1、 - 1 - i 1 While i 6 i i? 2 S 2i? 3 End While Print S （ 第 3 题 ） 2017 届高三年级第二学期周考（ 4） 数 学 试 题 (总分 160 分，考试时间 120 分钟 ) 一、填空题：（本大题共 14 个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 70 分，将答案填在答题纸上） 1 已知集合 ? ? 0 3 4 A? ， ， ， ? ? 1 0 2 3 B ?， ， ， ，则 AB? 2 已知复数 3i1iz ? ? ，其中 i 为虚数单位，则 复数 z 的模是 3 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 是 4 现有 1 000 根某品种
2、的棉花纤维，从中随机抽取 50 根，纤维长度（单位： mm）的数据分 组及各组的频数见右上表，据此估计这 1 000根中纤维长度不小于 37.5 mm的根数是 5 100 张卡片上分别写有 1， 2， 3，?， 100 从中任取 1 张，则这张卡片上的数是 6 的倍 数的概率是 6 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 2 4yx? 上一点 P 到焦点的距离为 3，则点 P 的横 坐标 是 7 现有一个底面半径为 3 cm，母线长为 5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个 实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是 cm 8 函数 ? ?2( ) lg 5f x x?的定义域是 9
3、 已知 ? ?na 是公差不为 0 的等差数列， nS 是其前 n 项和若 2 3 4 5aa aa? ， 9 27S? ，则 1a 的值 是 10 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 1C ： ? ? ? ?224 8 1xy? ? ? ?，圆 2C ： ? ? ? ?226 6 9xy? ? ? ? 若圆心在 x 轴上的圆 C 同时平分圆 1C 和圆 2C 的圆周，则圆 C 的方程 是 纤维长度 频数 22.5， 25.5) 3 25.5， 28.5) 8 28.5， 31.5) 9 31.5， 34.5) 11 34.5， 37.5) 10 37.5， 40.5) 5 40.5， 43
4、.5 4 （ 第 4 题 ） - 2 - 11 如图，在平面四边形 ABCD 中， O 为 BD 的中点，且 3OA? ， 5OC? 若 AB AD ?7， 则 BC DC 的值是 12 在 ABC 中，已知 2AB? ， 226AC BC?， 则 tanC 的最大值 是 13 已知函数20() 1 0x m xfx xx? ? ? ? ? ， ， ，其中 0m? 若函数 ? ?( ) 1y f f x?有 3 个不同的零点，则 m 的取值范围 是 14 已知 对任意的 x?R ， ? ? ? ?3 s i n c o s 2 s i n 2 3 a x x b x a b? ? ? R ，恒
5、成立 ，则 当 ab? 取得最 小值时 ， a 的值 是 二、解答题：本大题共 6 小题，共 计 90 分 15 （本小题满分 14 分） 已知 ? ? 2sin 4 10? ?， ? ? 2? ， 求：（ 1） cos? 的值； （ 2） ? ?sin 2 4? 的值 16 （本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， AC BC? ， A1B与 AB1交于点 D， A1C与 AC1交于点 E 求证：（ 1） DE平面 B1BCC1； （ 2）平面 1ABC ? 平面 11AACC 17 （本小题满分 14 分） . B C D O (第 11 题 ) A B
6、 C1 A C A1 B1 D (第 16 题 ) E - 3 - 18 （本小题满分 16 分） 一缉私艇巡航至距领海边界线 l（一条南北方向的直线） 3.8 海里的 A 处，发现在其北偏东 30方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击 已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的 3 倍 假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行 （ 1） 若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功； （参考数据： sin17 36? ， 33 5.7446? ） （ 2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由 19 （
7、本小题满分 16 分） 已知函数 1()exfx?， ( ) lng x x? ，其中 e 为自然对数 的底 数 （ 1）求函数 ( ) ( )y f x g x? 在 x? 1 处的切线方程； （ 2）若存在 12xx， ? ?12xx? ，使得 ? ?1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )g x g x f x f x? ? ?成立，其中 ? 为常数， 求证： e? ； （ 3）若对任意的 ? ?01x? ， ，不等式 ( ) ( ) ( 1)f x g x a x ? 恒成立，求实数 a 的 取值范围 领海 A B 北 (第 18 题 ) 30 公海 l - 4 - 20 （本小题
8、满分 16 分） 设数列 ? ?na 的前 n 项和为 Sn? ?*n?N ，且满足： 12 aa? ； ? ? ? ? ? ?2211 2nnr n p S n n a n n a? ? ? ? ? ?，其中 rp?R， ， 且 0r? （ 1）求 p 的值； （ 2）数列 ? ?na 能否是等比 数列？请说明理由； （ 3）求证：当 r ? 2 时，数列 ? ?na 是等差数列 数学 （附加题） 21【选做题】 本题包括 A、 B、 C、 D 四小题 ，请 选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A （本小题满分 10
9、 分） 如图，已知 ABC 内接于 O，连结 AO 并延长交 O 于点 D， ACB ADC? ? 求证： 2AD BC AC CD? ? ? B （本小题满分 10 分） 设 矩阵 A 满足： A 1206?1203?，求矩阵 A 的逆矩阵 1?A D A C事项 考生在答各题答题要求1B O （第 21 A 题） - 5 - C （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 232222xlyl? ? ?， （ l为参数）与曲线 218xtyt? ? ? ， （ t 为参数） 相交于 A ， B 两点，求线段 AB 的长 D （本小题满分 10 分） 设 x y z，
10、， 均为正实数 ，且 1xyz? ， 求证：3 3 31 1 1 x y y z z xx y y z z x? ? ? ? 【必做题】第 22、 23 题，每小题 10 分，共计 20 分 请在 答题卡指定区域 内作答， 解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 某乐队参加一户外音乐节，准备从 3 首原创新曲和 5 首经典歌曲中随机选择 4 首进行演唱 （ 1）求该乐队至少 演唱 1 首 原创新曲的概率； （ 2） 假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为 a（ a为常数 ），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为 2a 求观众与乐队 的互动指数之和 X
11、的概率分布及数学期望 - 6 - 23 （本小题满分 10 分） 设 *2nn?N ， 有序数组 ? ?12 na a a?， ， ， 经 m次变换后得到数组 ? ?12m m m nb b b?， ， ， ， ， 其中11i i ib a a?，1 1 1m i m i m ib b b? ? ?， ， ，（ i? 1， 2， ?， n） ， 11naa? ，1 1 1 1m n mbb? ? ?， ， ( 2)m 例如：有序数组 ? ?1 2 3， ， 经 1 次变换后得到数组 ? ?1 2 2 3 3 1? ? ?， ， ，即 ? ?3 5 4， ， ；经第 2 次变换后得到数组 ? ?
