1、 - 1 - 河北武邑中学 2017 2018学年下学期高二期末考试 数 学 试 题（理科） 一选择题（ 本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分， 在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求） 1. 若直线 1x? 的倾斜角为 ? ，则 ? （ ） A.等于 0 B.等于4?C.等于2?D.不存在 2.已知实数 a、 b、 c、 d成等差数列 ,且曲线 y=ln(x+2)-x取得极大值的点坐标为 (b,c),则 a+d 等于（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3.已知函数 f(x)=sinx-cosx,且 ? ? ? ?xfxf 2? ,其中 ? ? ? ?的导函
2、数是 xfxf ? ，则 xx x2sincos sin12 2? =（ ） A 519? B. 519 C. 311 D. 311? 4.设 nm、 是不同的直线， ?、 是不同的平面，有以下四个命题： 若 ? ， ?/m ，则 ?m 若 ?m ， ?n ，则 nm/ 若 ?m ， nm? ，则 ?/n 若 ?n ， ?n ，则 ?/ . 其中真命题的序号为（ ） A. B. C. D. 5 某 学校有男、女学生各 500名 .为了解男女学生在学习兴趣与业 余爱好方面是否 存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100名学生进行调查，则宜采用的 抽样方法是 （ ） A抽签法 B随机数法 C系统抽样
3、法 D分层抽样法 6.焦 点为 ? ?6,0? 且与双曲线 12 22 ?yx 有相同渐近线的双曲线方程是 ( ) A. 12412 22 ? yxB. 12412 22 ? xy C. 11224 22 ?xy D. 11224 22 ? yx - 2 - x y O x y O x y O x y O 7.如图，已知三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的侧棱与底面边长都 相等， 1A 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则异面 直线 AB 与 1CC 所成的角的余弦值为（ ） A. 34 B. 54 C. 74 D. 34 8 椭圆 22125 16xy?的左、右焦点分别为 12,F
4、F，弦 AB 过 1F ，若 2ABF? 的内切圆的周长为2? ， ,AB两点的坐标分别为 ? ?11,xy ， ? ?22,xy ，则 21yy?（ ） A. 35 B 310 C 320 D 35 9.如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图 .正方形 内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ( ) A.41 B 4? C 21 D 8? 10. 在同一直角坐标系中，表示直线 y ax? 与 y x a? 正确的是（ ） A B C D 11.如图， P是正四面体 V-ABC的面 VBC上一点 ，点 P到平面 A
5、BC距离与到点 V 的距离相等，则动点 P的轨迹是 ( ) A直线 B抛物线 C离心率为 223 的椭圆 D离心率为 3的双曲线 12. 设直线 l1， l2分别是函数 f(x)? lnx， 0 x 1，lnx， x 1 图象上点 P1， P2处的切线， l1与 l2- 3 - 垂直相交于点 P，且 l1， l2分别与 y轴相交于点 A， B，则 PAB的面积的取值范围是 ( ) A (0， 1) B (0， 2) C (0， ) D (1， ) 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13 设复数 11 iz i? ? ，则 z? 。 14. 已知 ()fx是函数 f(x)
6、的导函数， ? ? )0(1ln22)( fxxf x ? ,则 ? )1(f _. 15.已知抛物线 2 4yx? 的准线与双曲线 222 14xya ?交于 ,AB两点，点 F 为抛物线的交点，若 FAB? 为正三角形，则双曲线的离心率是 16.已知直线 ? ? ? ?: 2 1 4 4 0l m x m y m? ? ? ? ? ?上总存在点 M ，使得过 M 点作的圆 C ： 22 2 4 3 0x y x y? ? ? ? ?的两条切线互相垂直， 则实数 m 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分） 17. （本小题满分 10分） 命题 :p 方程 ? ?2221m
7、x m y? ? ?表示双曲线；命题 :q 不等式 ? ? ? ?21 1 2 0m x m x? ? ? ? ?的解集 是 R . pq? 为假， pq? 为真，求 m 的取值范围 . 18 （本小题满分 12 分） 三棱柱 111 CBAABC? 中， NM、 分别是 BA1 、 11CB 上的点，且12BM AM? ， 112C N B N? 。设 AB?a ， AC?b ， 1AA?c . （）试用 ,abc 表示向量 MN ； （）若 ?90?BAC ， 11 60B A A C A A? ? ? ?， 1 1AB AC AA? ? ?，求 MN的长 .。 B1C 1A1NMCBA-
