1、 1 海南省琼海市 2017 届高三数学下学期第一次月考试题 理 一、选择题： (本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 ) 1.集 合 ? ? ? ?05|,3| 2 ? xxxBxxA ，则 BA? 是（ ） A ? ?30| ?xx B ? ?50| ?xx C ? ?53| ?xx D ? ?0| ?xx 2.已知复数 aii?1 为纯虚数，那么实数 a 的值为（ ） A -1 B 0 C 1 D 2 3.已知 (1,2)a? ， ( ,1)bm? ，若 ab ，则 m? （ ） A 12? B 12 C 2 D 2? 4.最近，国家统计局公布： 2015 年我国经济增速为
2、 6.9%，创近 25 年新低在当前经济增速放缓的情况下，转变经济发展方式，淘汰落后产能，寻找新的经济增长点是当务之急为此，经济改革专家组到基层调研，由一幅反映某厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t（年）的函数关系图初步了解到：某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前 3 年年产量 的增长速度越来越快，后 3 年年产量保持不变，则他们看到的图是（ ） O 3 6 tCO 3 6 tCO 3 6 tCO 3 6 tCA B DC5.设随机变量 ? 服从正态分布 2(1, )N ? ，若 ( 2) 0.8P ? ? ，则 (0 1)P ? ? ? （ ） A 0.6 B 0.4 C 0.3
3、 D 0.2 6.已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a? ， 12 nnSa? ，则 ?nS （ ） A 12?n B 12?n C 13?n D ? ?1321 ?n 7.中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器 商鞅铜方升，其三视图 如图所示（单位：升），若 3? ，其体积为 12.6（立方升），则图中的 x 为（ ） A 2.1 B 6.1 C 8.1 D 4.2 8.下列说法正确的是（ ） 2 A “若 1a? ，则 2 1a? ”的否命题是“若 1a? ，则 2 1a? ” B 在 ABC? 中，“ AB? ” 是“ sin sinAB
4、? ”必要 不充分条件 C “若 tan 3? ，则 3? ”是真命题 D ? ?0 ,0x? ? ? 使得 0034xx? 成立 9.等比数列 na 中， 2q? ， 2 5 98 22a a a? ? ? ?，则数列 na 的 前 99 项的和 99S? （ ） A.100 B.88 C.77 D.68 10.在一球面上有 ,ABC 三点，如果 4 3 , 6 0AB AC B? ? ?，球心 O 到平面 ABC 的距离为 3，则球 O 的表面积为 （ ） A 36? B 64? C 100? D 144? 11.已知 ,OF分别为双曲线 22: 1( 0 , 0 )xyE a bab?
5、? ? ?的中心和右焦点，点 ,GM分别在 E 的渐近线和右支， FG OG? ， /GM x 轴，且 OM OF? ，则 E 的离心率为 （ ） A 52 B 62 C 72 D 2 12.已知函数 2yx? 的图象在点 ? ?200,xx 处的切线为 l ，若 l 也与函数 lnyx? ， )1,0(?x 的图象相切，则 0x 必满足（ ） A0 12x?0B012 x? ?C 2220 ? xD 023x? 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.执行如图所示的程序框图，若输入 5, 6pq?，则输出 a 的值为 . 14.在 ABC 中， 4sin 5A
6、? ， 6AB AC?，则 ABC 的面积为 . 15.已知实数 x ， y 满足 261yxxyx?，其中，则实数 1yx? 的最小值为 . 16.有一个电动玩具，它有一个 96? 的长方形 盘 （单位：cm）和一个半径为 1cm 的小圆盘，他们的连接点为 A、 E,打开电源 后 ， 小圆盘从左下角出发， 沿着长方形 盘 的 内壁不停地滚动（无滑动），如图所示，若此时某人向该长方AE3 形盘投掷一枚飞镖，则能射中小圆盘运行区域内的概率为 . 三、解答题（本大题共 5小题 ,共 60 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 12 分） 在路边安装路灯，灯柱 AB 与
7、地面垂直，灯杆 BC 与灯柱AB 所在平面与路面垂直，且 o120?ABC ,路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中的阴影部分所示， o60?ACD ，24AD? 米， )4530( oo ? ?A C B . （） 求灯柱 AB 的高度（用 ? 表示）； （） 求灯柱 AB 与灯杆 BC 长度之和的最小值 ，及取最小值时 ? 的值 . 18.（本小题满分 12 分） 2017 年， 嘉积中学 即将迎来 100 周年校庆。为了了解在校同学们对 嘉积中学 的看法，学校进 行了调查，从三 个 年级任选三个班，同学们对 嘉积中学 的看法情况如下： 对 嘉积中学 的看法 非常好， 嘉积中学 奠定了 我一生
8、成长的起点 很好，我的中学 很快乐很充实 A 班人数比例 12 12 B 班人数比例 23 13 C 班人数比例 34 14 （） 从这三个班中各选一个同学，求恰好有 2 人认为 嘉积中学 “ 非常好 ” 的概率（用比例作为相应概率）； （） 若在 B 班按所持态度分层抽样，抽取 9 人，在 这 9 人中任意选取 3 人，认为 嘉积中学 “ 非常好 ” 的人数记为 ? ，求 ? 的分布列和数学期望 . 19.（本小题 满分 12 分） 如图，四棱锥 ABCDP? 中，底面 ABCD 是平行四边形，?PD 底面 ABCD ， 3,21,2 ? BDPABCABPA ，E 在 PC 边上 . （）
9、 求证：平面 ?PDA 平面 PDB ； （） 若二面角 CBDE ? 的大小为 ?30 ，求 DE 的长 . 20.（本小题满分 12 分） 4 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 32 ，它的一个顶 点恰好是抛物线2 42xy? 的焦点 . （） 求椭圆 C 的方程； （） 直线 2x? 与椭圆交于 ,PQ两点， P 点位于第一象限， ,AB是椭圆上位于直线 2x? 两侧的动点 .当点 ,AB运动时，满足 APQ BPQ? ? ，问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由 . 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) lnf x x? ， ( ) ( )h x
