1、 1 2017年上学期高二期中考试试题数学（理科） 一、 选择题（每小题 5分，共 60 分） 1、 复数21i?等于（ ） A 2 B 2i C 1 i D 1+i ? |)1,2,2(),2,2,1( ,2 AB BAO，则为 ，其坐标分别，球面上有两个点直角坐标系的原点、设一球的球心为空间 18.A 12.B 23.C 32.D 3、 成立的否定是等式命题“已知 “ln),0(, axxRa ? （ ） 不成立等式、 axxA ? ln),0( 不成立等式、 axxB ? ln),0,( 不成立等式、 axxC ? 00 ln),0( 不成立等式、 axxD ? 00 ln),0,( 4
2、、 已知命题p： xR?，使 5sin 2x?；命题 q： xR?，都有 2 10xx? ? ?.给出下列结论： 命题“ pq?”是真命题 命题“ pq?”是假命题 命题“ pq?”是真命题命题“ ?”是假命题，其中正确的 是（ ） A B C D 5、 已知 p：（ a 1） 2 1， q： ? x R， ax2 ax 1 0，则 p是 q成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6、 利用数学归纳法证明不等式 ? ? ? ?1 1 11 + + + + 2 ,2 3 2 1n f n n n ? ? ? N的过程中，由 nk? 变成 1nk?时，
3、左边增加了（ ） A 1项 B k 项 C 12k? 项 D 2k 项 7、 64(1 ) (1 )xx? ? ?的展开式中 x的系数是（ ） A -4 B 21 C 3 D 4 8、 已知正三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的侧棱长与底面边长相等，则 AB1与侧面 ACC1A1所成角的正弦值等于（ ） 2 A. 64 B. 104 C. 22 D. 32 9、 设 5 2 50 1 2 5( 2 )x a a x a x a x? ? ? ? ? ?，那么 54321 aaaaa ? 的值为（ ） A.1 B.-31 C.-32 D. 1? 10、从 0， 2， 4 中取一个数字，从 1，
4、 3， 5 中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（ ） A 36 B 48 C 52 D 54 11、设抛物线2 2yx?的焦点 F，过点 ? ?3,0M的直线与抛物线相交于 ,AB两点，与抛物线的准线相交于 C， | | 2BF?，则 BCF与 ACF的面积之比BCFACFSS?=（ ） A45B23C47D1212、 函数 2( ) | |f x x x a? ? ?，若1()2f和1f ?都不是 ()fx的最小值，则 a的取值范围是（ ） A1( , 2?B11 , 22?C11( , )22?D1 , )2?二、 填空题（每小题 5分，共 20 分） 13、
5、 已知 x 、 y 的取值如下表： 从散点图可以看出 y 与 x 线性相关，且回归方程 0.95y x a?，则 a? 14、 若曲线 ? ?2 ln 1y ax x? ? ?在点 ? ?1,a 处的切线平行于 x 轴，则 a? _ 15、 计算积分 ? ?1 21 sinx x dx? ?_ 16、 已知点 F是椭圆 的右焦点，点 B是短轴的一个端点，线段 BF的延长线交椭圆 C于点 D，且 ，则椭圆 C的离心率为 三、简答题（ 17 题 10 分，其余每题 12分，共 80分） 17、（本小题满分 10分）已知数列 ?na 中， 121 11 ? ? nn aaa ， ， （）求 5432
6、 aaaa ， ；（）猜想 na 的表达式，并用数学归纳法加以证明 . x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 3 18、 已知命题 ? ?: 0,1px? ，使 11 02x m?恒 成 立 ， 命 题 : , ,63qx ? ? ?使函数? ? 3 s i n c o sf x x x m? ? ?有零点， 若命题“ pq? ”是真命 题，求实数 m 的取值范围 19（ 6分 +6分）、 2016世界特色魅力城市 200 强新鲜出炉，包括黄山市在内的 28 个中国城市入选 . 美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客 . 现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与
7、性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了 100人，得如下所示的列联表： 赞成“自助游” 不赞成“自助 游” 合计 男性 30 女性 10 合计 100 （ 1）若在 100这人中，按性别分层抽取一个容量为 20 的样本，女性应抽 11人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并 据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05 前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？ （ 2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取 3 人赠送精美纪念品，记这 3 人中赞成“ 自助游 ” 人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 . 附 : )()()( )(22dbcadc
8、ba bcadnK ? ? ?2P K k? 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 4 20 如图，已知直三棱柱 1 1 1ABC ABC?， 90ACB? ? ?， E是棱 1CC上动点， F是 AB中点， AC=BC=2，1AA=4 （ I）当 E是棱 1CC中点时，求证： CF/平面 1AEB； （ II）在棱 1CC上是否存在点 E，使得二面角 1A EB B?的大小是 45，若存在，求 CE 的长，若不存在，请说明理由 21(6分 +6分 ) 已知椭圆22 1( 0)xy abab? ? ? ?的离心率为63，长轴长为
