1、20212021衡水中学高考一轮总复习衡水中学高考一轮总复习 理科数学理科数学 精 品 课 件 （新课标版）（新课标版） 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第2页页 课前自助餐 授人以渔 02 01 课外阅读 03 课内导航 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第3页页 第9课时 抛物线抛物线( (二二) ) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第4页页 课课前前自自助助餐餐 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第5页页 1直线与抛物线的位置
2、关系 联立 y22px， ykxm，得 k 2x22(mkp)xm20. 相切：k0， 0； 相交：k0， 0；或 k0 相离：k0， 0)的焦点为 F，过 F 的焦点弦 AB 的倾 斜角为 ，则有下列性质： (1)y1y2_，x1x2_ (2)|AF|x1p 2 p 1cos； |BF|x2p 2 p 1cos； |AB|x1x2p 2p sin2 . p2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第7页页 (3)SAOB p2 2sin ( 为直线 AB 的倾斜角) (4) 1 |AF| 1 |BF|为定值 2 p. (5)以 AB 为直径的圆与抛物线的准
3、线相切 (6)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切 (7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第8页页 1判断下列说法是否正确(打“”或“”) (1)直线与抛物线相交，则它们有两个公共点 (2)直线与抛物线有且仅有 1 个公共点，则它们相切 (3)所有的焦点弦中，通径的长最短 (4)直线 l 过(2p，0)，与抛物线 y22px 交于 A，B 两点，O 为原点，则 OAOB. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第9页页 (5)过准线上一点 P 作抛物线的切线，A，B
4、 为切点，则直线 AB 过抛物线焦点 (6)AB 是抛物线 y22px 过焦点的一条弦，BB1准线于 B1， O 为原点，则 A，O，B1三点共线 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第10页页 2(课本习题改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线 y24x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 答案 C 解析 两条切线，另一条平行于对称轴 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第11页页 3(2020 辽宁五校期末联考)已知 A
5、B 是抛物线 y22x 的一 条焦点弦，|AB|4，则 AB 中点 C 的横坐标是( ) A2 B.1 2 C.3 2 D.5 2 答案 C 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|4，x11 2x2 1 2 4，x1x23.C 点横坐标为3 2，故选 C. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第12页页 4 已知直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点， 则 k 的值为_ 答案 0 或 1 解析 联立 ykx2， y28x， 得 k2x2(4k8)x40，若 k0，则 满足题意；若 k0，则 0，即 6464k0，解得 k1，因此当
6、直线 ykx2 与抛物线 y28x 有且只有一个公共点时，k0 或 1. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第13页页 5(2020 沧州七校联考)过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交 该抛物线于 A，B 两点，若|AF|3，则|BF|_ 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第14页页 答案 3 2 解析 方法一：抛物线 y24x 的准线为 x1，焦点 F(1， 0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由抛物线的定义可知|AF|x11 3， 所以 x12， 所以 y1 2 2.由抛物线关于 x 轴对称， 假设
7、 A(2， 2 2)，由 A，F，B 三点共线可知直线 AB 的方程为 y02 2(x 1)，代入抛物线的方程消去 y，得 2x25x20，求得 x2 或1 2，所以 x2 1 2，故|BF| 3 2. 方法二：由 1 |AF| 1 |BF| 2 p及 p2，得 1 3 1 |BF|1，|BF| 3 2. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第15页页 6(2020 广州模拟)已知以 F 为焦点的抛物线 y24x 上的两 点 A，B 满足AF 2FB ，则弦 AB 的中点到抛物线准线的距离为 _ 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标
