1、 第第3 3章章 导数及应用导数及应用 3 3.1.1 .1.1 变化率问题变化率问题 变化率变化率 问题问题 内容：函数平均变化率的概念,求函数平均 变化率的一般步骤. 应用 求函数在某区间上的平均 变化率 求函数在某点附近的平均 变化率 本课主要学习平均变化率的概念及内涵,掌握求平均变 化率的一般步骤.在问题引入、概念形成及概念深化都是 采用情境探究的方法,将有关情境材料提供给学生,学生 通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究,获得对平 均变化率概念的了解.然后在探究的基础上,组织学生研 讨自己在探究中的发现,通过互相交流、补充、研讨,使 学生对平均变化率的认识从感性的认识上升到理性认识
2、, 获得一定水平层次的科学概念。针对平均变化率的求法 给出3个例题，通过解决具体问题强调正确应用平均变化 率的重要性。 在讲述平均变化率的应用时，采用例题与思考与探究 相结合的方法，通过3个例题。随后是课堂检测，通过设 置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材 施教。 早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场 的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了 科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研 究中取得了丰硕的成果微积分的产生。 背景介绍背景介绍 微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，他们分别从运动学和几 何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成 为十七世纪最伟大的数学
3、发现，此后，微积分得到了广泛的 应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题， 天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连 历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生 活中所碰到的那些问题了。 研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度 导数研究的问题 变化率问题 气球膨胀率气球膨胀率: :我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以可以 发现发现,随着气球内空气容量的增加随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越气球的半径增加越来越 慢慢.从数学角度从数学角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢? 思考:这一现象中，哪些量在改变？
4、变量的变化情况？ 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的 函数关系是 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 3 3 4 )(rrV 3 4 3 )( V Vr 我们来分析一下: 当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 (1)(0)0.62()rrdm (1)(0) (/ ) 1 0 0.62 rr dm L (2)(1)0.16()rrdm (2)(1) (/ ) 2 1 0.16 rr dm L 显然显然 0.620.16 随着气球体积逐渐变大随着气球体积逐渐变大,它的平均膨它的平均膨 胀率逐渐变小。胀率逐
5、渐变小。 3 4 3 )( V Vr 思考思考? 当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2时时,气球的平均膨胀率是多少气球的平均膨胀率是多少? 21 21 ()()r Vr V VV 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单 位：米)与起跳后的时间t（单位秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 h t o 如何用运动员在某些时间段内的平均 速度粗略地描述其运动状态? 高台跳水 请计算请计算 00.52:ttv 和1时的平均速度 h t o h(t)=-4.9t2+6.5t+10 00.5 (0.5)(0) 4.05(/ ) 0.5 0 2 (2)(1) 8.2(/
6、) 2 1 t hh vm s t hh vm s 在这段时间里， 在1这段时间里， (1) (1) 运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗? ? (2) (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? ? 65 ()(0)10 49 hh 0 h v t 在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运 动状态. 49 65 0t 计算运动员在计算运动员在 这段时间里的平均速度，这段时间里的平均速度， 并思考以下问题：并思考以下问题： 虽然运动员在这段时间里的平均速度为0(m/s)，但实际情况 是运动员仍然运
7、动，并非静止 平均变化率定义: 若设若设 x=xx=x2 2- -x x1 1, , y=f(xy=f(x2 2) )- -f(xf(x1 1) ) 则平均变化率为则平均变化率为 这里这里x看作是对于看作是对于x1的一个的一个 “增量”可用“增量”可用x1+x代替代替x2 同样同样y=f(x2)-f(x1) 上述问题中的变化率可用式子上述问题中的变化率可用式子 表示表示 称为函数称为函数f(x)f(x)从从x x1 1到到x x2 2的平均变化率的平均变化率 12 12 )()( xx xfxf 21 21 ()()f xf xy xxx 1.1.x x是一个整体符号，而不是与是一个整体符号，
