1、黑龙江省大庆市 2017届高三数学下学期第二次段考试卷 理 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1若复数 z=sin +（ cos ） i是纯虚数，则 tan 的值为（ ） A B C D 2已知集合 A=x|x R|x2 2x 3 0， B=x|x R| 1 x m，若 x A 是 x B 的充分不必要条件，则实数 m的取值范围为（ ） A（ 3， + ） B（ 1， 3） C 3将 f（ x） =cosx （ 0） ，的图象向右平移 个单位长度，得到函数 y=g（ x）的图象若y=g（ x）是奇函数，则 的最
2、小值为（ ） A 6 B C D 3 4如图给出的是计算 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ） A i 8 B i 9 C i 10 D i 11 5等比数列 an中， a4a8=9，则 a3+a9的取值范围是（ ） A 上的最大值为 ，当把 f（ x）的图象上的所有点向右平移 （ 0 ）个单位后，得到图象对应的函数 g（ x）的图象关于直线 x= 对称 （ 1）求函数 g（ x）的解析式： （ 2）在 ABC 中一个内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c已知 g（ x）在 y 轴右侧的第一个零点为 C，若 c=4，求 ABC的面积 S的最大值 18如图，在四棱锥
3、 P ABCD 中， PC 底面 ABCD， ABCD 是直角梯形， AB AD， AB CD，AB=2AD=2CD=2 E是 PB的中点 （ ）求证：平面 EAC 平面 PBC； （ ）若二面角 P AC E的余弦值为 ，求直线 PA与平面 EAC所成角的正弦值 19某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体 1000名学生中随机抽取了 100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图 （ 1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5.0以下的人数； （ 2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年
4、级名次在 1 50 名和 951 1000 名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据， 年级名次 是否近视 1 50 951 1000 近视 41 32 不近视 9 18 能否在犯错的概率不超过 0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？ （ 3）在（ 2）中调查的 100 名学生中， 按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这 9人中任取 3人，记名次在 1 50 的学生人数为 X，求 X的分布列和数学期望 附： P（ K2 k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.
5、879 20已知椭圆 C： =1（ a b 0），过 C 上一点 的切线 l 的方程为 x+2y 4 =0 （ 1）求椭圆 C的方程 （ 2）设过点 M（ 0， 1）且斜率不为 0的直线交椭圆于 A， B两点，试问 y轴上是否存在点 P，使 得 ？若存在，求出点 P的坐标；若不存在说明理由 21已知函数 f（ x） =ax lnx， F（ x） =ex+ax，其中 x 0 （ 1）若 a 0， f（ x）和 F（ x）在区间（ 0， ln3）上具有相同的单调性，求实数 a 的取值范围； （ 2）设函数 h（ x） =x2 f（ x）有两个极值点 x1、 x2，且 x1 （ 0， ），求证： h
6、（ x1） h（ x2） ln2 22在直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 =4cos （ 1）将 C1的方程化为普通方程，将 C2的方程化为直角坐标方程； （ 2）已知直线 l的参数方程为 （ ， t为参数，且 t 0）， l与 C1交于点 A， l 与 C2交于点 B，且 |AB|= ，求 的值 【考点】 2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】由 x2 2x 3 0，可得 A=（ 1， 3）， B=（ 1， m），又 x A 是 x B 的充分不必要条件，可得 A?B即可得出
7、【解答】解：由 x2 2x 3 0，解得 1 x 3，可得 A=（ 1， 3）， B=（ 1， m）， 又 x A 是 x B的充分不必要条件， A?B 则实数 m的取值范围为 m 3 故选： A 3将 f（ x） =cosx （ 0），的图象向右平移 个单位长度，得到函数 y=g（ x）的图象若 y=g（ x）是奇函数，则 的最小值为（ ） A 6 B C D 3 【考点】 HJ：函数 y=Asin（ x + ）的图象变换 【分析】利用函数 y=Asin（ x + ）的图象变换规律，余弦函数的奇偶性，求得 的最小值 【解答】解：将 f（ x） =cosx （ 0），的图象向右平移 个单位长度