8、 版）版） 第第16页页 答案 9 4 解析 方法一：作 AA1l，BB1l，设|BF|m， 过点 B 作 BCAA1于 C， 由抛物线的定义知|AA1|2m，|BB1|m， 在ABC 中，|AC|m，|AB|3m， kAB2 2，直线 AB 的方程为 y2 2(x1)， 与抛物线方程联立，消去 y 得 2x25x20， AB 的中点到准线的距离为x 1x2 2 19 4. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第17页页 方法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AF 2FB ，x11 2(x21)又x1x2p 2 4 1，x12，x21 2. AB
9、 的中点到准线的距离为x 1x2 2 19 4. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第18页页 授授 人人 以以 渔渔 题型一 抛物线的切线 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第19页页 例 1 (1)过抛物线 x24y 上一点(4，4)的抛物线的切线方程 为_ 【解析】 方法一：设切线方程为 y4k(x4) 由 y4k（x4）， x24y， x24(kx4k4)x24kx16(k1) 0，由 (4k)2416(k1)0， 得 k24k40.k2. 故切线方程为 y42(x4)即 y2x4. 高考一轮总复习高考一轮
10、总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第20页页 方法二：由 x24y 得 yx 2 4 ， yx 2.y|x4 4 22. 切线方程为 y42(x4) y2x4. 【答案】 y2x4 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第21页页 (2)设抛物线 x22py(p0)，M 为直线 y2p 上任意一点， 过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B，记 A，B，M 的横坐 标分别为 xA，xB，xM，则( ) AxAxB2xM BxAxBxM2 C. 1 xA 1 xB 2 xM D以上都不对 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理
11、（新课标 版）版） 第第22页页 【解析】 由 x22py 得 y x2 2p，所以 y x p，所以直线 MA 的方程为 y2pxA p (xxM)，直线 MB 的方程为 y2p xB p (xxM)，所以 xA2 2p 2p xA p (xAxM)， xB2 2p 2pxB p (xB xM)，由可得 xAxB2xM，故选 A. 【答案】 A 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第23页页 (3)已知直线 y(a1)x1 与曲线 y2ax 恰有一个公共点， 求实数 a 的值 【解析】 联立方程 y（a1）x1， y2ax. (1)当 a0 时，此方程组
12、恰有一组解 x1， y0. (2)当 a0，消去 x，得a1 a y2y10. 若 a1，方程组恰有一组解 x1， y1. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第24页页 若 a1，令 0，得 14（a1） a 0，解得 a4 5， 这时直线与曲线相切，只有一个公共点 综上所述，a0 或 a1 或 a4 5. 【答案】 a0 或 a1 或 a4 5 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第25页页 状元笔记 (1)直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点， 但只有一个公共 点时未必相切，这主要体现在抛物线和双曲线的情况 (2)
13、在讨论时应注意全面，不要忽略二次项的系数为零的情 况 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第26页页 思考题 1 (1)已知抛物线 C：y22px(p0)，过点 M p 2，0 作 C 的切线，则切线的斜率为_ 【解析】 设斜率为 k，则切线为 yk xp 2 代入 y22px 中得 k2x2p(k22)xk 2p2 4 0. 0，即 p2(k22)24 k2k 2p2 4 0.解得 k21，k 1. 【答案】 1 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第27页页 (2)已知点 A(2，3)在抛物线 C：y22px 的准
14、线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为_ 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第28页页 【解析】 A(2， 3)在抛物线 y22px 的准线上， p 2 2，p4，y28x，设直线 AB 的方程为 xk(y3)2， 将与 y28x 联立， 即 xk（y3）2， y28x， 得 y28ky24k16 0，则 (8k)24(24k16)0，即 2k23k20，解得 k2 或 k1 2(舍去)，将 k2 代入解得 x8， y8，即 B(8，8)， 又 F(2，0)，kBF80 82 4 3. 【答案】
15、 4 3 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第29页页 (3)(2020 四川名校联考)过抛物线 C： x24y 的焦点 F 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，点 A 处的切线与 x，y 轴分别交于 M，N 两点若MON 的面积为1 2，则|AF|_ 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第30页页 【解析】 本题主要考查抛物线的性质和切线方程由题可 知，直线 l 的斜率存在，且过抛物线 C：x24y 的焦点 F，与其 交于 A，B 两点，设 A a，1 4a 2 . 又 y1 4x 2，所以 yx 2，所以点 A