8、 4 - 19 (本小题满分 12分 )已知点 P(2,2)，圆 C： x2 y2 8y 0，过点 P的动直线 l与圆 C交于A， B两点，线段 AB的中点为 M， O为 坐标原点 (1)求 M 的轨迹方 程； (2)当 |OP| |OM|时，求 l的方程 . 20 （本小题满分 12分） 已知曲线 3: ( )C f x x x? （ 1）求曲线 C 在点 (1, (1)f 处的切线方程； （ 2）求与直线 53yx?平行的曲线 C 的切线方程 21.（本小题满分 12分） 已知函数 xaxxf ln1)( ? ()a?R （ 1）讨论函数 )(xf 在定义域内的极值点的个数； （ 2）若函
9、数 )(xf 在 1?x 处取得极值，且对任意 ? ?0,x? ? , 2)( ?bxxf 恒成立， 求实数 b 的取值范围； （ 3）当 1? eyx 时，求证：)1ln( )1ln( ? yxe yx 22（本题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，且 PA AD 2， E、 F分别为棱 AD、 PC 的中点 . (1)求异面直线 EF和 PB所成角的大小 ; (2)求证 :平面 PCE 平面 PBC; (3)求二面角 E PC D的大小 . - 5 - 理科数学评分细则 1.C 2.D 3. A 4. D 5.D. 6.B
10、7.D 8 B 9.D 10. C. 11. C 12.A 13 1 222( 1 ) 1 2 2 ,1( 1 ) ( 1 ) 1 2i i i iz i zi i i? ? ? ? ? ? ? ? ? ?14. 2ln 15. 573 16. 2 10m? ? ? 17. （本小题满分 10分） 解： p 真 ? ?20mm? 02m?， q 真 1m? 或 1 0m? 19m? 19m? p 真 q 假 01m? p 假 q 真 29m? m 范围为 | 0 1 2 9 m m m? ? ? ?或 18 （本小题满分 12分） 解： （） 1 1 1 1M N M A A B B N? ?
11、 ?1 1 11133B A A B B C? ? ?1 1 1 1 1( ) ( )3 3 3 3 3? ? ? ? ? ? ? ?c a a b a a b c。 6分 （） 2( ) 2 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2a b c a b c a b b c c a 111 1 1 0 2 1 1 2 1 1 522? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， | | 5? ? ?a b c ， 15| | | |33MN ? ? ? ?a b c 12分 19 (本小题满分 12分 ) 解： (1)圆 C的方程可化为 x2 (y 4)2 16，所以圆心
12、 为 C(0,4)，半径为 4 设 M(x， y)，则 CM (x， y 4)， MP (2 x,2 y) 由题设知 CM MP 0，故 x(2 x) (y 4)(2 y) 0，即 (x 1)2 (y 3)2 2 6分 由于点 P在圆 C的内部，所以 M的轨迹方程是 (x 1)2 (y 3)2 2 (2)由 (1)可知 M的轨迹是以点 N(1,3)为圆心， 2为半径的圆 由于 |OP| |OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P在圆 N上， 从而 ON PM 因为 ON 的斜率为 3，所以 l的斜率为 13，故 l的方程为 x 3y 8 0 12分 20 （本小题满分 12分） -
13、 6 - 解：（ 1） ， ，求导数得 ， 切线的斜率为 ， 所求切线方程为 ，即 6分 （ 2）设与直线 平行的切线的切点为 ， 则切线的斜率为 又 所求切 线与直线 平行， ， 解得 ，代入曲线方程 得切点为 或 ， 所求切线方程为 或 ， 即 或 12 分 21.（本小题满分 12分） 解：（ 1）xaxxaxf 11)( ?， 当 0?a 时， ( ) 0fx? ? 在 ),0( ? 上恒成立， 函数 )(xf 在 ),0( ? 单调递减， )(xf 在 ),0( ? 上没有极值点； 当 0?a 时， ( ) 0fx? ? 得 10 x a? ， ( ) 0fx? ? 得 1x a?
14、， )(xf 在 ( 10,)a 上递减 ，在 (1 ),a? 上递增，即 )(xf 在ax 1?处有极小值 当 0?a 时 )(xf 在 ),0( ? 上没有极值点， 当 0?a 时， )(xf 在 ),0( ? 上有一个极值点 4分 （注：分类讨论少一个扣一分。） （ 2） 函数 )(xf 在 1?x 处取得极值， 1?a ， 5 分 bx xxbxxf ? ln112)(， 6分 令xxxxg ln11)( ?，可得 )(xg 在 ? ?2,0e 上递减，在 ? ?,2e 上递 增， 7 分 22m in 11)()( eegxg ?，即211b e? 8分 - 7 - （ 3）证明：)1l n ()1l n ()1l n ( )1l n ( ? yexeyxeyxyx ， 9分 令)1ln()( ? xexg x，则只要证明 )(xg 在 ),1( ?e 上单调递增， 又 )1(ln11)1ln ()( 2 ? ?xxxexg x ， 显然函数 11)1ln ()( ? xxxh 在 ),1( ?e 上单调递增 011)( ? exh ，即 0)( ? xg ， )(xg 在 ),1( ?e 上单调递增，即)1ln ()1ln ( ? yexe yx， 当 1? eyx 时，有)1l n (? yxeyx.12 分 22（本题满分 12分） 22、 - 8 -
