1、20212021衡水中学高考一轮总复习衡水中学高考一轮总复习 理科数学理科数学 精 品 课 件 （新课标版）（新课标版） 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第2页页 专题讲解 01 课内导航 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第3页页 专题研究四 探索性问题探索性问题 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第4页页 专专 题题 讲讲 解解 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第5页页 例 1 已知椭圆 C1，抛物线 C2的焦点均在 x 轴上，C1的中 心和
2、C2的顶点均为原点 O， 从每条曲线上各取两个点， 将其坐标 记录于下表中： x 3 2 4 2 y 2 3 0 4 2 2 (1)求 C1，C2的标准方程； (2)是否存在直线 l 满足条件：过 C2的焦点 F；与 C1交 于不同的两点 M，N，且满足OM ON ？若存在，求出直线 l 的 方程；若不存在，说明理由 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第6页页 【解析】 (1)设抛物线 C2： y22px(p0)， 则有y 2 x 2p(x0) 据此验证四个点知(3，2 3)，(4，4)在抛物线上，易求 得 C2的标准方程为 y24x. 设 C1：x 2 a
3、2 y2 b21(ab0)，把点(2，0)， 2， 2 2 代入得 4 a21， 2 a2 1 2b21， 解得 a24， b21. 所以 C1的标准方程为x 2 4 y21. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第7页页 (2)容易验证当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意 当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 yk(x1)，与 C1的交 点为 M(x1，y1)，N(x2，y2) 由 x2 4 y21， yk（x1）， 消去 y 并整理，得 (14k2)x28k2x4(k21)0. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第8页
4、页 于是 x1x2 8k2 14k2，x1x2 4（k21） 14k2 . y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1， 即 y1y2k2 4（k21） 14k2 8k2 14k21 3k2 14k2. 由OM ON ，即OM ON 0，得 x1x2y1y20.(*) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第9页页 将代入(*)式，得4（k 21） 14k2 3k2 14k2 k24 14k20，解得 k 2. 所以存在直线 l 满足条件，且 l 的方程为 2xy20 或 2x y20. 【答案】 (1)C1：x 2 4 y21，C2：y24x
5、(2)存在满足条件的直线 l，2xy20 或 2xy20 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第10页页 状元笔记 存在性问题的求解方法 (1)解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”， 将不确定性问 题明朗化一般步骤： 假设满足条件的曲线(或直线、点等)存在，用待定系数法 设出；列出关于待定系数的方程(组)；若方程(组)有实数解， 则曲线(或直线、点等)存在，否则不存在 (2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第11页页 思考题 1 (1)(2020 湖南雅礼中学)已知椭圆 C 的中
6、心为原点 O，焦点在 x 轴上，左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为1 2，右焦 点到右顶点的距离为 1. 求椭圆 C 的方程 过点 F2的直线与椭圆 C 分别相交于不同的两点 A，B，则 F1AB 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直 线 l 的方程；若不存在，请说明理由 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第12页页 【解析】 设椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)， ec a 1 2，ac1， a2，c1，椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 3 1. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设 y10，y20，即 f(t)在
7、区间1，)上单调递增， f(t)f(1)4， SF1AB3， 即当 t1， m0 时， F1AB 的面积取得最大值 3，此时直线 l 的方程为 x1. 【答案】 x 2 4 y 2 3 1 F1AB 的面积取得最大值 3， 此时直线 l 的方程为 x1. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第15页页 (2)(2020 云南曲靖月考)已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的离心 率为1 2，点 F 为左焦点，过点 F 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于 A，B 两点，且|AB|3. 求椭圆 C 的方程 在圆 x2y23 上是否存在一点 P，使得在点 P
