1、 知识点知识点58 函数性质研究函数性质研究 三、解答题三、解答题 24（2020 北京）小云在学习过程中遇到一个函数 2 1 |(1)(2) 6 yxxxx 下面是小云对其 探究的过程，请补充完整： （1）当20 x 时，对于函数 1 |yx，即 1 yx ，当2 0 x 时， 1 y随x的增大而 ，且 1 0y ；对于函数 2 2 1yxx，当20 x 时， 2 y随x的增大而 ，且 2 0y ；结合上述分 析，进一步探究发现，对于函数y，当20 x 时，y随x的增大而 （2）当0 x时，对于函数y，当0 x时，y与x的几组对应值如下表： x 0 1 2 1 3 2 2 5 2 3 y 0
2、 1 16 1 6 7 16 1 95 48 7 2 综合上表，进一步探究发现，当x0时，y随x的增大而增大在平面直角坐标系xOy中，画出当x0时 的函数y的图象 y x 1 1 2 3 4 5 121234 O （3）过点(0，m)（0m ）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与 函数 2 1 |(1)(2) 6 yxxxx 的图象有两个交点，则m的最大值是 解析（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案； （2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像； （3）根据函数图像和性质，当x2时，函数有最大值，代入计算即可得到答案 答
3、案解： 解：（1）根据题意，在函数 1 yx 中， 10k , 函数 1 yx 在2 0 x 中， 1 y随x的增大而减小； 22 2 13 1() 24 yxxx ， 对称轴为：1x ， 2 2 1yxx在20 x 中， 2 y随x的增大而减小； 综合上述， 2 1 |(1) 6 yxxx在20 x 中，y随x的增大而减小； 故答案为：减小，减小，减小； （2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图： y x 1 1 2 3 4 5 121234 O （3）由（2）可知，当0 x时，y随x的增大而增大，无最大值； 由（1）可知 2 1 |(1) 6 yxxx在20 x 中，y随x的增大而减小；
4、在20 x 中，有 当2x 时， 7 3 y ， m的最大值为 7 3 ； 故答案为： 7 3 23（2020重庆B卷）探究函数性质时，我们经历了列表描点连线画出函数图象，观察分析图象 特征，概括函数性质的过程结合已有的学习经验，请画出函数 2 12 2 y x 的图象并探究该函 数的性质 x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y 2 3 a 2 4 b 4 2 12 11 2 3 （1）列表，写出表中a，b的值：a _，b _ 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象 （2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“” 作答，错误的用“”作答）
5、： 函数 2 12 2 y x 的图象关于y轴对称； 当x=0时，函数 2 12 2 y x 有最小值，最小值为-6； 在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小 （3）已知函数 210 33 yx 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 2 12210 233 x x 的解集 解析本题考查了函数的图像和性质，观察函数图像是正确解题的前提（1）分别将x=-3和x=0代入函 数表达式 2 12 2 y x 即可；（2）该函数图像是关于y轴对称的图形，故正确；由函数图像的最低点 可知当0 x 时，函数 2 12 2 y x 有最小值-6，进而可知正确；观察函数图像可知当x0
6、时y随x的增 大而减小，当x0时y随x的增大而增大，故错误；（3） 2 12210 233 x x 的解集即 2 12 2 y x 的图 像在 210 33 yx 的图像下方时x的取值范围. 答案解： （1）a=- 2 11 ,b=-6；函数图像如图所示. （2）（）；（2）（）；（3）（）. （3）x-4，-2x1. 注：当不等式解集的端点值误差在0.2范围内，均给相应分值. 27.（2020盐城） 以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完 成虚线框下方的问题1 4. 1在Rt ABCV中，90 ,2 2CAB，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到， 组
7、数据如下表:(单位:厘米) AC 2.8 2.7 2.6 2.3 2 1.5 0.4 BC 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 ACBC 3.2 3.5 3.8 3.9 4 3.9 3.2 2根据学习函数的经验，选取上表中BC和ACBC的数据进行分析； 设BCx ACBCy,，以(), x y为坐标，在图所示的坐标系中描出对应的点； 连线； 观察思考 3结合表中的数据以及所面的图像，猜想.当x 时，y最大； 4进一步C猜想:若Rt MBCV中，90C，斜边(2ABa a为常数，0a )，则BC 时，ACBC最大. 推理证明 5对 4中的猜想进行证明. 问题1.在图中完善 2的描
