1、 1 云南省昆明市 2018 届高三数学第一次摸底测试试题 理 第 卷 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 1 03xAxx ?，集合 1 5B x N x? ? ? ? ?，则 AB? （ ） A 0,1,3,4,5 B 0,1,4,5 C 1,4,5 D 1,3,4,5 2.如图，正方形 ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A 14 B 12 C 8?
2、D 4? 3.已知 11 z iz? ? （其中 i 是虚数单位），则 1 z?（ ） A 1 B 0 C 2 D 2 4.设函数 ( ) 1f x x x a? ? ? ?的图象关于直线 1x? 对称，则 a 的值为（ ） A 3 B 2 C. 1 D -1 5.二项式 51()xxx? 展开式中的常数项为（ ） A 10 B -10 C. 5 D -5 6.设数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 2, ,3nnSa成等差数列，则 5S 的值是（ ） A -243 B -242 C.-162 D 243 7.执行如图所示的程序框图，若输出 n 的值为 9，则判断框中可填入（ ） 2 A
3、45?S? B 36?S? C. 45?S? D 55?S? 8.设 ,xy为正数，且 34xy? ，当 3x py? 时， p 的值为（ ） A 3log4 B 4log3 C. 36log2 D 3log2 9.一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视图、左视图和俯视图均为边长等于 2 的正方形，这个几何体的表面积为（ ） A 16 4 3? B 16 4 5? C. 20 4 3? D 20 4 5? 10.已知函数 ( ) s in ( ) s in ( )62f x x x? ? ? ?（ 0? ），且 ( ) 03f ? ? ，当 ? 取最小值时，以下命题中假
4、命题是（ ） A函数 ()fx的图象关于直线 12x ? 对称 B 6x ? 是函数 ()fx的一个零点 C. 函数 ()fx的图象可由 ( ) 3 sin 2g x x? 的图象向左平移 3? 个单位得到 3 D函数 ()fx在 0, 12? 上是增函数 11.已知抛物线 2:4C y x? 的焦点为 F ，准线为 l ，点 Al? ，线段 AF 交抛物线 C 于点 B ，若 3FA FB? ，则 AF? （ ） A 3 B 4 C.6 D 7 12.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 2a ? ， 1 42nnSa? ?， 则数列 na 中的 12a 为（ ） A 20480
5、 B 49152 C. 60152 D 89150 第 卷 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量 (2,1)a? ， 10ab? ， 52ab? ，则 b? 14.若实数 ,xy满足不等式组 3 3 02 3 010xyxyxy? ? ? ? ? ? ?，则 xy? 的最大值为 15.已知双曲线 C 的中心为坐标原点，点 (2,0)F 是双曲线 C 的一个焦点，过点 F 作渐近线的垂线 l ，垂足为 M ，直线 l 交 y 轴于点 E ，若 3FM ME? ，则双曲线 C 的方程为 16.体积 为 183 的正三棱锥 A BCD? 的每个顶点都在半径为
6、 R 的球 O 的球面上，球心 O在此三棱锥内部，且 : 2:3R BC? ，点 E 为线段 BD 的 中点，过点 E 作球 O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 在 ABC? 中， ,abc分别是角 ,ABC 的对边，且 2 2 23a c ac b? ? ?， 32ab? （ 1）求 32ab? 的值； （ 2）若 6b? ，求 ABC? 的面积 . 18. 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 090BAC?， 2AB AC?，点 ,MN分别 为1 1 1,AC AB
7、的中点 . 4 （ 1）证明： /MN 平面 11BBCC ； （ 2）若 CM MN? ，求二面角 M CN A?的余弦值 . 19. 某市为了解本市 2 万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布 (69,49)N ，现从某校随机抽取了 50 名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图 . （ 1）估算该校 50 名学生成绩的平均值 x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （ 2）求这 50 名学生成绩在 80,100 内的人数； （ 3）现从该校 50 名考生成绩在 80,100 的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）
8、在全市前 26 名的人数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望 . 参考数据：若 2 ( , )XN? ，则 ( ) 0 .6 8 2 6pX? ? ? ? ? ? ? ?，( 2 2 ) 0 .9 5 4 4pX? ? ? ? ? ? ? ? ( 3 3 ) 0 .9 9 7 4pX? ? ? ? ? ? ? ? 20. 已知动点 ( , )Mxy 满足： 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) 2 2x y x y? ? ? ? ? ?. 5 （ 1）求动点 M 的轨迹 E 的方程； （ 2）设过点 ( 1,0)N? 的直线 l 与曲线 E 交于 ,AB两点，点 A 关于 x 轴的对称点为
9、C（点 C与点 B 不重合），证明：直线 BC 恒过定点，并求该定点的坐标 . 21. 已知函数 ()xf x e? ， 2() 2ag x x x? ? ?，（其中 aR? ， e 为自然对数的底数，2.71828e? ） . （ 1）令 ( ) ( ) ( )h x f x g x?，若 ( ) 0hx? 对任意的 xR? 恒成立，求实数 a 的值； （ 2）在（ 1）的条件下，设 m 为整数，且对于任意正整数 n ，1 ()n nii mn? ?，求 m 的最小值 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 极
10、坐标系中， O 为极点，半径为 2 的圆 C 的圆心坐标为 (2, )6? . （ 1）求圆 C 的极坐标方程； （ 2）设直角坐标系的原点与极点 O 重合， x 轴非负关轴与极轴重合，直线 l 的参数方程为123 82xtyt? ? ?（ t 为参数），由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求线线长的最小值 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 2 3f x x x? ? ? ?. （ 1）求不等式 ( ) 3fx? 的解集； （ 2）若不等式 2( ) 6f x a a?解集非空，求实数 a 的取值范围 . 6 昆明一中全国联考第一期参考答案 参考答案（理科数学） 命题、审题
11、组教师 杨昆华 李文清 孙思应 梁云虹 王在方 卢碧如 凹婷波 吕文芬 陈泳序 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C A B B A C D C B B 1. 解析： 集合 ? ? ? ?,1 3,A ? ? ?U ， ? ?0,1,2,3,4,5B ? ，所以 ? ?0,1,4,5AB?I ， 选 B. 2. 解析：设 正方形 边长 为 2 ， 则圆半径为 1.此时 正方形 面积 为 2 2 4? .图中 黑色部分 面积 为2?.则 此点取自黑色部分的概率为 248? ? ， 选 C. 3. 解析： 因为 1izi1i? ?，所以 1 z
12、2? ， 选 C. 4. 解析： 1 12a?所以 3?a ，选 A. 5. 解析：通项 ? ? ? ?1 5 55 221 5 51 1rr r rrrrT C x x C xx? ? ? ? ? ?，令 15 5 022r?，所以 3r? ，所以常数项为 ? ?335 1 10C ? ? ，选 B. 6. 解析 ：据题意得 2 2 3nnSa? ，当 1n? 时， 112 2 3Sa? ，所以 1 2a? ；当 2n? 时，1 1 13 3 3 3112 2 2 2n n n n n n na S S a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，即11322nnaa?，即 ? ?