8、 处的切线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，且满足OM ON ？若存在，求 l 的 方程；若不存在，请说明理由 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第16页页 【解析】 e1b 2 a2 1 2，3a 24b2. 又|AB|2b 2 a 3，a2，b 3. 椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 3 1. 假设存在点 P，使得OM ON . 当直线 l 的斜率不存在时，l：x 3或 x 3，与椭圆 C： x2 4 y 2 3 1 相交于 M，N 两点， 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第17页页 此时 M 3， 3 2
9、 ，N 3， 3 2 或 M 3， 3 2 ， N 3， 3 2 ，OM ON 33 4 9 40， 当直线 l 的斜率不存在时，不满足OM ON . 当直线 l 的斜率存在时，设 ykxm， 联立 ykxm， x2 4 y 2 3 1， 得(34k2)x28kmx4m2120. 直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点， 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第18页页 0，化简得 4k2m23. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1x28km 34k2，x1x2 4m212 34k2 ， y1y2 (kx1 m)(kx2 m) k2x1x2 km(
10、x1 x2) m2 3m212k2 34k2 . 由OM ON ，即OM ON 0， 4m 212 34k2 3m 212k2 34k2 0，7m212k2120. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第19页页 又直线 l 与圆 x2y23 相切， 3 |m| 1k2， m233k2，2121k212k2120， 解得k21， 显然不成立， 在圆上不存在这样的点P使OM ON 成立 【答案】 x 2 4 y 2 3 1 在圆上不存在这样的点 P 使OM ON 成立，理由见解析 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第20页页
11、例 2 (2019 合肥质量检测)设椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的离 心率为 2 2 ，圆 O：x2y22 与 x 轴正半轴交于点 A，圆 O 在点 A 处的切线被椭圆 C 截得的弦长为 2 2. (1)求椭圆 C 的方程 (2)设圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于 M，N 两点， 试判断|PM| |PN|是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定 值，请说明理由 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第21页页 【思路】 (1)首先由椭圆的离心率得到 a，b 的关系式，然 后求出点 A 的坐标，知点( 2， 2)在椭圆上，从而可求
12、得 a2，b2 的值，进而求得椭圆的方程；(2)分切线斜率不存在与存在两种情 况设出切线方程，并与椭圆方程联立，计算OM ON ，可推出 OMON，从而可得|PM| |PN|为定值 【解析】 (1)设椭圆的半焦距为 c， 由椭圆的离心率为 2 2 知， bc，a 2b，则椭圆的方程为 x2 2b2 y2 b21. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第22页页 易求得 A( 2，0)，则点( 2， 2)在椭圆上，所以 2 2b2 2 b21， 解得 a26 b23，所以椭圆 C 的方程为 x2 6 y 2 3 1. (2)当过点 P 且与圆 O 相切的切线斜率
13、不存在时，不妨设切 线方程为 x 2， 由(1)知， M( 2， 2)， N( 2， 2)， OM ( 2， 2)，ON ( 2， 2)，OM ON 0，OMON. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第23页页 当过点 P 且与圆 O 相切的切线斜率存在时， 可设切线方程为 ykxm，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 |m| k21 2，即 m 22(k21) 联立直线和椭圆的方程， 得 ykxm， x2 6 y 2 3 1， 消去 y， 得 x22(kx m)26，即(12k2)x24kmx2m260， 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新
14、课标版）理（新课标版） 第第24页页 则 0， x1x2 4km 2k21， x1x22m 26 2k21 . OM (x1，y1)，ON (x2，y2)， OM ON x1x2y1y2 x1x2(kx1m)(kx2m) (1k2)x1x2km(x1x2)m2 (1k2) 2m26 2k21 km 4km 2k21m 2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第25页页 （1k 2）（2m26）4k2m2m2（2k21） 2k21 3m 26k26 2k21 3（2k 22）6k26 2k21 0，OMON. 综上所述，圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C
15、 于 M，N 两点，都有 OMON. 在 RtOMN 中，由OMP 与NOP 相似，可得|PM|PN| |OP|22 为定值 【答案】 (1)x 2 6 y 2 3 1 (2)|PM| |PN|OP|22，为定值 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第26页页 思考题 2 (1)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ， 且经过点 1，3 2 . 求椭圆 C 的方程； 过点( 3，0)作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，试 问在 x 轴上是否存在定点 Q，使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称？若存在，求出点
