1、 - 1 - 江西省会昌县 2018 届高三数学上学期第一次半月考试卷 文 第 I 卷（选择题） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1 设全集 UR? ， | 2, A x x x R? ? ?， ? ?1,2,3,4B? ，则 UB C A?（ ） A. ?4 B. ? ?3,4 C. ? ?2,3,4 D. ? ?1,2,3,4 2 已知 i 是虚数单位， 20172ii2iz ? ，且 z 的共轭复数为 z ，则 z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三 象限 D. 第四象限 3 在等比数列 ?na 中， “ 4a ， 1
2、2a 是方程 2 3 1 0xx? ? ? 的两根 ” 是 “ 8 1a? ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4 下列函数中，与函数 3yx? 的单调性和奇偶性一致的函数是（ ） A. yx? B. tanyx? C. 1yxx? D. eexxy ? 5 若 ，则下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 6 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ） A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 7中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “ 三百
3、七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 .” 其大意为： “ 有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地 .” 问此人第 4 天和第 5 天共走了（ ） A. 60 里 B. 48 里 C. 36 里 D. 24 里 - 2 - 8 已知函数 ? ? ? ?s in ( 0 , 0 )f x A x A? ? ? ? ? ?的图像的一个最高点坐标为 ? ?1,2 ，相邻的对称轴与对称中心间的距离为 2，则下列结论正确的是（ ） A. ?fx的图像关于 ? ?2,0 中心对称
4、 B. ?fx的图像关于直线 3x? 对称 C. ?fx在区间 ? ?2,3 上单调递增 D. ? ?2017 2f ? 9 已知关于 x 的方程 22co s co s 2sin 02Cx x A B? ? ?的两根之和等于两根之积的一半，则 ABC? 一定是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 10 已知定义在 R 上的奇函数 ?fx，满足 ? ? ? ?2f x f x? ? ? ，且当 ? ?0,1x? 时， ? ? 2 sinf x x x x? ? ?，若方程 ? ? ? ?0f x m m?在区间 ? ?4,4? 上有四个不同的根 1 2
5、 3 4, , ,x x x x ，则 1 2 3 4x x x x? ? ? 的值为（ ） A. 4? B. 2? C. 4 D. 2 11 正项等比数列 ?na 中， 2017 2016 20152a a a?若 2116mna a a? ，则 41mn? 的最小 值等于（ ） A. 1 B. 35 C. 32 D. 136 12 已知函数 ? ?2 2 lnxef x k xxx? ? ?，若 2x? 是函数 ?fx的唯一一个极值点，则实数 k 的取值范 围为 ( ) A. ? ?,e? B. ? ?,e? C. ? ?0,e D. ? ?0,e 第 II 卷（非选择题） 二、填空题（本
6、大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置） 13 已知 ? ?1,a ? ， ? ?2,1b? ，若向量 2ab? 与 ? ?8,6c? 共线，则 a? _ 14 在平面直角坐标系 xOy 中，已知角 ? 的顶点和点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上一点 M 坐标为 ? ?1, 3? ，则 tan4?_ - 3 - 15 已知实数 x ， y 满足不等式组 2 0, 2 5 0,2 0,xyxyy? ? ? ? ?目标函数 422log logz y x?，则 z 的最大值为 _ 16 已知函数 ? ? 2 ln21 xf x x ex t x?
7、 ? ? ? ?,其中 2.71828e? ? 若 ? ?y f x? 有两个相异的零点 ,则 t 的取值范围为 _ 三、解答题（ 本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ） 17（本小题满分 10 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为24cossin? ?，直线 l 的参数方程为 ,1x tcosay tsina?（ t 为参数， 0 a ? ） . （ ）把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线 C 的形状； （ ）若直线 l 经过点 ? ?1,0 ，求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长 . 18（本小
8、题满分 12 分） 已知函数 ? ? ? ?c o s ( 0 , 0 , )2f x A x A ? ? ? ? ? ? ? ?的部分图像如图所示 . （ ）求函数 ?fx的解析式； （ ）在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别是 ,abc，若 ? ?2 3 c o s 3 c o sa c B b C?，求sin2AfC? 的取值范围 . - 4 - 19（本小题满分 12 分） 已知正项等比数列 ?na 满足 1 2, 3,2 6a a a ? 成等差数列，且 24 1 59a aa? （ ）求数列 ?na 的通项公式； （ ）设 ? ?31 logn n nb a a? ? ?，求