8、，得到函数 y=g（ x） =cos （ x ）的图象 若 y=g（ x）是奇函数，则 =k + ， k Z，则当 k=0时， 取得最小值为 ， 故选： C 4如图给出的是计算 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ） A i 8 B i 9 C i 10 D i 11 【考点】 E7：循环结构 【分析】写出前三次循环得到的结果，找出规律，得到要输出的 S 在第十次循环中结果中，此时的 i满足判断框中的条件，得到判断框中的条件 【解答】解：经过第一次循环得到 ，此时的 i 应该不满足判断框中的条件 经过第二次循环得到 ，此时的 i应该不满足判断框中的 条件 经过第三次循环得到 ，此
9、时的 i应该不满足判断框中的条件 经过第十次循环得到 ，此时的 i应该满足判断框中的条件，执行输出 故判断框中的条件是 i 10 故选 C 5等比数列 an中， a4a8=9，则 a3+a9的取值范围是（ ） A = （ 42 4|y|） S1=S2，由祖暅原理知，两个几何体体积相等， 由同时满足 x 0， x2+y2 16， x2+（ y 2） 2 4， x2+（ y+2） 2 4 的点（ x， y）构成的平面图形绕 y轴旋转一周所得的旋转体，它应该为一个大的球体减去两个球半径一样的小的 球体，体积为 ?43 2? ?23=64 ， 1的体积为 32 故答案为： 32 16 已 知 函 数+
10、1，则不等式 f（ 2x 1） +f（ x） 2的解集为 （ ， + ） 【考点】 3M：奇偶函数图象的对称性 【分析】由题意， f（ x） +f（ x） =2， f（ 2x 1） +f（ x） 2可化为 f（ 2x 1） f（x），利用函数 f（ x）在 R上单调递增，即可求解 【解答】解：由题意， f（ x） +f（ x） =2， f（ 2x 1） +f（ x） 2可化为 f（ 2x 1） f（ x）， 又 2017x， 2017 x， ln（ ）均为增函数， 函数 f（ x）在 R上单调递增， 2x 1 x， x ， 不等式的解集为（ ， + ）， 故答案为（ ， + ） 三、解答题：（
11、本大题共 5小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知函数 f（ x） =2sinx （ 0 1）在上的最大值为 ，当把 f（ x）的图象上的所有点向右平移 （ 0 ）个单位后，得到图象对应的函数 g（ x）的图象关于直线x= 对称 （ 1）求函数 g（ x）的解析式： （ 2）在 ABC 中一个内角 A， B， C 所对的边分 别是 a， b， c已知 g（ x）在 y 轴右侧的第一个零点为 C，若 c=4，求 ABC的面积 S的最大值 【考点】 HK：由 y=Asin（ x + ）的部分图象确定其解析式； H2：正弦函数的图象 【分析】（ 1）由题意可得 2sin
12、（ ） = ，解得 ，利用平移变换规律可得 g（ x）=2sin（ x ），利用正弦函数的对称性可得 （ ） =k + ， k Z，结合范围 0 ，可求 ，即可得解函数 g（ x）的解析式 （ 2）由题意可得 2sin（ C ） =0，解得 C =k ， k Z，由题意可解 得C，由余弦定理可得 ab ，利用三角形的面积公式即可得解 【解答】解：（ 1） 函数 f（ x） =2sinx （ 0 1）在上的最大值为 ， 2sin（ ） = ，解得 = ， 把 f（ x）的图象上所有的点向右平移 （ 0 ）个单位后， 得到的函数 g（ x） =2sin （ x ） =2sin（ x ）， 函数 g
13、（ x）的图象关于直线 x= 对称， （ ） =k + ， k Z，解得： = 2k ， k Z， 由 0 ，可得： = 函数 g（ x）的解析式为： g（ x） =2sin （ x ） =2sin（ x ） （ 2） 函数 g（ x）在 y轴右侧的第一个零点恰为 C， 由 2sin（ C ） =0，解得 C =k ， k Z，可得： C=2k + ， kZ，令 k=0，可得 C= c=4， 由余弦定理可得： 16=a2+b2 2abcosC=a2+b2 ab 2ab ab，解得： ab， S ABC= absinC =8 故 ABC的面积 S的最大值为 8 18如图，在四棱锥 P ABCD
14、中， PC 底面 ABCD， ABCD 是直角梯形， AB AD， AB CD，AB=2AD=2CD=2 E是 PB的中点 （ ）求证：平面 EAC 平面 PBC； （ ）若二面角 P AC E的余弦值为 ，求直线 PA与平面 EAC所成角的正弦值 【考点】 MR：用空间向量求平面间的夹角； LY：平面与平面垂直的判定 【分析】（ ）证明平面 EAC 平面 PBC，只需证明 AC 平面 PBC，即证 AC PC， AC BC； （ ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面 PAC的法向量 =（ 1， 1， 0），面 EAC的法向量 =（ a， a， 2），利用二面角 P A
15、C E的余弦值为 ，可求 a 的值，从而可求 =（ 2， 2， 2）， =（ 1， 1， 2），即可求得直线 PA 与平面EAC所成角的正弦值 【解答】（ ）证明： PC 平面 ABCD， AC?平面 ABCD， AC PC， AB=2， AD=CD=1， AC=BC= ， AC2+BC2=AB2， AC BC， 又 BC PC=C， AC 平面 PBC， AC?平面 EAC， 平面 EAC 平面 PBC （ ）如图，以 C为原点，取 AB中点 F， 、 、 分别为 x轴、 y 轴 、 z轴正向，建立空间直角坐标系，则 C（ 0， 0， 0）， A（ 1， 1， 0）， B（ 1， 1， 0） 设 P（ 0， 0， a）（ a 0），则 E（ ，