8、点过程，并依次连线； 问题2.补全观察思考中的两个猜想: 3 _ 4 _ 问题3.证明上述 5中的猜想: 问题4.图中折线BEFGA是一个感光元件的截面设计草图， 其中点,A B间的距离是4厘 米，1AGBE厘米，90 ,EFG o 平行光线从AB区域射入，60 ,BNE o 线段 FMFN、为感光区城，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值. 27解析：本题是一道由度量得出规律，然后验证规律，最后变式应用的题目，其中前面探索得出的结 论和方法，要注意应用到最后的问题解决中去 解：问题1:图 问题2: 3 2 42a 问题3: 法一:(判别式法) 证明:设,BCx ACBCy
9、 在Rt ABCV中， 2222 90 ,4,CACABBCaxQ 22 4yxax 22 4yxax 2222 24,yxyxax 222 2240,xxyya Q关于x的元二次方程有实根， 2222 444 240,bacyxa 2 28,ya 00,yaQ, 2 2 ,ya 当y取最大值2 2a时， 22 24 240 xaxa 2 220 xa 12 2xxa 当2BCa时，y有最大值. 法二:(基本不等式) 设,BCm ACn ACBCy 在Rt ABCV中，90 ,CQ 222 4mna 2 0,mnQ 22 2mnmn. 当mn时，等式成立 2 42,amn 2 2mna. 22
10、 2ymnmnmnQ 2 42amn， 2 2,mnaQ 2 2 ,ya 当2BCACa时，y有最大值. 问题4: 法一:延长AM交EF于点,C 过点A作AHEF于点,H垂足为,H 过点B作BKGF交于点,K垂足为,K BK交AH于点,Q 由题可知:在BNEV中，60 ,90 ,1BNEEBE o BE tan BNE NE 即 1 3 NE 3 3 NE / /,AMBNQ 60 ,C 又90 ,GFE o Q 30 ,CMF 30 ,AMG 90 ,1,30GAGAMGQ， 在Rt AGMV中， AG tan AMG GM ， 即 31 3GM 3,GM 90 ,90 ,GGFHAHF Q
11、 四边形AGFH为矩形 ,AHFG 90 ,=90GFHEBHF o Q， 四边形BKFE为矩形， ,BKFE FNFMEFFGENGMQ 3 3 3 BKAH 4 3 3 BQAQQHQK 4 3 2 3 BQAQ 在Rt ABQV中，4AB . 由问题3可知，当2 2BQAQ时，AQBQ最大 2 2BQAQ时，FMFN最大为 4 3 4 22 3 cm 即当2 21EF 时，感光区域长度之和FMFN最大为 4 3 4 22 3 cm 法二: 延长EBGA、相交于点,H 同法一求得: 3 3, 3 GMNE 设,AHa BHb Q四边形GFEH为矩形， ,GFEH EFGH 13MFEHGM
12、b . 3 1 3 FNEFNEa 4 3 2 3 MFFNab 22 16,abQ 由问题3可知，当2 2ab时，ab最大 2 2ab时FMFN最大为 4 3 4 22 3 cm 即当2 21EF 时，感光区域长度之和FMFN最大为 4 3 4 22 3 cm . 23.（2020达州）如图，在梯形ABCD中，/ABCD，90B ，6ABcm，2CDcmP 为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PEPA交射线CD于点E 聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究： （1）通过推理，他发现ABPPCE，请你帮他完成证明 （2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到
13、不同位置时，CE、BP的长度的对应值： 当6BCcm时，得表1： /BP cm 1 2 3 4 5 /CE cm 0.83 1.33 1.50 1.33 0.83 当8BCcm时，得表2： /BP cm 1 2 3 4 5 6 7 /CE cm 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17 这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制 填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，_的长度为自变 量，_的长度为因变量； 设BCmcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围 解析（1）本题显
14、然是“一线三等角”的证明，由同角的余角相等可得两个三角形中的一对角相等， 结合两个90的直角即可证明两三角形相似；（2）由函数的定义即可解决；由（1）中的相似 即可得到m的取值范围. 答案（1）ABCD，B=90，C=90， PEPA，B=90， APBEPC=90，APBPAB=90，PAB=EPC， 在APB和EPC中，PAB=EPC，B=C=90，APBEPC. （2）BP；CE； APBEPC， CD=2，CE的最大值为2，即BPCP=12， 由表格可知：当BP=2时，CE=2，此时CP=6，BC=BPCP=8， BC的最大值为8，即0m8. B D P A C E 21（2020湖北
