为NPD 的平分线,其中一定成立的是( ) A B C D 思路点拨思路点拨 本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形,判定性质等重要几何知识, 注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换,推导出 NPADBC 是解本例的关 键 2 【例 3】 如图,已知ACP=CDE=90,点 B 在 CE 上,CA=CB=CD,过 A、C、D 三 点的圆交 AB 于 F,求证:F 为CDE 的内心 (全国初中数学联赛试题) 思路点拨思路点拨 连 CF、DF,即需证 F 为CDE 角平分线的交点,充分利用与圆有关的角,将 问题转化为角相等问题的证明 【例

4、4】 如图,在直角梯形 ABCD 中,ADBC,ABBC,AB=BC=1,以 AB 为直径作 半圆 O 切 CD 于 E,连结 OE,并延长交 AD 的延长线于 F (1)问BOZ 能否为 120,并简要说明理由; (2)证明AOFEDF,且 2 1 OA DE OF DF ; (3)求 DF 的长 思路点拨思路点拨 分解出基本图形,作出基本辅助线(1)若BOZ=120,看能否推出矛盾;(2) 把计算与推理融合;(3)把相应线段用 DF 的代数式表示,利用勾股定理建立关于 DF 的一元 二次方程 注: 如图,在直角梯形 ABCD 中,若 AD+BC=CD,则可得到应用广泛的两个性质: (1)以

5、边 AB 为直径的圆与边 CD 相切; (2)以边 CD 为直径的圆与边 AB 相切 类似地,三角形三条中线的交点叫三角形的重心,三角形三边高所在的直线的交点叫 三角形的垂心外心、内心、垂心、重心统称三角形的四心,它们处在三角而中的特殊位置 上,有着丰富的性质,在解题中有广泛的应用 【例 5】 如图,已知 RtABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,O、O1、O2分别是ABC; ACD、BCD 的角平分线的交点,求证:(1) O1OC O2;(2)OC= O1O2 (武汉市选拔赛试题) 思路点拨思路点拨 在直角三角形中, 斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似, 得对 应角相等,所以

6、通过证交角为 90的方法得两线垂直,又利用全等三角形证明两线段相 等 3 学力训练学力训练 1如图,已知圆外切等腰梯形 ABCD 的中位线 EF=15cm,那么等腰梯形 ABCD 的周长等 于= cm 2如图,在直角,坐标系中 A、B 的坐标分别为(3,0)、(0,4),则 RtABO 内心的坐标 是 3如图,梯形 ABCD 中,ADBC, DCBC,AB=8,BC=5,若以 AB 为直径的O 与 DC 相切于 E,则 DC= 4如图,O 为ABC 的内切圆,C=90,AO 的延长线交 BC 于点 D,AC=4,CD=1, 则O 的半径等于( ) A 5 4 B 4 5 C 4 3 D 6 5

7、 5如图,在梯形 ABCD 中,ADBC,BCD=90,以 CD 为直径的半圆 O 切 AB 于点 E,这个梯形的面积为 21cm2,周长为 20cm,那么半圆 O 的半径为( ) A3cm B7cm C 3cm 或 7cm D 2cm 6如图,ABC 中,内切圆 O 和边 B、CA、AB 分别相切于点 D、EF,则以下四个结论 中,错误的结论是( ) A点 O 是DEF 的外心 BAFE= 2 1 (B+C) CBOC=90+ 2 1 A DDFE=90一 2 1 B 7如图,BC 是O 的直径,AB、AD 是O 的切线,切点分别为 B、P,过 C 点的切线与 AD 交于点 D,连结 AO、

8、DO (1)求证:ABOOCD; (2)若 AB、CD 是关于 x 的方程0) 1() 1( 2 5 22 mxmx的两个实数根,且 SABO+ S OCD=20,求 m 的值 4 8如图,已知 AB 是O 的直径,BC 是O 的切线,OC 与O 相交于点 D,连结 AD 并 延长,BC 相交于点 E (1)若 BC=3,CD=1,求O 的半径; (2)取 BE 的中点 F,连结 DF,求证:DF 是O 的切线; (3)过 D 点作 DGBC 于 G,OG 与 DG 相交于点 M,求证:DMGM 9如图,在直角梯形 ABCD 中,ADBC,B=90,AD=13cm,BC=16cm,CD=5cm

9、, AB 为O 的直径,动点 P 沿 AD 方向从点 A 开始向点 D 以 1cm秒的速度运动,动点 Q 沿 CB 方向从点 C 开始向点 B 以 2cm秒的速度运动, 点 P、 Q 分别从 A、 C 两点同时出发, 当其中一点停止时,另一点也随之停止运动 (1)求O 的直径; (2)求四边形 PQCD 的面积 y 关于 P、Q 运动时间 t 的函数关系式,并求当四边形 PQCD 为等腰梯形时,四边形 PQCP 的面积; (3)是否存在某时刻 t,使直线 PQ 与O 相切,若存在,求出 t 的值;若不存在,请说 明理由 (2002 年烟台市中考题) 10已知在ABC 中,C=90,AC=4,B

10、C=3,CD 为 AB 上的高,Ol、O2分别为 ACD、BCD 的内心,则 OlO2= 11如图,在ABC 中,C=90,A 和B 的平分线相交于 P 点,又 PEAB 于点 E, 若 BC=2,AC=3,则 AEEB= 12如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,那么该直线必通过这个三角形的 ( ) A内心 B外心 C圆心 D重心 13如图,AD 是ABC 的角平分线,O 过点 AB 和 BC 相切于点 P,和 AB、AC 分别交 于点 E,F,若 BD=AE,且 BE=a,CF=b,则 AF 的长为( ) Aa 2 51 Ba 2 31 Cb 2 51 Db 2 31 14如图,在矩

11、形 ABCD 中,连结 AC,如果 O 为ABC 的内心,过 O 作 OEAD 于 E, 作 OFCD 于 F,则矩形 OFDE 的面积与矩形 ABCD 的面积的比值为( ) A 2 1 B 3 2 C 4 3 D不能确定 (学习报公开赛试题) 15如图,AB 是半圆的直径,AC 为半圆的切线,AC=AB在半圆上任取一点 D,作 DE CD,交直线 AB 于点 F,BFAB,交线段 AD 的延长线于点 F (1)设 AD 是 x的弧,并要使点 E 在线段 BA 的延长线上,则 x 的取值范围是 ; (2)不论 D 点取在半圆什么位置,图中除 AB=AC 外,还有两条线段一定相等,指出这两 条相

12、等的线段,并予证明 5 16如图,ABC 的三边满足关系 BC= 2 1 (AB+AC),O、I 分别为ABC 的外心、内心, BAC 的外角平分线交O 于 E,AI 的延长线交O 于 D,DE 交 BC 于 H 求证:(1)AI=BD;(2)OI= 2 1 AE 17如图,已知 AB 是O 的直径,BC 是O 的切线,OC 平行于弦 AD,过点 D 作 DE AB 于点 E,连结 AC,与 DE 交于点 F,问 EP 与 PD 是否相等?证明你的结论 18如图,已知点 P 在半径为 6,圆心角为 90的扇形 OAB 的 AB(不含端点)上运动,PH OA 于 H,OPH 的重心为 G (1)当点 P 在 AB 上运动时,线段 GO、GP、GH 中有无长度保持不变的线段?如果有, 请指出并求出其相应的长度; (2)设 PH= x,GP=y,求 y 关于 x 的函数解析式,并指出自变量 x 的取值范围; (3)如果PGH 为等腰三角形,试求出线段 PH 的长 6 参考答案参考答案 7

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