1、 - 1 - 上海市浦东新区 2018 届高三数学上学期期末教学质量检测试题 注意： 1. 答卷前，考生务必在 答题纸 上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚 . 2. 本试卷共有 21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 . 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）只要求直接填写结果， 1-6 题每个空格填对得 4分， 7-12 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分 . 1. 集合 ? ?1,2,3,4A? , ? ?1,3,5,7B? ，则 AB?I _. 2. 不等式 11x? 的解集为 _. 3. 已知函数 ( ) 2 1f x x?的反函数是 1()fx?
2、，则 1(5)f? ? _. 4. 已知向量 (1, 2), (3, 4)ab? ? ?rr， 则向量 ar 在向量 br 的方向上 的投影为 _. 5. 已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 ? ?1 3 1zi? ? ? ，则 z? _. 6. 在 5(2 1)x? 的二项展开式中， 3x 的系数是 _. 7. 某企业生产的 12 个产品中有 10 个一等品， 2 个二等品，现从中抽取 4 个产品，其中恰好有 1 个二等品的概率为 _. 8. 已知函数 ()y f x? 是定义在 R 上的偶函数，且在 ? ?0,? 上是增函数，若 ( 1) (4)f a f? ，则实数 a 的取值范围是
3、_. 9. 已知等比数列 11,1,93L， 前 n 项和为 nS ，则使得 2018nS ? 的 n 的最小值为 _. 10. 圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为32?的扇形，则此圆锥的表面积为_. 11. 已知函数 ? ? ? ?sin 0f x x?，将 ? ?fx的图像向左平移 2? 个单位得到函数 ?gx的图像，令 ? ? ? ? ? ?h x f x g x?.如果存在实数 m ，使得对任意的实数 x ，都有? ? ? ? ? ?1h m h x h m? ? ?成立，则 ? 的最小值为 _. 12. 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， MN、 是双曲线 22124
4、xy?上的两 个动 点 ，动点 P 满足： 2OP OM ON?uuur uuur uuur，直线 OM 与直线 ON 斜率之积为 2 .已知平面内存在两定点12FF、 ，使得 12PF PF? 为定值，则该定值为 _. - 2 - 二、选择题 (本大题共有 4 题，满分 20 分 ) 每小题都给出四个 选项，其中有且只有一个选项 是正确的，选对得 5分，否则一律得零分 . 13. 若实数 x y R?、 ，则命题甲“ 44xyxy? ?”是命题乙“ 22xy? ?”的（ ）条件 A 充分非必要 B 必要非充分 C 充要 D 既非充分又非必要 14.已知 ABC? 中， 2A ? ， 1AB
5、AC?，点 P 是 AB 边上的动点，点 Q 是 AC 边上的动点，则 BQCP?uuur uur 的最小值为（ ） A 4? B 2? C 1? D 0 15. 某食品的保鲜时间 y （单位：小时）与储存温度 x （单位： 0C ）满足函数关系 kx bye?（ 2.718e= L 为自然对数的底数， kb、 为常数） .若该食 品在 00C 的保鲜时间是 192小时，在 022C 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 033C 的保鲜时间是 ( )小时 A 22 B 23 C 24 D 33 16. 关于 x 的方程 2 sin (co s ) 0x arc x a? ? ?恰有 3个实数
6、根 1 2 3x x x、 、 ，则 2 2 21 2 3x x x? ? ?（ ） A 1 B 2 C 22? D 22? 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17. （本题满 14 分，第 1 小题 7 分，第 2 小题 7 分） 如图，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， 2AB? ，1AD? ， 1 1AA? . （ 1）求异面直线 1BC 与 1CD 所成的角 ; （ 2）求三棱锥 1B DAC? 的体积 . - 3 - 18. （本题满 14 分，第 1 小题 7 分，第 2 小题 7 分） 在 ABC? 中，角 A
7、B C、 、 所对的边分别为 a b c、 、 ，已知： ? ?2,1m?ur ， ? ?c o s , c o s c o sn c C a B b A?r ，且 mn?ur r . （ 1）求 C ； （ 2）若 227cb? ，且 23ABCS? ? ，求 b 的值 . 19. （本题满 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分） 已知等差数列 na 的公差为 2，其前 n 项和 2 2 , ( N * , )nS p n n n p R? ? ? ?. （ 1）求 p 的值及 na 的通项公式 ; （ 2）在等比数列 nb 中， 2 1 3 2,4b a b a? ? ?，
8、令 *( 2 1) ( N )( 2 )nn na n kckb n k? ?，求数列 nc 前 n 项和 nT . 20. （本题满 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分） 已知椭圆 22:1xyab? ? ? ( 0)ab? 的左、右焦点分别为 12FF、 ；设点 (0, )Ab， 在 - 4 - 12AFF? 中， 1223FAF ?， 周长为 4 2 3? . （ 1） 求椭圆 ? 方程 ； （ 2）设 不经过 点 A 的直 线 l 与椭圆 ? 相交 于 BC、 两点 .若 直线 AB 与 AC 的斜率之和为 1? ，求证：直线 l 过 定点 ，并
9、求出该定点的坐标； （ 3）记第（ 2） 问 所求的 定点 为 E ，点 P 为椭圆 ? 上 一个 动点 ，试根据 AEP? 面积 S 的 不同取值范围，讨论 AEP? 存在的个数，并说明理由 . 21. （本题满 18 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分） 已知函数 ()fx的定义域为 D ，值域为 ()fD，即 ( ) | ( ) , f D y y f x x D? ? ?.若()f D D? ， 则称 ()fx在 D 上封闭 . （ 1）试分别判断函数 2017( ) 2017 + logxf x x? 、 2()1gxx? ?在 ? ?0,1 上是否
10、封闭，并说明理由； （ 2）函数 ? ? 1f x x k? ? ?的定义域为 ? ?,D ab? ，且存在 反函数 1()y f x? .若函数 ()fx在D 上封闭，且函数 1()fx? 在 ()fD上也封闭，求实数 k的取值范围； （ 3） 已知函数 ()fx的定义域 是 D ，对 任意 x y D?、 ，若 xy? ，有 ( ) ( )f x f y? 恒成立，则称 ()fx在 D 上是单射 .已知函数 ()fx在 D 上封闭且单射，并且满足 ()nf D D?，其中 *11( ) ( ( ) , ( ) , ( ) ( )nnf x f f x n N f x f x? ? ? ?.
