1、 1 北京市西城区 2016 2017学年度第一学期期末试卷 高二数学 (文科 ) 2017.1 试卷满分： 150分 考试时间： 120分钟 题号 一 二 三 本卷总分 15 16 17 18 19 20 分数 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 . 1. 双曲线 2 2 13x y?的 一个焦点坐标为 （ ） （ A） (2,0) （ B） (0,2) （ C） ( 2,0) （ D） (0, 2) 2. 已知椭圆 的长轴 长 是焦距的 2 倍，则椭圆的离心率为 （ ） （ A） 2 （ B） 33 （ C） 22
2、 （ D） 12 3. 给出下列判断 ,其中正确的是 （ ） （ A）三点 唯一 确定一个平面 （ B）一条直线和一个点 唯一 确定一个平面 （ C）两条平行线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 （ D）空间两两相交的三条直线在同一平面内 4. “ 0mn? ” 是 “方程 221mx ny?表示双曲线”的 （ ） （ A） 充分不必要条件 （ B） 必要不充分条件 （ C） 充要条件 （ D） 既不充 分也不必要条件 5. 设 m?R ,命题 “ 若 0m? ， 则方程 2xm? 有实根 ” 的逆否命题是（ ） （ A） 若方程 2xm? 有实根 ， 则 0m? （ B） 若方程 2xm
3、? 有实根 ， 则 0m? （ C） 若方程 2xm? 没有实根 ， 则 0m? （ D） 若方程 2xm? 没有实根 ， 则 0m? 2 6. 下列直线 中，与 直线 012 ?yx 平行 且与圆 522 ?yx 相切的是 （ ） （ A） 2 5 0xy? ? ? （ B） 2 5 0xy? ? ? （ C） 2 5 5 0xy? ? ? （ D） 2 5 5 0xy? ? ? 7. F 是 抛物线 2 4yx? 的焦点 ， P 为抛物线上一点 . 若 3PF? ，则点 P 的纵坐标为（ ） （ A） 3? （ B） 22? （ C） 2? （ D） 1? 8. 如图 ， E 为正四棱锥
4、P ABCD? 侧棱 PD 上 异于 ,PD的 一点， 给出下列结论： 侧面 PBC 可以 是正三角形 ； 侧面 PBC 可以 是直角三角形 ； 侧面 PAB 上 存在直线与 CE 平行； 侧面 PAB 上存在直线与 CE 垂直 . 其中，所有正确结论的序号是（ ） （ A） （ B） （ C） （ D） 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 .把答案填在题中横线上 . 9. 命题 “ x?R ， 使得 2 2 5 0xx? ? ? ” 的否定是 _. 10. 如果 直线 032 ? yax 与 20xy? 垂直， 那么 a 等于 _. 11. 已知双曲线 22 13yx ?
5、，则双曲线的离心率为 _； 渐近线 方程 为 _ . 12. 一个直三棱柱 的三视图 如图 所示， 则 该三棱柱 的 体 积 为 _. 13. 如图， 在 四边形 ABCD 中 ， 1AD D C CB? ? ?， 3AB? ， 对角线 2AC? . 将 ACD 沿 AC 所 在直线 翻折，当 AD BC? 时， 线段 BD 的长度 为 _. A B C D P A B C D E 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图 2 2 2 2 2 2 3 14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知 道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点
6、确定为原点，对称轴确定为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程 .你需要测量的数据是 _（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为 _ 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15 （本小题满分 13分） 如图 ， 四棱锥 P ABCD? 的底面是正方形 ， 侧棱 PA? 底面 ABCD ， E 是 PA 的 中 点 . () 求证： /PC 平面 BDE ； () 证明： BD CE? . 16 （本小题满分 13分） 已知
7、圆 C 经过 )1,1(),3,1( ?BA 两点 ， 且圆心在直线 xy? 上 . () 求圆 C 的方程； () 设直线 l 经过点 )2,2( ? ， 且与圆 C 相交所得弦长为 32 ， 求直线 l 的方程 . 17（本小题满 分 13分） 如图 ， 在 平面 ABCD 中 ， ?AB 平面 ADE ， CD? 平面 ADE ， ADE 是等边三角 形 ， 22A D D C A B? ? ?， ,FG分别为 ,ADDE 的中点 . () 求证 : EF? 平面 ABCD ； () 求四棱锥 E ABCD? 的体积 ； () 判断直线 AG与平面 BCE 的位置关系 ， 并加以证明 .