12、8 9 7， ， （ 1）若 ( 1 2 )ia i i n? ? ?， ， ，求35b，的值； （ 2）求证：0 Cm jm i i j mjba?，其中 i? 1， 2， ?， n （注：当 i j kn t? ? ? 时， *k?N ， t? 1， 2， ?， n，则 i j taa? ? ） - 7 - 1、 ? ?03， ； 2、 5 ； 3、 17； 4、 180； 5、 425 ； 6、 2； 7、 39 ； 8、 ? ?22?， ； 9、 5? ； 10、 2281xy?； 11、 9； 12、 255 ； 13、 (01)， ； 14、 45? ； 15、解：（ 1）法一：因
13、为 ? ? 2? ， ，所以 ? ? 3 54 4 4? ? ， ，又 ? ? 2sin 4 10?， 所以 ? ? ? ? ? ? 22 2 7 2 c o s 1 s i n 14 4 1 0 1 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 分 所以 ? ? c o s c o s 44? ? ? ? ? ? c o s c o s s i n s i n4 4 4 4? ? ? ?7 2 2 2 21 0 2 1 0 2? ? ? ?35? 6 分法二：由 ? ? 2sin 4 10? ?得， 2 s in c o s c o s s in4 4 1 0?，即 1sin cos 5
14、? 又 22sin cos 1?. 由解得 3cos 5? 或 cos? 45 因为 ? ? 2? ， ，所以 3cos 5? ? 6 分 （ 2）因为 ? ? 2? ， ， 3cos 5? ，所以 ? ? 22 34s i n 1 c o s 1 55? ? ? ? ? ? ? 8 分 所以 ? ?4 3 2 4s i n 2 2 s i n c o s 2 5 5 2 5? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? 22 37c o s 2 2 c o s 1 2 5 2 5? ? ? ? ? ? ? ? 12 分 所以 ? ? s i n 2 s i n 2 c o s c o s 2
15、s i n4 4 4? ? ? ? ? ? ? ?222 4 72 5 2 2 5 2? ? ? ? ? ?17 250? ? 14 分 16、证明：（ 1）在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，四边形 A1ACC1为平行四边形 又 E为 A1C与 AC1的 交点，所以 E为 A1C的中点 ? 2 分 - 8 - 同理， D 为 A1B 的中点，所以 DE BC ? 4 分 又 BC? 平面 B1BCC1， DE? 平面 B1BCC1，所以 DE平面 B1BCC1 ? 7 分 （ 2） 在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 1AA? 平面 ABC，又 BC? 平面 ABC，所以
16、1AA BC? 又 AC BC? ， 1AC AA A? ， 1AC AA?， 平面 11AACC ， 所以 BC? 平面 11AACC ? 12 分 因为 BC? 平面 1ABC， 所以平面 1ABC ? 平面 11AACC ? 14 分 17、 解：（ 1）因为 椭圆的离心率为 23 ，所以 2223aba? ? ，即 22 59ba? 又因为点 C ? ?52 3， 在椭圆上，所以224 25 19ab? ? 3 分 由解得 2295ab?， 因为 0ab? ，所以 35ab?， ? 5 分 （ 2）法一： 由知， 22 59ba?，所以椭圆方程为 22229 15yxaa?，即 2 2
17、 25 9 5x y a? 设 直线 OC 的方程为 x my? ? ?0m? ， 11()Bx y， ， 22()Cx y， 由2 2 25 9 5x myx y a? ? ， 得 2 2 2 25 9 5m y y a?，所以 22 2559ay m? ? 因为 20y? ，所以2 2559ay m? ? ? 8 分 因为 AB ? 12OC ，所以 /AB OC 可 设 直线 AB 的方程为 x my a? 由2 2 25 9 5x my ax y a? ? ， 得 22(5 9 ) 1 0 0m y a m y? ? ?， 所 以 0y? 或 21059amy m? ? ，得1 21059amy m? ?