9、数列 ?nb 的前 n 项和 nT 20 （本小题满分 12 分） 如图，在 中， 为 边上一点， ，已知 ， （ 1）若 是锐角三角形， ，求角 的大小； （ 2）若 的面积为 ，求边 的长 21 （本小题满分 12 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 1)( ? xxf （ ）解不等式 6)3()1( ? xfxf ； （ ）若 1,1 ? ba ，且 0?a ，求证： )()( abfaabf ? - 5 - 22 已知函数 ，记 为 的导函数 . （ 1）若曲线 在点 处的切线垂直于直线 ，求 的值； （ 2）讨论 的解的个数； （ 3）证明：对任意的 ，恒有 - 6 - 会昌中学
10、高三文科数学第一次半月考答案 1 B 2 A 3 A 4 D 5 D 6 C 7 C 8 D 9 C 10 A 11 C 12 B 13 2 14 32? 15 1 16 211tee? ? ? 17（ 1）详见解析；（ 2） 8 试题解析： （ 1）曲线 C 的直角坐标方程为 2 4yx? ，故曲线 C 是顶点为 ? ?00O ， ，焦点为 ? ?10F，的抛物线 . （ 2）直线 l 的参数方程为 1x tcosy tsin?（ t 为参数， 0 ?），故 l 经过点 ? ?01， ，若直线l 经过点 ? ?10， ，则 34? . 直线 l 的参数方程为3242321142x tc o
11、s ty tsin t? ? ? ? ? ?（ t 为参数） 代入 2 4yx? ，得 2 2 6 2 0tt? ? ?， 设 AB， 对应的参数分别为 12tt， ，则 12 26tt? ? ， 122tt? ， ? ? 21 2 1 2 1 248A B t t t t t t? ? ? ? ? ?. 18 （ ） ? ? 2cos 23f x x ?;（ ） ? ?0,3 . 试题解析：（ ）由图像知， 22 , 236AT ? ? ? ? ?， 2 2T?， 由图像可知， 26f ?， 2cos 2 26? ? ? ?， cos 13? ?， 23 k? ? ， 又 2? ， 3? ，
12、 ? ? 2cos 23f x x ?. （ ）依题设， ? ?2 3 c o s 3 c o sa c B b C?， - 7 - ? ?2 s in 3 s in c o s 3 s in c o sA C B B C?， 即 ? ?2 s i n c o s 3 s i n c o s c o s s i nA B B C B C? ? ?3sin 3sinB C A? ? ?， 3cos 2B? ， 又 ? ?0,B ? ， 6B ? . 56AC? . 由（ ）知， 5s i n 2 c o s s i n c o s 3 s i n s i n2 3 6Af C A C A A A
13、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?13c o s 3 s i n c o s s i n 3 s i n2 2 6A A A A A ? ? ? ? ? ?， 又 50,6A ?， ,66A ?， ? ?sin 0,16A ?， sin2AfC?的取值范围是 ? ?0,3 . 19 （ ） 3nna? ; （ ） 13nnTn? . 试题解析：（ ）设正项等比数列 ?na 的公 比为 q （ 0q? ）， 由 24 1 59a aa? 239a? ，故 22 423 9aq a?，解得 3q? ， 因为 0q? ，所以 3q? 又因为 1
14、a ， 22a ， 3 6a? 成等差数列，所以 ? ?1 3 26 4 0a a a? ? ? ?， 解得 1 3a? ， 所以数列 ?na 的通项公式为 3nna? . （ ）依题意得 ? ?2 1 3nnbn? ? ? ，则 ? ?1 2 33 3 5 3 7 3 2 1 3 nnTn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ?2 3 4 13 3 3 5 3 7 3 2 1 3 2 1 3nnnT n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 由 ? 得 ? ? ? ?1 2 3 22 2 1 3 2 3 3 3 3nnnTn ? ? ? ? ? ? ? ?
15、 ? ? ? 211 2 1332 1 3 2 3 2 313 nnnnn? ? ? ? ? ? ? ?， - 8 - 所以数列 ?nb 的前 n 项和 13nnTn? 20（ 1） ；（ 2） 试题解析：（ 1）在 中， ， ， ， 由正弦定理得到： ，解得 ，则 或 ， 是锐角三角形， ， 又由 ，则 （ 2）由于 ， ， 面积为 ，则 ，解得 再由余弦定理得到 ，故 ， 又由 ，故边 的长为 21 （ ）不等式的解集是 ( , 3 3, )? ? ?U ； （ ） 证明过程详见解析 试题解析： （ ） 因为 1)( ? xxf ，所以 6)3()1( ? xfxf 等价于 622 ? x
16、x 而 622 ? xx 表示的几何意义是，数轴上点 x 到点 -2 和点 2 两点的距离之和 大于 6，显然当点 x 在点 -3 或其左边、在点 3 或其右边均符合题意，故 不等式的解集是( , 3 3, )? ? ?U （ ） 要证 )()( abfaabf ? ，只需证 |1| abab ? ，只需证 22 )()1( abab ? 而 0)1)(1(1)()1( 22222222 ? bababaabab ，从而原不等式成立 22 （ 1） （ 2）详见解析 (3)详见解析 - 9 - 试题解析：（ 1）由已知可得，函数 的定义域为 ，所以 在点 处的切线的斜率 又切线垂直于直线 ，所以 ，即 ，所以 （ 2）由（ 1）可得 ，令 得 ， 令 ，则 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增 . 又当 时， ， 当 时， ，当 时， ， 故当 时， 无解； 当 时， 有唯一解； 当 时， 有两解 . （ 3）令 在 单调递减，又 .