11、证明：存在 D 的真子集 1 3 2 1nnD D D D D D? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?L，使得 ()fx在所有 ( 1, 2,3, )iD i n? L ，上封闭 . - 5 - 参考答案 注意： 1. 答卷前，考生务必在 答题纸 上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚 . 2. 本试卷共有 21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 . 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）只要求直接填写结果， 1-6 题每个空格填对得 4分， 7-12 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分 . 1.集合 ? ?1,2,3,4A? , ? ?1,3,5,7B?
12、 ，则 AB?I _.【答案】 ?1,3 2.不等式 11x? 的解集为 _.【答案】 ( ,0) (1, )? ?U 3.已知函数 ( ) 2 1f x x?的反函数是 1()fx? ，则 1(5)f? ? _.【答案】 3 4.已知向量 (1, 2), (3, 4)ab? ? ?rr，则向量 ar 在向量 br 上 的投影为 _.【答案】 1? 5. 已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 ? ?1 3 1zi? ? ? ，则 z? _.【答案】 12 6. 在 5(2 1)x? 的二项展开式中， 3x 的系数是 _.【答案】 80 7. 某企业生产的 12 个产品中有 10 个一等品， 2
13、 个二等品，现从这批产品中 抽取 4 个，其中恰好有 1 个二等品的概率为 _.【答案】 1633 8. 已知函数 ()y f x? 是定义在 R 上的偶函数，且在 ? ?0,? 上是增函数，若 ( 1) (4)f a f? ，则实数 a 的取值范围是 _.【答案】 ? ?5,3? 9.已知等比数列 11, ,1,93L 前 n 项和为 nS ，则使得 2018nS ? 的 n 的最小值为 _.【答案】 10 10. 圆锥的底面圆半径3，其侧面展开图是一个圆心角为32?的扇形，则此圆锥的表面积为_.【答案】 36? 11. 已知函数 ? ? ? ?sin 0f x x?，将 ?fx向左平移 2
14、? 个单位得 ?gx，令? ? ? ? ? ?h x f x g x?，如果存在实数 m ，使得对任意的实数 x ，都有? ? ? ? ? ?1h m h x h m? ? ?成立，则 ? 的最小值为 _. 【答案】 ? 12. 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点 .MN、 是双曲线 22124xy?上的两 个动 点 ，动点P 满足： 2OP OM ON?uuur uuur uuur，直线 OM 与直线 ON 斜率之积为 2 .已知平面内存在两定点- 6 - 12FF、 ，使得 12PF PF? 为定值，则该定值大小为 _.【答案】 210 二、选择题 (本大题共有 4 题，满分 20 分
15、) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项 是正确的，选对得 5分，否则一律得零分 . 13. 若实数 ,xy R? ，命题甲“ 44xyxy? ?”是命题乙“ 22xy? ?”的（ B ）条件 A 充分非必要 B 必要非充分 C 既充分又必要 D 既非充分又非必要 14. 已知 ABC? 中， 2A ? ， 1AB AC?，点 P 是 AB 边上的动点，点 Q 是 AC 边上的动点，则 BQCP?uuur uur 的最小值为（ B ） A 4? B 2? C 1? D 0 15. 某食品的保鲜时间 y （单位：小时）与储存温度 x （单位： 0C ）满足函数关系 kx bye? （ 2.
16、718e= L 为自然对数的底数， ,kb为常数），若该食品在 00C 的保鲜时间是 192小时，在 022C 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 033C 的保鲜时间是 ( C )小时 A 22 B 23 C 24 D 33 16. 关于 x 的方程 2 sin (co s ) 0x arc x a? ? ?恰有 3 个实数根 1 2 3,x x x ，则 2 2 21 2 3x x x? ? ? （ B ） A 1 B 2 C 22? D 22? 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17. （满分 14 分，第 1 小题 7 分，第 2 小题
17、7 分） 如图，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， 2AB? ， 1AD? ， 1 1AA? . （ 1）求异面直线 1BC 与 1CD 所成的角 ； （ 2）求三棱锥 1B DAC? 的体积 . 解：（ 1） 11/AD BCQ 1ADC? 是异面直线 1BC 与 1CD 所成的角或其补角 .? 2 分 在等腰 1ACD? 中， 115 , 5 , 2A C C D A D? ? ? - 7 - 易得 1 1010CD A? 4 分 即：异面直线 1BC 与 1CD 所成的角 10arccos 10 ? 1 分 （ 2）11B D AC D ABCVV? 4 分 1 1 1( 1 2) 13 2 3? ? ? ? ? ? 3 分 18. （满分 14 分，第 1 小问 7 分，第 2 小问 7 分） 在 ABC? 中，角 A B C、 、 所对的边分别为 a b c、 、 ，已知： ? ?2,1m?ur ， ? ?c o s , c o s c o sn c C a B b A?r ，且 mn?ur r ； （ 1）
