1、 - 1 - 陕西省黄陵中学 2017届高三数学下学期开学考试试题（重点班）理 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。全卷共 150分。考试时间 120分钟。 第卷（选择题 共 60分） 一、选择题 （本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1抛物线241xy?的准线方程是 ( ) A 1?y B 1?y C161-?xD161?x2若方程 x2+ky2=2表示焦点在 y轴上的椭圆，那么实数 k的取值范围是 ( ) A (0， + ) B (0， 2) C (1， + ) D (0， 1) 3 若双曲线 E： 1169 22 ? yx 的左、右焦点分别为 F1、 F2，点 P
2、在双曲线 E上，且 |PF1|=3，则 |PF2|等于 ( ) A 11 B 9 C 5 D 3或 9 4已知命题 p： ? x R， 2x2+2x+21 0，命题 q： ? x0 R， sinx0-cosx0= 2 ，则下列判断中正确的是 ( ) A p是真命题 B q是假命题 C ? p是假命题 D ? q是假命题 5一动圆 P过定点 M(-4， 0)，且与已知圆 N： (x-4)2+y2=16相切，则动圆圆心 P的轨迹方程是 ( ) A )2(1124 22 ? xyx B )2(1124 22 ? xyx C 1124 22 ? yxD 1124 22 ?xy6已知数列 na满 足*3
3、 3 1l og 1 l og ( )nna a n? ? ? N，且2 4 6 9aaa? ? ?， 则1 5 7 93log ( )a a a?的值是（ ） A 5B ?C 5 D 57. 空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（ ）8. 设 为公比为 q 1的等比数列，若 和 是方程 的两根，则 + =（ ） A 18 B 10 C 25 D 9 9已知 是实数，则 函数 的图像可能是 ( ) ?na 2011a 0384 2 ? xx20122013( ) cosf a ax?a- 2 - A B C D 10.若点 P（ cos， sin）在直线 y= 2x 上，则 的
4、值等于（ ） A B C D 11.已知函数)(xf是定义在, )?上的奇函数，若对于任意的实数0?x，都有)()2( xfxf ?，且当? ?20?x时，)1(log)( 2 ? xxf，则)2012()2011( ff ?的值为（ ） A -1 B -2 C 2 D 1 12.如图 ，1F、 分别是双曲线)0,0(12222 ? babyax的两个焦点，以坐标原点O为圆心，1F为半径的圆与该双曲线左支交于 A、 B两点，若ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） . A 3B 2 C 31?D 13?第卷（非选择题 共 90分） 二 .填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分，满分
5、20分 ) 13.函数 ? ? 3 sin 2 3f x x ?的图象为 C，如下结论中正确的是 _ 图象 C关于直线1112x ?对称； 函数 ?fx在区间5,12 12?内是增函数； 图象 关于点2 ,03?对称； 由 3sin2yx?图象向右平移 3?个单位可以得到图象 C 14.已知函数 2()f x x ax?的图象在点 (1, (1)Af处的切线 l与直线 3 2 0xy? ? ?垂直，若数列1()fn的前 n项和为 nS，则 2017S的值为 - 15.在矩形 ABCD中， 2?AB， 1?AD，点 P为矩形 ABCD内一点，则使得 1?ACAP的概率为 - 16.过双曲线222
6、21xyab?( 0, 0)ab?的左焦点 ( , 0) ( 0)F c c?，作圆 2224axy?的切线，切点为 E，延长 FE交双曲线右支于点 P，若 2OP OE OF?，则双曲线的离心率是 三、解答题（本大题共 6小题， 共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本题满分 12分）已知函数 （ 1）求 f（ x）的周期和及其图象的对称中心； 2y ax?- 3 - （ 2）在 ABC中，角 A、 B、 C 的对 边分别是 a、 b、 c，满足（ 2a c） cosB=bcosC，求函数 f（ A）的取值范围 18.（本题满分 12分）如图，四边形ABCD是正方形，
7、 PA?平面ABCD，/EB PA， 4AB PA?，2EB?， F为 PD的中点 （ 1）求证：AF PC； （ 2）求证：/BD平面PEC； （ 3）求锐角三角形D PC E?的余弦值 19（本题满分 12分）某个体服装店经营某种服装，一周内获纯利 y(元 )与该周每天销售这种服装的件数 x之间的一组数据如下： x 3 4 5 6 7 8 9 y 66 69 73 81 89 90 91 已知：? ? ? ? ? ?7 1 7 1 7 122 .3487,45309,280i i i iiii yxyx(1)求 x ， y ； (2)纯利润 y与每天销售件数 x之间线性相关，求出线性回归方
8、程 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： xbyaxnxyxnyxb niiniii ? ?,122120（本题满分 12分） 已知椭 圆)0(12222 ? babyax的右焦点为 F（ 1,0）， M为椭圆的上顶点， O为坐标原点，且 OMF是等腰直角三角形 . （ 1）求椭圆的方程； （ 2）是否存在直线l交椭圆于 P,Q两点，且使 F为 PQM的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若l存在 ，求出直线 的方程；若 不存在，请说明理由 . - 4 - 21. （本小题满分 12 分） 如图，已知 ABCD是正方形， PD平面 ABCD， PD=AD. (1)求二面角 A-P