13、1 32nna na? ?，所以 数列 ?na 是首项 1 2a? ， 公比 3q? 的等比数列，所以? ? ? ?5515 1 2 1 3 2421 1 3aqS q? ? ? ? ? ?，选 B. 7. 解析： 模拟执行如图所示的程序框图知 ， 该程序的功能是计算 1 2 9 45S ? ? ? ? ?L ， 选A. 8. 解析 ： 可 令 34xyt? ，则 3logxt? ， 4logyt? ，由 3xpy? 得7 3 3343 lo g 3 lo g 4 3 lo g 4 6 lo g 2lo g lo g 3tttp t? ? ? ?，选 C. 9. 解析： 将三视图还原可得下图，
14、所以 5221425 2 ?S 5420?，选 D. 10. 解 析 ： ? ? 33s i n c o s 3 s i n2 2 3f x x x x ? ? ? ? ? ?，由 ()03f?得? ?33 kk? ? ? Z，即 31k?，由 0? 知 ? 的最小值是 2，当 ? 取得最小值时，? ? 3 sin 2 3f x x ?.由 3 s in 2 3 s in 31 2 1 2 3 2f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?可得出：函数()fx的图象关于直线 12x ? 对称， A 为真； 由 3 s in 2 06 6 3f ? ? ? ? ? ?
15、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?可得出：6x ?是函数 ()fx的一个零点， B 为真； 将函数 ? ? 3sin2g x x? 的图象向左平移6?个单位得到 ? ? 3 sin 23f x x ?的图象，所以 C 为假； 由复合函数单调性 可得 ()fx在 0,12?上是增函数，所以 D 为真，选 C. 11. 解析： 由已知 B 为 AF 的三等分点，作 BH l? 于 H （如图），则 2433BH FK?，所以 43BF BH?，所以 3 4BFAF ? ? ，选 B. 8 12. 解析 ：由 2142Sa?有 1 2 142a a a? ? ? ， 解 得 2 8a? ，故
16、 2124aa?，又2 2 1 144n n n n na S S a a? ? ? ? ? ? ? ，于是 ? ?2 1 12 2 2n n na a a? ? ? ? ?，因此数列 ? ?1 2nnaa? ? 是以 2124aa?为首项，公比为 2 的等比数列 .得 111 2 4 2 2nnnnaa ? ? ? ? ?，于是11 122nnaa? ?， 因 此 数 列 2nna?是以 1为 首 项 ， 1 为 公 差 的 等 差 数 列 ， 解 得? ?112nna nn? ? ? ?， 2nnan? .所以 12 49152a ? ， 选 B. 二、填空题 13. 解 析 ： 因为 5
17、2ab? ， 所 以 2 50ab? ，即 22 2 50a b a b? ? ? ?， 所 以25 20 50b? ? ? 所以 5b? . 14. 解析： 如图， xy? 在点 (4,5)A 处 取得最大值 9 . 15. 解析： 设双曲线 C 的方程为： 221xyab?，由已知得： FM b? ，所以24 432bab? ? ，而 224ab? ，所以 2 3b? ， 2 1a? ，所以双曲线 C 的方程： 22 13yx ?16. 设 3BC k? ，则 ? ?20R k k?， 因为 体积为 183 的正三棱锥 A BCD? 的每个顶点都在9 半 径 为 R 的球 O 的 球 面 上 ， 所以 213 9 18 334 kh? ? ? ?， 得224h k?. 由? ? ? ?222 3R h R k? ? ? ， 得 2k? 或 324k? （舍），所以 4R? .由题意知 点 E 为线段 BD的中 点， 从而在 ODB 中， 4OD OB?， 6DB? ， 解得 16 9 7OE ? ? ? .所以当 截面垂直于 OE 时，截面圆的半径为 16 7 3? ， 故 截面圆面积 最小值为 9? . 三、解答题 17. 解： （ ） 由 2 2 2 33c o s2 2 2a c b a cB a c a c? ? ?得出：6B?