15、荆州）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函 数 2 y x =的图象与性质.其探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图1. 列表：下表是x与y的几组对应值，其中m= ； x -3 -2 -1 1 2 - 1 2 1 2 3 y 2 3 1 2 4 4 2 m 2 3 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）通过观察图1，写出该函数的两条性质： ； ； （3）观察发现：如图2，若直线2y =交函数 2 y x =的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BCOA交x
16、轴 于C，则 OABC S四边形= ； 探究思考： 将中 “直线2y =” 改为 “直线ya=（0a ）” ， 其他条件不变， 则 OABC S四边形= ； 类比猜想：若直线ya=（0a ）交函数 k y x =（0k ）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC OA交x轴于C，则 OABC S四边形= . 解析本题考查了函数图象的综合运用，主要是通过已知点的数据，确定未知点数据，再绘出图象，从 图象查看函数性质，正确画出函数图象是解题关键（1）观察表格中的数据，发现2x y?，由此可计 算出m的值；（2）观察图象，发现该函数的图象是两条双曲线，分别位于第一、二象限，函数图象无限 接近坐标轴
17、，但不与其相交，且关于y轴对称；在第一象限，函数图象从左到右呈下降趋势，说明y随x 增大而减小；在第二象限，函数图象从左到右呈上升趋势，说明y随x增大而增大；结合上述性质，说 出两条即可；（3）连结OB，因BCOA，ABx轴，所以四边形OABC为平行四边形，所以恒有 ) 2 | 2 | (2)(22 kk SSSS DOBAODAOBOABC 四边形 =2|k|，据此可解答、 、 题 答案解：（1）m=1；补图如图： （2） 函数图象关于y轴对称； 当0 x 时，y随x增大而减小； 函数图象无限接近坐标轴，但不与其相交； 函数没有最大值等等； （3） 4； 4； 2k. 24.（2020郴州）
18、为了探索函数)0( 1 x x xy的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法. 列表： x 4 1 3 1 2 1 1 2 3 4 5 y 4 17 3 10 2 5 2 2 5 3 10 4 17 5 26 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应 的点，如图1所示： 图1 图2 （1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点),(),( 2211 yxyx在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若10 21 xx，则 1 y 2 y；若 21 0 xx ，则 1 y 2 y； 若1 2
19、1 xx，则 1 y 2 y（填“”，“=”，“”）. （3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米.已知底面造 价为1千元/平方米，侧面造价为5 . 0千元/平方米，设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千 元. 请写出y与x的函数关系式； 若该农户预算不超过5 . 3千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内? 解析（1）用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；（2）利用图象法解决问题即可； （3）总造价对面的造价侧面的造价，构建函数关系式即可；转化为一元二次不等式解决 问题即可 答案（1）函数图象如图所示： （2）若0 x1x21，则y1y2；
20、若1x1x2，则y1y2， 若x1x21，则y1y2 故答案为， （3）由题意，y1（2x）0.51x（x0） 由题意1x3.5， x0， 可得2x25x20， 解得：x2， 长x应控制在x2的范围内 25（2020武威）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验下表是一个函数的自变量x 与函数值y的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题： x 0 1 2 3 4 5 y 6 3 2 1.5 1.2 1 （1）当x 3 时，y1.5； （2）根据表中数值描点（x，y），并画出函数图象； （3）观察画出的图象，写出这个函数的一条性质： 函数y随x的增大而减小 解：（1）当x3时，y1.5； 故答案为：3； （2）函数图象如图所示： （3）观察画出的图象，这个函数的一条性质： 函数y随x的增大而减小 故答案为：函数y随x的增大而减小
