1、题组层级快练题组层级快练(六十四六十四) 1(2020 河北九校第二次联考)已知双曲线的方程为y 2 4 x2 9 1，则下列关于双曲线说法正确 的是( ) A虚轴长为 4 B焦距为 2 5 C离心率为 13 3 D渐近线方程为 2x 3y0 答案 D 解析 由题意知，双曲线y 2 4 x2 9 1 的焦点在 y 轴上，且 a24，b29，故 c213，所以 A、 B 均错误；离心率 ec a 13 2 ，故 C 错误；渐近线方程为 y 2 3，D 正确故选 D. 2双曲线 x2 36m2 y2 m21(0m0)的离心率为 2，则 a( ) A2 B. 6 2 C. 5 2 D1 答案 D 解
2、析 因为双曲线的方程为x 2 a2 y2 3 1，所以 e213 a24，因此 a 21，a1.选 D. 5(2020 河北邢台摸底)双曲线 x24y21 的渐近线方程为( ) Ax2y0 By2x0 Cx4y0 Dy4x0 答案 A 解析 依题意，题中的双曲线为y 2 1 4 x21，因此其渐近线方程是y 2 1 4 x20，即 x 2y0， 选 A. 6(2018 课标全国)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2，则点(4，0)到 C 的渐近线的距离为( ) A. 2 B2 C.3 2 2 D2 2 答案 D 解析 方法一：由离心率 ec a 2，得 c 2
3、a，又 b 2c2a2，得 ba，所以双曲线 C 的 渐近线方程为 y x.由点到直线的距离公式， 得点(4， 0)到 C 的渐近线的距离为 4 112 2. 故选 D. 方法二：离心率为 e 2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是 y x，由点到直线的距 离公式得，点(4，0)到 C 的渐近线的距离为 4 112 2.故选 D. 7(2020 广东七校联考)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点为 F，以 F 为圆心和 双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M，且 MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲 线 C 的离心率为( ) A. 5 2 B. 5 C. 2 D
4、2 答案 C 解析 易知双曲线的渐近线方程为 yb ax， 则点 F(c， 0)到渐近线的距离为 |bc| a2b2 bc c b， 即圆 F 的半径为 b.令 xc，则 y b c2 a21 b2 a ，由题意，得 bb 2 a ，即 ab，所以双 曲线的离心率 e 1b 2 a2 2，故选 C. 8(2019 贵州综合测试二)若双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线与圆(x2) 2y21 相 切，则 C 的渐近线方程为( ) Ay 1 3x By 3 3 x Cy 3x Dy 3x 答案 B 解析 由题可知双曲线 C 的渐近线方程为 y b ax，圆心为(2，0)，半
5、径为 1，易知圆心到渐 近线的距离 d 2b a2b21，故 4b 2a2b2，即 3b2a2，则b a 3 3 ，故双曲线 C 的渐近线 方程为 y 3 3 x.选 B. 9(2020 长沙市统考)已知 F1，F2分别是双曲线 C：y2x21 的上、下焦点，P 是其一条渐 近线上的一点，且以 F1F2为直径的圆经过点 P，则PF1F2的面积为( ) A. 2 2 B1 C. 2 D2 答案 C 解析 设 P(x0，y0)，不妨设点 P 在双曲线 C 的过一、三象限的渐近线 xy0 上，因此可 得 x0y00.F1(0， 2)，F2(0， 2)，所以|F1F2|2 2，以 F1F2为直径的圆的
6、方程为 x2 y22，又以 F1F2为直径的圆经过点 P，所以 x02y022.由 x0y00， x02y022 得|x0|1，于是 S PF1F21 2|F1F2|x0| 1 22 21 2，故选 C. 10(2020 山西太原五中月考)已知 F1，F2是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，过 F1的直线 l 与双曲线的左支交于点 A，与右支交于点 B，若|AF1|2a，F1AF22 3 ，则 SAF1F2 SABF2( ) A1 B.1 2 C.1 3 D.2 3 答案 B 解析 方法一：如图所示，由双曲线定义可知|AF2|AF1|2a. 又|AF1|2a，所以|A
7、F2|4a，因为F1AF22 3，所以 SAF1F2 1 2 |AF1|AF2|sinF1AF21 22a4a 3 2 2 3a2. 设|BF2|m， 由双曲线定义可知|BF1|BF2|2a， 所以|BF1|2a|BF2|， 又知|BF1|2a|BA|， 所以|BA|BF2|.又知BAF2 3 ，所以BAF2为等边三角形，边长为 4a，所以 SABF2 3 4 |AB|2 3 4 (4a)24 3a2，所以SAF1F2 SABF2 2 3a2 4 3a2 1 2，故选 B. 方法二：由 |AF2|AF1|2a， |AF1|2a |AF2|4a.由 |BF1|BF2|2a， |BF1|BA|AF
8、1|2a.|BF 2|BA|. 又F1AF22 3，BAF2 3 . ABF2为等边三角形，|AB|AF2|4a，SAF1F2 SABF2 |AF1| |AB| 1 2. 11(2016 课标全国)已知 F1，F2是双曲线 E：x 2 a2 y2 b21 的左、右焦点，点 M 在 E 上， MF1与 x 轴垂直，sinMF2F11 3，则 E 的离心率为( ) A. 2 B.3 2 C. 3 D2 答案 A 解析 如图所示，设 M(c，y)，则c 2 a2 y2 b21，y b2 a .在 RtMF2F1 中，sinMF2F1|MF1| |MF2| b2 a b2 a 2 （2c）2 b2 2