8、而不是与x x相乘；相乘； 式子中式子中x x 、 y y的值可正、可负，的值可正、可负， 但但x x值不能为值不能为0 0，y y的值可以为的值可以为0 0; ; 因此，平均变化率可正，可负，也可为零；因此，平均变化率可正，可负，也可为零； x xfxxf )()( 11 12 12 )()( xx xfxf x y 2.2.若函数若函数f f(x x)为常函数时，为常函数时，y=0 y=0 3.3.变式变式 观察函数f(x)的图象平均变化率 表示什么? O A B x y Y=f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1=x f(x2)-f(x1)=y 直线直线AB 的斜率的斜
9、率 12 12 )()( xx xfxf x y 解解：当自变量从 0 x变到xx 0 时，函数的平均变化率为 xx x xxx x xfxxf 0 2 0 2 000 2 )()()( 当x取定值， 0 x取不同数值时， 该函数的平均变化率也不一样， 可以由图看出变化 【例例1】（1）求 2 xy 在 0 x到xx 0 之间的平均变化率 (2)已知某质点按规律tts22 2 （s：单位为 m，t 单位为 s）做 直线运动，求： 该质点在前3s 内的平均速度； 该质点在前2s 到3s 内的平均速度 解：解： 由题意知3t， 24)0202(3232)0()3( 22 sss， 所以平均速度为)
10、./(8 3 24 sm t s 由题意知123t， 12)2222(3232)2()3( 22 sss， 所以平均速度为)./(12 1 12 sm t s 变式训练变式训练1 1 （1）求在到之间的平均变化率 （2）如果函数在区间上的平均变化率为3， 则_ 答案：答案：（1）当自变量从变到时，函数的平均变化率为 ；（2）3 【例例2 2】过曲线 3 )(xxfy上的两点) 1 , 1 (P和)1 ,1 (yxQ作曲线 的割线，求出当1 . 0x时割线的斜率 解解：因为) 1 ()1 (fxfy ， 所以割线PQ的斜率为 x xxx x y 3)(3)( 23 . 33)( 2 xx 当1
11、. 0x时，设割线PQ的斜率为 k， 则.31. 331 . 03) 1 . 0( 2 x y k 变式训练变式训练2 2 已知曲线1 2 xy上两点).3 ,2(),3 , 2(yxAA 当1x时，割线A A 斜率是_； 当1 . 0x时，割线A A 斜率是_ 5 4.1 【例例3】某市2004年4月20日最高气温为33.4，而此前的两天， 4月19日和4月18日最高气温分别为24.4和18.6，短短两天 时间，气温“陡增”14.8，闷热中的人们无不感叹：“天气 热得太快了！”但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气 温3.5与4月18日最高气温18.6进行比较，我们发现两者温 差为
12、15.1，甚至超过了14.8而人们却不会发出上述感 叹这是什么原因呢？原来前者变化得“太快”，而后者变化 得“缓慢” 20 30 34 2 10 20 30 A(1, 3.5) B(32, 18.6) 0 C(34, 33.4) T() t(天) 2 10 问题：问题：当自变量表示由当自变量表示由3 3月月1818日开始计算的天数日开始计算的天数，表示气温表示气温， 记函数表示温度随时间变化的函数记函数表示温度随时间变化的函数，那么气温变化的快慢情那么气温变化的快慢情 况应当怎样表示况应当怎样表示？ 20 30 34 2 10 20 30 A(1, 3.5) B(32, 18.6) 0 C(3
13、4, 33.4) T() t(天) 2 10 分析分析：如上图： （1）选择该市2004年3月18日最高气温3.5与4月18日最高气温18.6进行比较， ，由此可知； （2）选择该市2004年4月18日最高气温与4月20日进行比较， ，由此可知 变式训练变式训练3 3 已知函数，分别计算在自变量从1变化到2和从3变化 到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化的较快 答案：答案：，； 1. t 2 质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+ t)中 相应的平均速度为( ) 9 A. 6+ t B. 6+ t+ C.3+ t D.9+ t 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线
14、运动,求在4s 附近的平均变化率. A A 253 t 2.利用导数定义求导数三步曲：利用导数定义求导数三步曲： (1)求函数的增量求函数的增量 yf(x0x)f(x0)； (2)求平均变化率求平均变化率y x f x 0x f x0 x ； (3)取极限，得导数取极限，得导数 f(x0)lim x0 y x 简记为一差，二比，三趋近简记为一差，二比，三趋近 特别提醒特别提醒 取极限前，要注意化简取极限前，要注意化简y x，保证使 ，保证使 x0 时分时分 母不为母不为 0. 函数在函数在 x0处的导数处的导数 f(x0)只与只与 x0有关，与有关，与 x 无关无关 导数可以描述任何事物导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛的瞬时变化率，应用非常广泛 口诀：一差、二化、三极限口诀：一差、二化、三极限 1.函数的平均变化率函数的平均变化率 必做题必做题 1已知函数，分别计算在自变量从1变到2和从4变到 6时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快 2已知某质点按规律( ：单位为 m， ：单位为 s)做直线运 动，求： （1）该质点在前3s 内的平均速度； （2）该质点在2s 到3s 内的平均速度 3 2 1 1 3 2 4 1 选做题选做题 如图是函数的图象， 求函数在区间上的平均变化 率