16、 处的切线方程为 y 1 4a 2 a 2(xa) 令 x0，可得 y1 4a 2，即 N 0，1 4a 2 ； 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第31页页 令 y0，可得 xa 2，即 M a 2，0 . 因为MON 面积为1 2， 所以 1 2 1 4a 2 a 2 1 2， 解得 a 24， 所以|AF|1 4a 212. 【答案】 2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第32页页 题型二 焦点弦问题 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第33页页 例 2 已知 AB
17、是抛物线 y22px(p0)的焦点弦， F 为抛物线 焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证： (1)y1y2p2，x1x2p 2 4 ； (2)|AB|x1x2p 2p sin2 ( 为直线 AB 与 x 轴的夹角)； (3)SAOB p2 2sin ； (4) 1 |AF| 1 |BF|为定值； (5)以 AB 为直径的圆与抛物线准线相切 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第34页页 【思路】 求(1)要写出焦点 F 的坐标 p 2，0 ，由点斜式写出 过焦点 F 的直线方程，注意讨论斜率是否存在，然后与 y22px 联立，再由根与系数的关系
18、即得；(2)中|AB|AF|BF|，再将抛 物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离即可；(3)中 S AOBSAOFSBOF，再由面积公式求得；(4)中将点到焦点的距离 转化为点到准线的距离； 求(5)要先求出 AB 的中点 M， 再证明 M 点到准线的距离等于1 2|AB|即可 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第35页页 【证明】 (1)y22px(p0)的焦点为 F p 2，0 ， 当 k 不存在时，直线方程为 xp 2. 这时 y1p，y2p，则 y1y2p2，x1x2p 2 4 . 当 k 存在时，设直线方程为 yk xp 2 (k0) 由
19、 yk xp 2 ， y22px 消去 x，得 ky22pykp20. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第36页页 y1y2p2，x1x2（y 1y2） 2 4p2 p 2 4 . 因此，总有 y1y2p2，x1x2p 2 4 成立 (2)由抛物线定义：|AF|等于点 A 到准线 xp 2的距离 |AF|x1p 2，同理|BF|x2 p 2. |AB|AF|BF|x1x2p. 又90时，yk xp 2 ，x1 ky p 2. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第37页页 x1x21 k(y1y2)p. 由方程知
20、y1y22p k ，x1x22p k2 p. 将代入，得|AB|2p k2 2p2p 1 1 k2 2p 1 1 tan2 2p sin2. 当 90，|AB|y1y2|2p 2p sin2. 综上所述，|AB|x1x2p 2p sin2. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第38页页 (3)SAOBSAOFSBOF 1 2|OF|AF|sin() 1 2|OF|BF|sin 1 2|OF|sin(|AF|BF|) 1 2|OF|AB|sin 1 2 p 2 2p sin2sin p2 2sin. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新
21、课标 版）版） 第第39页页 (4) 1 |AF| 1 |BF| 1 x1p 2 1 x2p 2 x1x2p x1x2p 2（x1x2） p2 4 . 又x1x2p 2 4 ，代入上式得 1 |AF| 1 |BF| 2 p常数 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第40页页 (5)设 AB 的中点为 M(x0， y0)， 分别过 A， M， B 作准线的垂线，垂足分别为 C，N，D，如图 则|MN|1 2(|AC|BD|) 1 2(|AF|BF|) 1 2|AB|. 以 AB 为直径的圆与准线相切 【答案】 略 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（
22、新课标理（新课标 版）版） 第第41页页 【讲评】 解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应 用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方 程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第42页页 状元笔记 (1)解决焦点弦问题时，要注意以下几点： 设抛物线上的点为(x1，y1)，(x2，y2)； 因为(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，故满足 y122px1，y22 2px2； 利用 y12y224p2x1x2可以整体得到 y1y2或 x1x2. (2)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径， 再转