9、23，直线 l： y kx m?交椭圆于不同的两点 A、 B （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若坐标原点 O到直线 l的距离为32，求 AOB面积的最大值 5 22 已知函数 ( ) lnf x x ax?（ a为常数） （ I）求函数 ()fx的单调区间； （ II）若 0a?，求不等式2( ) ( ) 0f x f xa? ? ?的解集； （ III）若存在两个不相等的整数 12,xx满足 12( ) ( )f x f x?，求证： 122xxa? 6 高二期中考试数学 （ 理 科） 参考答案 1-5: C C C B A 6-10: D B A B B 11-12: A C 13 2.6
10、 14、 1415、 2316 17、? Nna aaaann ,12)2(31,15,7,3)1( 5432 18、 01m? 19 ： (1) 赞成“自助游” 不赞成“自助游” 合计 男性 30 15 45 女性 45 10 55 合计 75 25 100 将 22? 列联表中的数据代入计算，得 2K 的观测值： ? ? 21 0 0 3 0 1 0 4 5 1 5 100 3 . 0 3 0 , 3 . 0 3 0 3 . 8 4 14 5 5 5 7 5 2 5 3 3K ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ?在犯错误的概率不超过 0.05 前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系
11、 . (2) X 的分布列为： X 0 1 2 3 ? ?PX 164 964 2764 2764 ? ? 94E X np?. 20（ I）略；（ II）在棱 1CC上存在点 E ，使得二面角 1A EB B?的大小是 45 ，此时52CE?21（ 1）2 2 13x y?；（ 2） 32 . 【解析】 试题解析：（ 1）设椭圆的半焦距为 c ，依题意6 , 33caa?解得6 , 33caa? 2c?. 由 2 2 2a b c?，得 1b?，所以所求椭圆方程为2 2 13x y?. 7 （ 2）由已知 2| | 312mk ?，解得223 ( 1)4mk?. 将 y kx m?代入椭圆方
12、程，整理得 2 2 2(1 3 ) 6 m 3 3 0k x k x m? ? ? ? ?. 2 2 2 2( 6 m ) 4 ( 1 3 ) ( 3 3 ) 0 ( * )x k k m? ? ? ? ? ? ? 所以21 2 1 2226 m 3 3,1 3 1 3kmx x x xkk? ? ? ?. 所以 2 2 22 2 2 212 2 2 23 6 m 1 2 ( m 1 )| | ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 3 ) 1 3kA B k x x k kk ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 22 2 2 212( 1 ) 1 3 - m 3 ( 1 ) ( 9
13、+ 1 )=( 1 3 ) ( 1 3 )k k k kkk? ? ?（ ） ? 2422 21 2 1 2 1 23 + = 3 + 3 + = 419 + 6 + 1 2 3 + 69 + + 6kkk k k ? （ k0 ） 当且仅当2 219=k k，即3= 3k ?时等号成立 . 经检验，3= 3k ?满足 (*)式，当 =0k时， | | 3AB?， 综上可知 max | | 2AB ?. 当 | |AB最大时， AOB? 面积最大值1 3 322 2 2S ? ? ? ?. 22（ I）当 0a?时， ()fx的单调递增区间为 (0+)?，当 0a?时， ()fx的单调递增区间
14、为1(0, )a，单调递减区间为1( , )a?；（ II）12( , )aa；（ III）证明见解析 . 试题解析：（ I） ()fx的定义域为 11( 0 + ) ( ) axf x axx? ? ? ?， ， （ 1）当 0a?时， 恒有( ) 0fx?，故 ()fx在 (0+)?，上单调递增； （ 2）当 0a?时，由( ) 0?得10 x a?，故 ()fx在(, )上单调递增，在1( , )a?上单调递减 综上（ 1）（ 2）可知：当 0a?时 ()fx的单调递增区间为 (0+)?，； 当 0a?时， ()fx的单调递增区间为1(, )a，单调递减区间为1( , )a?. 8 （
15、II） ()fx的定义域为 (0+)?，所以 0x?，且2 0xa?，而 a?，20 x a?. 设 2 2 2( ) ( ) ( ) l n l n ( ) ( )F x f x f x x a x x a xa a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2ln ln( ) 2 2x x axa? ? ? ?， 212-11( ) + - 2 022 ()ax aF x axx x xaa? ? ?（ ），且当且仅当1=xa时取等号， 所以 ()Fx在2(0, )a上单调递增，又因为1=xa时，1( )= ( ) 0F x F a ?所以当1(0, )x a?时， ( ) 0Fx?，当12
16、( , )x aa?时， ( ) 0Fx?. 故2( ) ( ) 0f x f xa? ? ?的解集为12( , )aa. （ III）由（ I）知 0a?时， ()fx在 (0+)?，上单调递增，若 12( ) ( )f x f x?， 则 12xx?不合题意； 故 0a?，而 ()fx在1(0, )a上单调递 增，在1( , )a?上单调递减， 若存在两个不相等的正数 12,xx满足 12( ) ( )f x f x?，则 xx、必有一个在1(0, )a上，另一个在1( , )a?，不妨设10 a? ? ?， 则 121( , )xaa? ? ?. 又由（ II）知1(0, )x a?时， ( ) 0Fx?，即2( ) ( ) 0f x f xa? ? ?， 所以 112( ) ( )f x f xa?. 因为 12( ) ( )f x f x?，所以 212( ) ( )f x f xa?， 又因为 ()fx在1( , )a?上单调递减，所以2xxa?， 即 122xxa?