10、a x a R?. （） 函数 ()fx的图象与 ()hx 的图 象无公共点，求实数 a 的取值范围； （） 是否存在实数 m ，使得对任意的 1( , )2x? ? ，都有函数 () my f x x?的图象在() xegx x? 的图象的下方？若存在，请求出整数 m 的最大值；若不存在，请说理由 .（参考数据：ln2 0.6931? ， ln3 1.0986? , 31 .6 4 8 7 , 1 .3 9 5 6ee?） . 四、选做题：请考生在第 22， 23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 22.（本小题满分 10 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 已知过点 (
11、,0)Pm 的直线 l 的参 数方程是3212x t myt? ? ?（ t 为参数） 以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程式为 2cos? . （）求直线 l 的普 通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （）若直线 l 与曲线 C 交于两点 ,AB，且 | | | | 1PA PB?，求实数 m 的值 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 ( ) | 2 3 | | 1 | .f x x x? ? ? ? （） 解不等式 ( ) 4fx? ； （） 若 存在 3,12x ?使不等式 1 ( )a f x? 成立，求
12、实数 a 的取 值范围 5 嘉积中学 2017 届高三下学期 第一次模拟测试数学（理科）参考答案 1 12： ABB ACC BCC CDD 13. 30 14.4 15.43 16.4054? 17.解：（） 1 2 0 , ,A B C A C B ? ? ? ?60BAC ? ? ?， 90BAD?， 30CAD ? ? ?， 60ACD?， 90ADC ? ? ?， 在 ACD 中， s in s inA D A CA C D A D C?， 2 4 c o s 1 6 3 c o ss i n 6 0AC ? ? ? ?， 在 ABC 中， sin sinAB ACACB B? ，
13、s in 1 6 3 s in c o s 1 6 s in 2s in 1 2 0 s in 1 2 0ACAB ? ? ? ? ? ? ?， 即灯柱 AB 的高度为 16sin2? 米 . ? （ 6 分 ） （）在 ABC 中， sin sinBC ACBAC B? ， s i n (6 0 ) 3 2 c o s s i n (6 0 ) 8 3 8 3 c o s 2 8 s i n 2s i n 1 2 0ACBC ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 即 8 3 8 3 c o s 2 8 s i n 2 8 3 1 6 s i n ( 2 6 0 )A B B C ?
14、? ? ? ? ? ? ? ?， 3 0 4 5 , 1 2 0 2 6 0 1 5 0 ,? ? ? ? ? ? ?当 45? 时，灯柱 AB 与灯杆 BC 长度之和的最小值为 8 3 8? 米 . ? （ 12 分 ） 18.解： （） 记这 3 位同学恰好 有 2 人认为 嘉积中学 “非常好”的事件为 A，则1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 4PA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ? （ 5 分） （） 在 B 班按照相 应比例选取 9 人，则认为 嘉积中学 “非常好”的应该选
15、取 6 人，认为 嘉积中学“ 很好 ”的应选取 3 人，则 0,1,2,3? ， 3339 1( 0) 84CP C? ? ? ?； 126339 1 8 3( 1) 8 4 1 4CCP C? ? ? ? ?； 2163394 5 1 5( 2 ) 8 4 2 8CCP C? ? ? ? ?； 36392 0 5( 3) 8 4 2 1CP C? ? ? ? ? . 则 ? 的分布列为： ? 0 1 2 3 P 1843141528 521 6 则 的期望 值为： 1 3 1 5 50 1 2 3 28 4 1 4 2 8 2 1E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（人） . ? ?
16、（ 12 分） 19.（）证明：因为底面 ABCD 是平行四边形， 1AD BC? ， 又 32BD AB?， ，满足 2 2 2AD BD AB? ，AD BD? 又因为 PD ABCD? 底 面 ， PD BD? ， BD PAD? 平 面 ， B D P D B P D A P D B? 平 面 ， 平 面 平 面 ? （ 5 分 ） （）解：以 D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则( 0 0 0 ) ( 0 0 3 ) ( 1 0 0 ) ( 0 3 0 )D P A B， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，( 1 3 0)C ?， ， ， 由 ,CEP 三点共线，得 (1
17、 )D E D P D C? ? ? ，且 01? ， 从而有 ( 1 3 (1 ) 3 ) ( 0 3 0 )D E D B? ? ? ? ? ?， ， ， ， ， 设平 面 EDB的 法向量 为()n x y z? ， ， ， 由 0n DE?及 0n DB?可取 130n ?， ，又平面 CBD 的法向量可取 (0 0 1)m? ， ， ， 33 0 c o s 3 02| | | |nmE B D C nm? ? ? ? ? ? 二 面 角 的 大 小 为 ， 1 3 9|44DE? ? ， ? （ 12 分 ） 20 7 21.解：（）函数 ()fx与 ()hx 无公共点，等价于方程 lnx ax ? 在 (0, )? 无解 ? （ 2 分） 令 ln() xtx x? ，则21 ln( ) ,xtx x?令 ( ) 0,tx? 得 xe? x (0,)e e (, )e? ()tx 0 ()tx 增 极大值 减 因为 xe? 是唯一的极大值点，故max 1()t t e e? ? （ 4 分） 故