23、化 为到准线的距离，再求解 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第43页页 思考题 2 (1)(2014 课标全国，理)设 F 为抛物线 C：y2 3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为( ) A.3 3 4 B.9 3 8 C.63 32 D.9 4 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第44页页 【解析】 先求直线 AB 的方程，将其与抛物线的方程联立 组成方程组化简，再利用根与系数的关系求解 由已知得焦点坐标为 F 3 4，0 ， 因此直线 AB
24、的方程为 y 3 3 x3 4 ，即 4x4 3y30. 方法一：联立抛物线方程化简，得 4y212 3y90. 故|yAyB| （yAyB）24yAyB6. 因此 SOAB1 2|OF|yAyB| 1 2 3 46 9 4. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第45页页 方法二：联立方程，得 x221 2 x 9 160，故 xAxB 21 2 . 根据抛物线的定义有|AB|xAxBp21 2 3 212， 原点到直线 AB 的距离为 h |3| 42（4 3）2 3 8. 因此 SOAB1 2|AB|h 9 4. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数
25、学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第46页页 方法三：|AB| 2p sin2 3 1 2 212， SABO1 2|OF|AB|sin 1 2 3 412 1 2 9 4. 【答案】 D 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第47页页 (2)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 60的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，且|AF|BF|，则|AF| |BF|的值为( ) A2 B3 C.4 3 D.3 2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第48页页 【解析】 方法一：由题意知抛物线的焦点坐标为
26、p 2，0 ， 所以直线 l 的方程为 y 3 xp 2 ， 代入抛物线方程 y22px(p0)， 整理得 3x25px3p 2 4 0，解得 x13p 2 ，x2p 6，由题意可知点 A 在第一象限，点 B 在第四象限，所以 A，B 两点的坐标分别为 3p 2 ， 3p ， p 6， 3p 3 ，则有|AF| 3p 2 p 2 2（ 3p）22p， |BF| p 6 p 2 2 3p 3 22p 3 ，所以|AF| |BF| 2p 2p 3 3. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第49页页 方法二：由抛物线的定义得 p1 2|AF|AF|，可得|AF
27、|2p， p1 2|BF|BF|，可得|BF| 2 3p，所以 |AF| |BF|3.故选 B. 【答案】 B 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第50页页 (3)(2020 河北辛集中学模拟)已知直线 l： xym0 经过抛 物线 C： y22px(p0)的焦点， l 与 C 交于 A， B 两点 若|AB|6， 则 p 的值为( ) A.1 2 B.3 2 C1 D2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第51页页 【解析】 方法一：直线 l 经过抛物线的焦点 F p 2，0 .将点 F 的坐标代入直线方程，得
28、mp 2.由 xyp 20， y22px， 得 x23pxp 2 4 0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x23p，故|AB|x1x2p 4p6，所以 p3 2.故选 B. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第52页页 方法二：l 过焦点，倾斜角为 45. |AB| 2p sin2 2p 2 2 26.p 3 2. 【答案】 B 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第53页页 (4)(2020 湖南两市调研)如图，过抛物线 y2 2px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其 准线 l 于
29、点 C.若点 F 是 AC 的中点，且|AF|4，则 线段 AB 的长为( ) A5 B6 C.16 3 D.20 3 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第54页页 【解析】 如图，设准线 l 与 x 轴相交过点 M， 过点 A 作准线 l 的垂线 AD， 交 l 于点 D.由抛物线的 定义知|AD|AF|4.因为点 F 是线段 AC 的中点， 所以|AD|2|MF|2p，所以 2p4，解得 p2.所以 抛物线的方程为 y24x.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1p 2 x114，所以 x13，所以 A(3，2 3) 高考一轮总复习高
30、考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第55页页 又 F(1，0)，所以 kAF 2 3 31 3.所以直线 AF 的方程为 y 3(x1)，此方程与抛物线 y24x 联立后消去 y 并整理，得 3x2 10 x30.所以 x1x210 3 ， 所以|AB|x1x2p10 3 216 3 . 故选 C. 【答案】 C 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第56页页 题型三 直线与抛物线的综合问题 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第57页页 例 3 (2020 济南模拟)设 M 是抛物线 E：x2