16、 Q 的坐标；若不存在，说明理由 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第27页页 【思路】 根据题意求出 a2，b2，得椭圆 C 的方程；设 出直线 l 的方程，将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，由直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称得直线 QA 与直线 QB 的斜率互 为相反数，列方程，根据方程判断定点 Q 存在并求出定点 Q 的 坐标 【解析】 由题意可得c a 3 2 ， 1 a2 3 4b21， 又 a2b2c2，所以 a24，b21. 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（
17、新课标版） 第第28页页 设直线 l 的方程为 xmy 30，与椭圆 C 的方程联立 得 xmy 30， x2 4 y21， 整理得(4m2)y22 3my10. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点 Q(t，0)(依题意 tx1，tx2) 由根与系数的关系可得，y1y2 2 3m 4m2，y1y2 1 4m2. 直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称， 则直线 QA 与直线 QB 的斜率互为相反数， 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第29页页 所以 y1 x1t y2 x2t0，即 y1(x2t)y2(x1t)0. 又 x1my1 30，x
18、2my2 30， 所以 y1( 3my2t)y2( 3my1t)0， 整理得( 3t)(y1 y2)2my1y20， 从而可得( 3t) 2 3m 4m22m 1 4m20， 即 2m(4 3t)0，所以当 t4 3 3 ，即 Q 4 3 3 ，0 时，直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第30页页 特别地，当直线 l 为 x 轴时，Q 4 3 3 ，0 也符合题意 综上所述，在 x 轴上存在定点 Q 4 3 3 ，0 ，使得直线 QA 与 直线 QB 恰关于 x 轴对称 【答案】 x 2 4 y21 在 x 轴上
19、存在定点 Q 4 3 3 ，0 ， 使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第31页页 (2)(2020 河北五一名校联考二)在平面直角坐标系 xOy 中， 已 知椭圆 C： x2 4 y21，点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆 C 上两个动 点，直线 OP，OQ 的斜率分别为 k1，k2，若向量 m x1 2 ，y1，n x2 2 ，y2，mn0. 求证：k1k21 4； 试探求OPQ 的面积 S 是否为定值，并说明理由 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第32页页
20、【解析】 证明：k1，k2存在，x1x20， mn0，x1x2 4 y1y20， k1k2y1y2 x1x2 1 4. 当直线 PQ 的斜率不存在，即 x1x2，y1y2时， 由y1y2 x1x2 1 4，得 x12 4 y120. 又由 P(x1，y1)在椭圆上，得x1 2 4 y121， 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第33页页 |x1| 2，|y1| 2 2 ，SPOQ1 2|x1|y1y2|1. 当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 ykx b(b0) 由 ykxb， x2 4 y21 得(4k21)x28kbx4b240. 64k
21、2b24(4k21)(4b24)16(4k21b2)0， x1x2 8kb 4k21，x1x2 4b24 4k21. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第34页页 x1x2 4 y1y20， x1x2 4 (kx1b)(kx2b)0，得 2b24k21，满足 0. S POQ 1 2 |b| 1k2 |PQ| 1 2 |b|（x1x2）24x1x2 2|b| 4k21b2 4k21 1. OPQ 的面积 S 为定值 【答案】 (1)略 (2)定值为 1，理由略 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第35页页 1探索性问题是指
22、结论或者条件不完备的试题，这类试题 不给出确定的结论，让考生根据题目的条件进行分析判断作出确 定的结论这类试题对考生分析问题、解决问题的能力有较高要 求，是高考压轴的一类热点题型 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第36页页 2探索性问题的解题步骤 (1)首先假设所探索的问题结论成立、存在等，在这个假设下 进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假 设，对问题作出正面回答；如果得到一个矛盾的结果，就否定假 设，对问题作出反面回答在这个解题思想指导下解决探索性问 题与解决具有明确结论性的问题就没有什么差别 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第37页页 (2)具体操作程序：先假设存在，引入参变量，根据题目条 件列出关于参数的方程或不等式(组)解此方程或不等式(组)， 若有解即存在，若无解则不存在 3解答此类问题要充分注意解题的规范性，防止无谓失分 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第38页页 请做：专题层级快练（七十） 2 2 0 0 2 2 1 1 衡 水 重 点 中 学 高 考 调 研 高 考 调 研 看 观 谢 谢