8、 A B C D P E E D A B C G F 4 18 （本小题满分 13分） 过 椭圆 2 2 12x y?右焦点 F 的直线 l 与 椭圆 交 于两点 ,CD， 与 直线 2?x 交 于点 E . () 若直线 l 的斜率为 2 ， 求 |CD ； () 设 O 为坐标原点，若 : 1 : 3ODE OCESS? ?， 求 直线 l 的方程 19 （本小题满分 14分） 如图 ,在三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中 ， 1AA? 底面 ABC ， 90BAC? ? ? ， 2AB AC?， 1 3AA? . ,MN分别为 BC 和 1AA 的中点 ， P 为侧棱 1BB 上 的
9、动点 . () 求证 :平 面 APM? 平面 11BBCC ； () 若 P 为线段 1BB 的中点 ， 求证 : /CN 平面 AMP ； () 试判断直线 1BC 与 PA 能 否垂直 . 若能垂直 ， 求 出 PB 的值；若不能垂直 ， 请说明理由 . 20 （本小题满分 14分） 已知抛物线 2 2yx? ， 两点 (1,0)M ， (3,0)N . （） 求点 M 到 抛物线 准线的距离； （）过点 M 的直线 l 交抛物线于两点 ,AB，若抛物线上存在一点 R ，使得 , , ,AB N R 四点构成平行四边形，求直线 l 的斜率 . N A M P C B A1 C1 B1 5
10、 北京市西城区 2016 2017学年度第一学期期末试卷 高二数学（文科）参考答案及评分标准 2017.1 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分 . 1. A； 2.D； 3. C； 4. C； 5. D； 6. A； 7. B； 8. D. 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 . 9. 对任意 x?R ,都有 0522 ? xx ； 10. 1； 11. 2 ； 3yx? ； 12. 4 ； 13. 2 ； 14. 碗底的直径 m ，碗口的直径 n ，碗的高度 h ； 222 4nmyxh? . 注：一题两空的题目，第一空 2分，第二空 3分 . 三、解
11、答题：本大题共 6小题，共 80分 . 15.（本小题满分 13分） 解 : () 连结 AC 交 BD 于 O ，连结 OE ， 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 O 为 AC 中点 . 又因为 E 是 PA 的中点，所以 /PC OE ， ? 3分 因为 PC? 平面 BDE ， OE? 平面 BDE ， 所以 /PC 平面 BDE . ? 6分 () 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BD AC? . ? 8分 因为 PA? 底面 ABCD ，且 BD? 平面 ABCD ， 所以 PA BD? . ? 10分 又因为 AC PA A?I ，所以 BD? 平面 PAC ， ? 12
12、分 又 CE? 平面 PAC ， 所以 BD CE? . ? 13分 16.（本小题满分 13分） 解： () 设圆 C 的圆心坐标为 ),( aa ， 依题意 ， 有 2222 )1()1()3()1( ? aaaa ， ? 2分 即 224 5 1a a a? ? ? ?,解得 1?a ， ? 4分 所以 2 2 2(1 1) (3 1) 4r ? ? ? ? ?， ? 5分 所以圆 C 的方程为 4)1()1( 22 ? yx . ? 6分 A B C D P E O 6 () 依题意 ， 圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 1. ? 8分 所以直线 2x? 符合题意 . ? 9分 当
13、直线 l 斜率存在时，设 直线 l 方程为 )2(2 ? xky ， 即 022 ? kykx ， 则 11|3| 2 ?kk， ? 11 分 解得 43k? ， ? 12 分 所以直线 l 的方程为 )2(342 ? xy ， 即 0234 ? yx ， ? 13分 综上 ， 直线 l 的方程为 2x? 或 0234 ? yx . 17.（本小题满分 13分） () 证明 ：因为 F 为等 边 ADE 的边 AD 的中点， 所以 EF AD? . ? 2分 因为 ?AB 平面 ADE ， ?AB 平面 ABCD 所以 平面 ADE? 平面 ABCD . ? 4分 所以 EF? 平面 ABCD
14、 . ? 5分 ( )解：因为 ?AB 平面 ADE ， CD? 平面 ADE ， 所以 /AB CD ， 90ADC?， 四边形 ABCD 是直角梯形， ? 7分 又 22A D D C A B? ? ?， 所以 1 ( 2 1) 2 32A B C DS ? ? ? ? ?梯 形， ? 8分 又 3EF? . 所以 1 33E A B C D A B C DV S E F? ? ? ?. ? 9分 () 结论 : 直线 /AG 平面 BCE . 证明 : 取 CE 的中点 H ，连结 ,GHBH ， 因为 G 是 DE 的中点， 所以 /GH DC ，且 GH =12DC . ? 11分
15、所以 /GH AB ，且 1GH AB?， 所以 四边形 ABHG 为平行四边形， /AG BH ， ? 12分 又 ?AG 平面 BCE ， ?BH 平面 BCE . 所以 /AG 平面 BCE . ? 13分 18.（本小题满分 13分） 解： () 由已知， 1?c ， )0,1(F ， 直线 l 的方程为 22 ? xy . ? 1分 D A B C G F H E 7 设 11( , )Cx y ， 22( , )Dx y ， 联立? ? ? 22 22 22 xy yx ， 消 y 得 29 16 6 0xx? ? ?， ? 3分 91621 ?xx ， 9621 ?xx ， ?
16、4分 所以 221 2 1 2| | 1 ( ) 4C D k x x x x? ? ? ? ? 5分 21 6 6 1 0 25 ( ) 49 9 9? ? ? ?. ? 6分 () 依题意，设直线 l 的斜率为 k （ 0?k ），则直线 l 的方程为 )1( ? xky ， 联立? ? ? kkxy yx 22 22 ， 消 y 得 0)22(4)21 2222 ? kxkxk（ ， ? 7分 2221 21 4 kkxx ?，2221 21 22 kkxx ? ? 8分 因为 : 1 : 3O D E O C ESS ? ，所以 : 1: 3DE CE ? ， 3CE DE? ， 所以 122 3(2 )xx? ? ? ， 整理得 2134xx? ? 10 分 由 得 21 2 121kx k
