1、2024学年九年级中考数学专题复习：三角形综合解答题 刷题练习题汇编姓名：_班级：_考号：_1小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：【习题回顾】：如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q使，AQ，BP相交于点O，求的度数请你解答该习题【拓展延伸】：（1）如图1，在等腰的边上各取一点P，Q，使，平分，求的长小明的思路：过点A作交延长线于点G，证明，（2）如图2，在的边上各取一点P、Q，使，平分，求的数量关系，请你解答小明提出的问题2【阅读理解】（1）如图1，点A，B，C在同一直线上，于点A，于点C，求证：；【拓展应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，点，分别连接，设与x轴正半轴的夹角为，
2、与x轴正半轴的夹角为，求证：；【能力提升】（3）如图3，在平面直角坐标系中，点，轴于点F，设点G为x轴上的一动点，当满足时，求OG的长.3已知四边形的一组对边、的延长线交于点E(1)如图1，若，求证：(2)如图2，若，求四边形的面积(3)如图3，另一组对边、的延长线相交于点F若，直接写出的长（用含n的式子表示）4如图，在中，点D为边上一动点，连接，将线段绕着D点逆时针方向旋转与相同的度数得到线段，连接(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，当时，连接AE，将线段绕着A点逆时针方向旋转得到线段，连接求证：；(3)如图3，当时，若，连接，作点C关于的对称点，点H是的中点，连接，当的长度最大时，直接
3、写出的长度5在中，为平面内的一点(1)如图1，当点在边上时，且，求的长；(2)如图2，当点在的外部，且满足，求证：；(3)如图3，当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为，直线与的交点为，连接，直接写出旋转中面积的最大值6在中，过点B作直线l，点M在直线l上，连接，且，过C点作交于点N(1)如图1，请问和有怎样的数量关系，并证明；(2)如图2，直线交直线l于点H，求证：；(3)已知，在直线l绕点B旋转的过程中，当时，请直接写出的长度7如图1，在中，点为内部一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，连接(1)求证：；(2)如图2，当点落在上时，求的度数；(3)如图3，若为的中点，求
4、的长8已知线段于点，点在直线上（点与不重合），分别以，为边作等边三角形和等边三角形，直线交直线于点(1)如果点在线段上，如图，证明：；(2)如果点在线段的延长线上，如图，试猜想线段，之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如果点在直线上，且，请直接写出的值9如图，分别过线段的端点、作直线、，且、的角平分线交于点，过点的直线分别交、于点、(1)在图中，当直线时，线段、之间的数量关系是_；(2)当直线绕点旋转到与不垂直时，在如图两种情况下：图中，线段、之间的数量关系是_；图中，线段、之间是否有中同样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明10在中，点是射线上一点，点在线段上，连接并延长交于点(1)如图
5、1，求证：(2)如图2，于点，交于点，求证：(3)如图3，在（2）的条件下，连接，当，求的面积11如图，等边，点P、Q分别是边上的动点（端点除外），点P，Q分别从顶点A、B同时出发，且它们的运动速度相同，连接交于点M(1)求证：；(2)当点P、Q分别在边上运动时，的大小变化吗？若变化，说明理由；若不变，请直接写出它的度数(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数12综合与实践问题情境在中，点O是的中点，D为内一点，连接，将线段绕着点O旋转得到，连接探究证明（1）如图1，延长交于点E，若求证：；（2）如图2，连接，交的
6、延长线于点G，连接，若，用等式表示线段之间的数量关系，并证明；拓展提升（3）如图3，在（2）的条件下，与交于点H，若，请求出的长度（直接写出答案）13在和中，连接，(1)求证：；(2)若和 均为等边三角形，作直线，点 C 在直线l上且点 D 在 右侧，的延长线交l于E，连接，求证：点D 在线段的垂直平分线上；若 斜边上的高为2，点C在直线l上运动，则 的最小值 = 第 7 页 共 36 页答案：1解答过程：解：习题回顾：是等边三角形，又，；拓展延伸：（1）过点A作交的延长线于点G，平分，；（2）如图2，过点P作于H，过点A作于T，设，平分，；，2解答过程：解：（1），；（2）作点B关于x轴的对
7、称点C，连接，如图所示：根据对称性可知，为直角三角形，（3）取中点H，连接并延长，取，连接，过点F作于点N，如图所示：，中点为H，为等腰直角三角形，即，解得：，3解答过程：（1）证明：，；（2）过点C作于F，过点A作交延长线于G，由勾股定理得，即，解得，四边形的面积的面积的面积的面积；（3）过点C作于H，过点A作于G，设，则，由勾股定理得，解得，4解答过程：（1）证明：，由旋转的性质得，；（2）证明：作交的延长线于点，如图，是等腰直角三角形，将线段绕着A点逆时针方向旋转得到线段，同理，；（3）解：由对称的性质知，又，点在以点为圆心，为半径的圆上，点H是的中点，当共线时，的长度最大，延长交于点，
8、作交于点，同理得是等腰直角三角形，5解答过程：（1）证明：如图，将沿折叠，得到，连接，将沿折叠，得到，为等边三角形，为等腰直角三角形，；（2）如图，过作，且，连接，又，又，即，；（3）如图3，连接交于G点绕A点旋转，为直角三角形点P在以中点M为圆心，为半径的圆上，连接交所在直线于点N，当时，点P到直线的距离最大，A、P、B、C四点共圆，N是的中点M是的中点 ， ，点P到所在直线的距离的最大值为 的面积最大值为6解答过程：（1）证明：，；（2）证明：如图2，在直线l上取点，连接，使，即，由勾股定理得，；（3）解：由题意知，分两种情况求解；如图3，由勾股定理得；如图4，同理可得，由勾股定理得，由勾
9、股定理得；综上所述，的长为或7解答过程：（1）证明：，；（2）解：过点作于点，连接，过点作，交于点，如图所示：在和中，构成了“”字形，由于，对顶角，则，则，由（1）中，设，则，；（3）解：过点作，交于点，如图所示：则，由（1）中，在中，由勾股定理可得，8解答过程：（1）证明：，都是等边三角形，；（2）解： ，由（）得，（3）解：如图中，设，如图中，设，则，综上所述，或9(1)；(2)； 解答过程：（1）解：如图，延长交于点，平分，为等腰三角形，平分，又，故答案为：；（2）解：理由：如图，延长交于点，平分，为等腰三角形，平分，又，故答案为：；理由：如图，延长交于点，平分，为等腰三角形，平分，又，
10、10解答过程：（1）证明：，；（2）证明：如图2，作于N，又，即；（3）解：如图3， 设，由（2）知，则， ，解得，的面积为11解答过程：（1）证明： 是等边三角形，又点、运动速度相同，在与中，；（2）点、在、边上运动的过程中，不变理由：，是的外角，；（3）点、在运动到终点后继续在射线、上运动时，不变理由：同理可得，是的外角，即若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，的度数为12解答过程：解：（1）是线段绕着点O旋转得到的，O是的中点，；（2），由（1）可知：，即，；（3），在中，由勾股定理得，即，解得（负值已舍），解得，在中，由勾股定理得13解答过程：（1）证明：，（2）和 均为等边三角形，是的垂直平分线，点D 在线段的垂直平分线上；如图，过作于，则，由得：是的垂直平分线，当，三点共线时，则，此时最小，即的最小值为第 27 页 共 36 页
