1、21.5 反比例函数反比例函数第2课时 反比例函数的图象和性质学习目标1.经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的 图象特征和性质的过程(重点、难点)2.会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图 象和性质.(重点)3.能够初步应用反比例函数的图象和性质解题.(重点、难点)导入新课导入新课我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函数图象时的方法吗？写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？复习引入反比例函数的图象和性质讲授新课讲授新课例1 画反比例函数 与 的图象.合作探究6yx12yx提示：画函数的图象步骤一般分为：列表描点连线.需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.解：列
2、表如下：x 6543 2 1123456 6yx12yx1 1.2 1.5 2 3 6 6 32 1.5 1.2 12 2.4 3 4 6643 2.4 2O2描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点56xy43211 2 3 4 5 6341561234566yx连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得 的图象6yx12yx观察这两个函数图象，答复以下问题：思考：(1)每个函数图象分别位于哪些象限？(2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？(3)对于反比例函数 (k0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？kyx由两条曲线组成
3、，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.反比例函数 (k0)的图象和性质：kyx1.反比例函数 的图象大致是 ()CyA.xyoB.xoD.xyoC.xyo练一练3yx2.反比例函数反比例函数 的图象过点的图象过点(2，3)，函，函 数图象上有两点数图象上有两点 A(，y1)，B(5，y2)，那么，那么 y1与与y2 的大小关系为的大小关系为 ()A.y1 y2B.y1=y2C.y1 5，可知y1，y2的大小关系.6yx2 7观察与思考 当 k=2，4，6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？回忆上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究
4、反比例函数 (k0)的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k0)的图象和性质吗？kyxkyxkyxyxOyxOyxO2yx4yx6yx反比例函数 (k0)的图象和性质：kyx由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限 它们与x轴、y轴都不相交；在每个象限内，y随x的增大而增大.归纳：(1)当 k 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；(2)当 k“或“=).练一练2yx 例2 反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值.271aayax 解：由题意得a2+a7=1，且a10 解得 a=3.反比例函数的图象和性质的初步运用练一练 已知反比
5、例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值21038mymx解：由题意得 m210=1，且 3m80 解得 m=3.例3 反比例函数的图象经过点 A(2，6).(1)这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？解：因为点 A(2，6)在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.(2)点B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？122445解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A(2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k=12.kyx62k因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不
6、满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.所以反比例函数的解析式为 .12yx(1)图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？Oxy例4 如图，是反比例函数 图象的一支.根据图象，回答下列问题：5myx解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限.由因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m50，解得m5.(2)在这个函数图象的某一支上任取点 A(x1，y1)和 点B(x2，y2).如果x1x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？解：因为 m5 0，所以在这个函数图象的任一支 上，y 都随 x 的增大而减小，因此当
7、x1x2时，y1y2.反比例函数解析式中 k 的几何意义1.在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：4yx合作探究5123415xyOPP(2，2)Q(4，1)S1的值S2的值 S1与S2的关系猜想 S1，S2 与 k的关系4yx 4 4S1=S2S1=S2=k5432143232451QS1的值 S2的值S1与S2的关系猜想与 k 的关系P(1，4)Q(2，2)2.假设在反比例函数假设在反比例函数 中中也也 用同样的方法分别取用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：两点，填写表格：4yx4yx4 4S1=S2S1=S2
8、=kyxOPQ由前面的探究过程，可以猜测：若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.xky yxOPS我们就 k 0 的情况给出证明：设点 P 的坐标为(a，b)AB点 P(a，b)在函数 的图象上，kyx ，即 ab=k.kba S矩形 AOBP=PBPA=ab=ab=k；假设点 P 在第二象限，那么 a0，假设点 P 在第四象限，那么 a0，bSBSC B.SASBSCC.SA=SB=SC D.SASC0)图像上的任意两点，过点 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的垂
9、线 CD，垂足为 D，连接 OC交 PA 于点 E.设 POA 的面积为 S1，那么 S1=；梯形CEAD的面积为 S2，那么 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.典例精析4yx2S1S2S3 如下图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，AOC 的面积 S1、BOD 的面积 S2、POE 的面积 S3 的大小关系为 .S1=S2 S3练一练解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1=S2.PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，SOFE=S1=S2，而 S3SOFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1=S
10、2 0)的图象上有两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1x20，则 y1y2 0.kyxyDBACx6.如图，点 A 是反比例函数 (x0)的图象上任意一点，AB/x 轴交反比例函数 (x0)的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD=_.2yx3yx 3257.反比例函数反比例函数 y=mxm5，它的两个分支分别在，它的两个分支分别在 第一、第三象限，求第一、第三象限，求 m 的值的值.解：因为反比例函数 y=mxm5 的两个分支分别在第 一、第三象限，所以有m25=1，m0，解得 m=2.8.已知反比例函数 的图
11、象经过点 A(2，4).(1)求 k 的值；kyx解：反比例函数 的图象经过点 A(2，4)，把点 A 的坐标代入表达式，得 ，kyx42k 解得 k=8.(2)这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大 如何变化?解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内，y 随 x 的增大而增大.(3)画出该函数的图象；Oxy解：如下图：(4)点 B(1，8)，C(3，5)是否在该函数的图象上？因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标不满足该解析式，所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上.解：该反比例函数的解析式为 .8yx 能力提升：8.点(a1，y1)，(a1，y2)在反比例函数 (k0)的图象上，若y1y2，求a的取值范围.kyx 解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而 减小.当这两点在图象的同一支上时，y1y2，a1a+1，无解；当这两点分别位于图象的两支上时，y1y2，必有 y10y2.a10，a+10，解得：1a1.故 a 的取值范围为：1a1