9、B-D的大小； (2)在线段 PB上是否存在一点 E,使 PC平面 ADE?若存在 , 确定 E点的位置 ,若不存在 ,说明理由 . 22（本题满分 10 分）在直角坐标系中，以原点为极点 ,x 轴的正半轴为极轴建坐标系 ,已知曲线)0(cos2sin: 2 ? aaC ?，已知过点)4,2(P ?的直线l的参数方程为 )(224222为参数ttytx?，直线l与曲线C分别交于.,NM（ 1）写出曲线C和直线l的普通方程； （ 2）若PN， MNPM成等比数列 , 求a的值 理科数学答案 一 ADBDC B A A CB A D - 5 - 二、 13 14 15 16 三 17. 15（本小
10、题共 13 分） 17（ 12 分） ： 三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性 ： 计算题 ： （ 1）化简函数 f（ x）的解析式为 sin（ + ） +1，故 f（ x）的周期为 4，由，故 f（ x）图象的对称中心为 （ 2）利用正弦定理可得（ 2sinA sinC） cosB=sinBcosC，化简可得，从而得到 的范围，进而得到函数 f（ A）的取值范围 ： 解：（ 1）由 ， f（ x）的周期为 4 由 ，故 f（ x）图象的对称中心为 （ 2）由（ 2a c） cosB=bcosC，得（ 2sinA sinC） cosB=sinBcosC， 2si
11、nAcosB cosBsinC=sinBcosC， 2sinAcosB=sin（ B+C）， A+B+C=， sin（ B+C）=sinA，且 sinA 0， ， 故函数 f（ A）的取值范围是 18（本小题满分 12分） （ 1）证明：依题意， PA?平面ABCD，如图，以 A为原点，分别以AD、AB、AP的方向为x轴、y轴、 z轴的正方向建立空间直角坐标系 依题意，可得(0,0,0)，( ,4,0)B，(4,4,0)C，( 0,0)D，4)P，(0,4,2)E，(2,0,2)F (2,0,2)AF?，(4, 4, 4)PC ?， 8 0 ( 8 ) 0PC? ? ? ? ? ?， AF P
12、C?. （ 2）证明：取PC的中点 M，连接 EM - 6 - (2,2,2)M，(2, 2,0)EM ?，(4, 4,0)BD， 2BD EM?， /EM EM?平面PEC，?平面PEC， /平面 （ 3）解： AF PD?，PC，PD PC P?， ?平面PCD，故(2,0,2)?为平面PCD的一个法向量 设平面PCE的法向量为( , , )n x y z?， (4, 4, 4)PC，0 2)PE， 0,0,n PCn PE? ?即4 4 4 0,4 2 0,x y zyz? ? ? ?令1y?，得x， 2z?，故(1,1,2)n? 2 0 4 3c os , 22 2 6AF n ? ?
13、 ?， 锐二面角D PC E?的余弦值为32 19. 【解析】 (1) x 17(3 4 5 6 7 8 9) 6， y 17(66 69 73 81 89 90 91) 79.86. LL6 分 (2)根据已知 7i 1x2i 280， 7i 1y2i 45 309， 7i 1xiyi 3 487， 利用已知数据可求得线性回归方程为 y 4.75x 51.36. LL12分 20.（本小题满分 12分） 解：（ 1）由 OMF是等腰直角三角形得 b=1， a =22 ?b故椭圆方程为12 22 ?y 4分 （ 2）假设存在直线 l交椭圆于 P,Q两点，且使 F为 PQM的垂心 设 P（1x,
14、y） ,Q（2x,y） - 7 - 因为 M（ 0,1）， F（ 1,0），故1?MFk，故直线 l的斜率1?k于是设直线 l的方程为mxy ?由? ? 2222 yxmxy得02243 22 ? mmxx-6分 由题意知 0，即2m 3，且3 22,3422121 ? mxxmxx 8分 由题意应有0?FQMP，又),1(),1,( 2211 yxFQyxMP ?故0)1)(2 22121 ? mmmxxxx0)1(343 22 22 ? mmmmm解得34?或1?m-10分 经检验，当 时， PQM不存在，故舍去1?m； 当34?时，所求直线34?xy满足题意 综上，存在直线 L，且直线
15、L的方程为043 ? yx 12分 21. （ 1）以向量 ,DA DC DP 为正交基底， 建立空间直角坐标系 . 联结 AC,交 BD于点 O,取 PA中点 G,联结 DG. ABCD是正方形 , AC DB. 又 PD平 面 ABCD,AC? 平面 ABCD, AC PD, AC平面 PBD. PD平面 ABCD， AB AD， PA AB. AB平面 PAD. PD=AD,G为 PA 中点 , GD平面 PAB. 故向量 DGAC与 分别是平面 PBD与平面 PAB的 法向量 . 令 PD=AD=2， 则 A(2， 0， 0)， C(0， 2， 0)， AC =(-2， 2， 0).
16、P(0,0,2),A(2,0,0), G(1,0,1), DG =(1,0,1). 向量 DGAC与 的夹角余弦为 21222 2c o s ? DGAC DGAC? ， 0120? ,二面角 A-PB-D的大小为 060 . （ 2） PD平面 ABCD， AD CD， AD PC. 设 E是线段 PB 上的一点，令 )10( ? ? PBPE . - 8 - ?AP (-2,0,2), ?PB (2,2,-2), ?PC (0,2,-2). )2,2,2( ? ?PE . )22,2,22( ? ? PEAPAE . 令 得,0?PCAE 2 22 ? ? (2 - ?2 )=0,得 21? . 当 21? ,即点 E是线段 PB 中点时 ,有 AE PC. 22.解：（）2 , 2y ax y x? ? ?. .5分 （）直线l的参数方程为?tytx224222（t为参数） , 代 入2 2y ax?, 得到2 2 2 ( 4 ) 8 ( 4 ) 0a t a? ? ? ? ?， 7分 则有1 2 1 22 2 ( 4 ) , 8 ( 4 )t t a t t a? ? ? ? ? ?. 因为2| |