9、a2b2 1 3，ab.e c a 1b 2 a2 2. 12(2020 广东茂名模拟)以(0，b)为圆心，a 为半径的圆与双曲线 C：y 2 a2 x2 b21(a0，b0) 的渐近线相离，则 C 的离心率的取值范围是( ) A. 1， 51 2 B. 51 2 ， C. 1， 53 2 D. 53 2 ， 答案 B 解析 由题意，得 b2 a2b2a，a 2b2c2，b2ac，c2aca20，e2e10.又 e1， e 51 2 .故选 B. 13.(2020 福建福州联考)如图，双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右 焦点分别为 F1，F2，过 F2作直线与 C 的
10、渐近线交于 P 点，若等腰PF1F2的底边 PF2的长等 于 C 的半焦距，则 C 的离心率为( ) A.2 3 3 B.2 3 C.2 6 3 D.3 2 答案 C 解析 依题意， 得 kOPb a c2a2 a2 e21， 在等腰PF1F2中， cosPF2F1 |PF2| 2 |F1F2| c 2 2c 1 4，所以|OP| 2c2c22c2cosPF 2F13 2c 2，所以|OP| 6 2 c，所以 cosF2OP |OP| 2 |OF2| 6 4 ， 所以 tanF2OP 15 3 ，所以 e21 15 3 ，解得 e2 6 3 ，故选 C. 14 (2020 云南昆明诊断测试)已
11、知点 P(1， 3)在双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0， b0)的渐近线上， F 为双曲线 C 的右焦点，O 为原点若FPO90，则双曲线 C 的方程为_，其离 心率为_ 答案 x2 4 y2 121 2 解析 本题考查双曲线的标准方程因为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线方程为 y b ax，点 P(1， 3)在渐近线上，所以 b a 3.在 RtOPF 中，|OP| （ 3）212， FOP60，所以|OF|c4.又 c2a2b2，所以 b2 3，a2，所以双曲线 C 的方程为x 2 4 y 2 121，离心率 e c a2. 15(2019 湖南长沙
12、模拟)P 是双曲线 C：x 2 2y 21 右支上一点，直线 l 是双曲线 C 的一条 渐近线，P 在 l 上的射影为 Q，F1是双曲线 C 的左焦点，则|PF1|PQ|的最小值为_ 答案 2 21 解析 设右焦点为 F2，|PF1|PF2|2 2， |PF1|PF2|2 2，|PF1|PQ|PF2|2 2|PQ|.当且仅当 Q，P，F2三点共线，且 P 在 F2，Q 之间时，|PF2|PQ|最小，且最小值为 F2到 l 的距离 由题意得 l 的方程为 y1 2x， F2( 3， 0)， F2 到 l 的距离 d1， |PQ|PF1|的最小值为 2 2 1. 16(2020 河北名校俱乐部二调
13、)已知 F1，F2分别是双曲线 x2y 2 b21(b0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|2 且F1AF245，延长 AF2交双曲线的右支于 点 B，则F1AB 的面积等于_ 答案 4 解析 由题意知 a1，由双曲线定义知|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2| 2a2，|AF1|2|AF2|4，|BF1|2|BF2|.由题意知|BA|AF2| |BF2|2|BF2|，|BA|BF1|，BAF1为等腰三角形，F1AF2 45， ABF190， BAF1为等腰直角三角形 |BA|BF1| 2 2 |AF1| 2 2 42 2.SF1AB1 2|BA|BF1| 1 2
14、2 22 24. 17.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，F1，F2分别为左、 右焦点，双曲线的左支上有一点 P，F1PF2 3 ，且PF1F2的面积为 2 3， 又双曲线的离心率为 2，求该双曲线的方程 答案 3x2 2 y 2 21 解析 设双曲线的方程为x 2 a2 y2 b21，F1(c，0)，F2(c，0)，P(x0，y0) 在PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 3 (|PF1|PF2|)2 |PF1|PF2|. 即 4c24a2|PF1|PF2|. 又SPF1F22 3，1 2|PF1|PF2|sin 3
15、2 3. |PF1|PF2|8. 4c24a28，即 b22. 又ec a2，c2a，(2a) 22a2，a22 3. 所求双曲线方程为3x 2 2 y 2 21. 18(2019 上海崇明一模)已知点 F1，F2为双曲线 C：x2y 2 b21(b0)的左、右焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线，在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M，MF1F230. (1)求双曲线 C 的方程； (2)过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为 P1， P2，求PP1 PP2 的值 答案 (1)x2y 2 2 1 (2)2 9 解析 (1)设 F2，M 的坐标分别为( 1b2，0
16、)，( 1b2，y0)(y00)， 因为点 M 在双曲线 C 上，所以 1b2y0 2 b2 1，则 y0b2，所以|MF2|b2. 在 RtMF2F1中，MF1F230，|MF2|b2，所以|MF1|2b2. 由双曲线的定义可知，|MF1|MF2|b22， 故双曲线 C 的方程为 x2y 2 2 1. (2)由条件可知，两条渐近线分别为 l1： 2xy0，l2： 2xy0. 设双曲线 C 上的点 P(x0，y0)，两条渐近线的夹角为 ，由题意知 cos1 3.则点 P 到两条渐 近线的距离分别为|PP1| 2x0y0| 3 ，|PP2| 2x0y0| 3 . 因为 P(x0，y0)在双曲线 C：x2y 2 2 1 上，所以 2x02y022. 所以PP1 PP2 | 2x0y0| 3 | 2x0y0| 3 cos|2x0 2y 0 2| 3 1 3 2 9.