31、2py(p0)上的 一点，抛物线 E 在点 M 处的切线方程为 yx1. (1)求 E 的方程 (2)已知过点(0，1)的两条不重合直线 l1，l2的斜率之积为 1， 且直线 l1，l2分别交抛物线 E 于 A，B 两点和 C，D 两点，是否 存在常数 使得|AB|CD|AB|CD|成立？若存在，求出 的 值；若不存在，请说明理由 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第58页页 【思路】 (1)由直线与抛物线相切求得 p 的值，即可得 E 的 方程；(2)联立直线和抛物线的方程，结合根与系数的关系和弦长 公式，将|AB|，|CD|表示为斜率 k 的代数式，
32、从而探究是否存在 使得等式成立 【解析】 (1)方法一：由 yx1， x22py， 消去 y 得 x22px2p 0. 由题意得 4p28p0，因为 p0，所以 p2. 故抛物线 E：x24y. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第59页页 方法二：设 M x0，x0 2 2p ，由 x22py 得 y x2 2p，则 y x p. 由 x 0 p 1， x02 2px01， 解得 p2. 故抛物线 E：x24y. (2)假设存在常数 使得|AB|CD|AB|CD|成立， 则 1 |AB| 1 |CD|. 由题意知，l1，l2的斜率存在且均不为零， 高考
33、一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第60页页 设直线 l1的方程为 ykx1(k0)， 则由 ykx1， x24y， 消去 y， 得 x24kx40. 设 A(x1y1)，B(x2，y2)，则 x1x24k，x1x24. 所以|AB|1k2（x1x2）24x1x21k216k216 4(1k2)(也可以由 y1y2k(x1x2)24k22，得到|AB| y1y224(1k2) 因为直线 l1，l2的斜率之积为 1，所以|CD|4 1 1 k2 . 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第61页页 所以 1 |AB| 1 |
34、CD| 1 4（1k2） 1 4 1 1 k2 1k2 4（1k2） 1 4. 所以存在常数 1 4使得|AB|CD|AB|CD|成立 【答案】 (1)x24y (2)存在常数 1 4使得|AB|CD| |AB| |CD|成立 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第62页页 状元笔记 解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、 双曲线的位置关 系类似，一般要用到根与系数的关系 (2)有关直线与抛物线的弦长问题， 要注意直线是否过抛物线 的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p， 若不过焦点，则必须用
35、一般弦长公式 (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用 根与系数的关系采用“设而不求”， “整体代入”等解法 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第63页页 思考题 3 (1)(2020 安徽黄山一检)已知点 M(1，n)在抛物线 y22px(p0)上，且点 M 到抛物线焦点的距离为 2.直线 l 与抛物 线交于 A，B 两点，且线段 AB 的中点为 P(3，2) 求直线 l 的方程 点 Q 是直线 yx 上的动点，求QA QB 的最小值 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第64页页 【解析】 由题意
36、知，抛物线的准线方程为 xp 2，所以 1p 22，解得 p2， 所以抛物线的方程为 y24x. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y124x1，y224x2， 则 y12y224(x1x2)，即y 1y2 x1x2 4 y1y2 4 221， 所以直线 l 的方程为 y2x3，即 xy10. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第65页页 因为点 A，B 都在直线 l 上，所以 A(x1，x11)，B(x2，x2 1)，设 Q(m，m)， QA QB (x1m，x1(m1) (x2m，x2(m1)(x1 m)(x2m)x1(m1)x2(m1)x
37、1x2m(x1x2)m2 x1x2(m1)(x1x2)(m1)22x1x2(2m1)(x1x2)m2 (m1)2， 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第66页页 联立 y24x， yx1，得 x 26x10，则 x 1x26，x1x21， 所以QA QB 2(2m1)6m2m22m12m2 10m32 m5 2 231 2 ，当 m5 2时，QA QB 取得最小值，为 31 2 . 【答案】 xy10 31 2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第67页页 (2)(2018 课标全国，理)设抛物线 C：y24x 的
38、焦点为 F， 过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8. 求 l 的方程； 求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第68页页 【解析】 由题意得 F(1， 0)， l 的方程为 yk(x1)(k0) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 yk（x1）， y24x 得 k2x2(2k24)xk20. 16k2160，故 x1x22k 24 k2 . 所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k 24 k2 . 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新
39、课标 版）版） 第第69页页 由题设知4k 24 k2 8，解得 k1(舍去)，k1.因此 l 的方程 为 yx1. 由得 AB 的中点坐标为(3，2)，所以 AB 的垂直平分线 方程为y2(x3)， 即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0， y0)，则 y0 x05， （x01）2（y 0 x01） 2 2 16， 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第70页页 解得 x03， y02 或 x011， y06. 因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y 6)2144. 【答案】 yx1 (x3)2(y2)216 或(x11)2 (y6
40、)2144 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第71页页 1凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注 意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算 2解决焦点弦问题，抛物线的定义有广泛的应用，而且还 应注意焦点弦的几何性质 3有关抛物线的题目类型，所反映的数学思想方法与椭圆、 双曲线类似，因而在学习时应注意类比 4针对 y22px，设焦点弦所在直线方程为 xmyp 2，既 方便消元，又避免斜率不存在的情况，应该学会此法. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第72页页 课课 外外 阅阅 读读 高考一轮总复习高考
41、一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第73页页 设而不求&设而要求 高考解析几何突围的两大绝招 高考中的解析几何问题多是“重复昨天的故事” ，遇到的多 是一些常规的解题模式和常用的数学思想方法，即称之为通性通 法的考查但解析几何得分不高，原因是学生为“算”所困，不 会选择问题的处理策略解析几何要注重“通性通法”，通法引 路，找到解题的切入点下面以近年高考题为例谈解析几何突围 的两大通法绝招：“设而不求”与“设而要求” 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第74页页 一、设而不求 “设而不求”是简化计算的一种重要手段，它的精彩在于设 而不
42、求，化繁为简解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常 见类型有： (1)灵活应用“点、 线的几何性质”解题； (2)根据题意， 整体消参或整体代入等 1巧妙运用抛物线定义得出根与系数关系的联系，从而设 而不求 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第75页页 例 1 (2017 山东)在平面直角坐标系 xOy 中， 双曲线x 2 a2 y2 b2 1(a0，b0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x22py(p0)交于 A，B 两点若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 _ 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第
43、76页页 【解析】 设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，由抛物线定义可得|AF| |BF|yAp 2yB p 24 p 2yAyBp， 由 x2 a2 y2 b21， x22py， 可得 a2y22pb2ya2b20， 所以 yAyB2pb 2 a2 p，解得 a 2b，故该双曲线的渐近线 方程为 y 2 2 x. 【答案】 y 2 2 x 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第77页页 2中点弦或对称问题，可以利用“点差法”， “点差法”实 质上是“设而不求”的一种方法 例 2 (1)ABC 的三个顶点都在抛物线 E：y22x 上，其中 A(2，2)
44、，ABC 的重心 G 是抛物线 E 的焦点，则 BC 所在直线 的方程为_ (2)抛物线 E：y22x 上存在两点关于直线 yk(x2)对称， 则 k 的取值范围是_ 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第78页页 【解析】 (1)设 B(x1， y1)， C(x2， y2)， 边 BC 的中点为 M(x0， y0)，易知 G 1 2，0 ，则 x1x22 3 1 2， y1y22 3 0， 从而 x 0 x 1x2 2 1 4， y0y 1y2 2 1， 即 M 1 4，1 ，又 y1 22x 1，y2 22x 2，两式相减得(y1y2)(y1y2) 2(x1x2)，则直线 BC 的斜率 kBCy 1y2 x1x2 2 y1y2 2 2y0 1 y0 1，故直线 BC 的方程为 y(1) x1 4 ，即 xy5 40. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第79页页 (2)当 k0 时，显然成立当 k0 时，设两对称点为 B(x1， y1)，C(x2，y2)，BC 的中点为 M
