1、 1 湖北省天门、仙桃、潜江 2018届高三数学上学期期末联考试题 理 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 全卷满分 150分，考试时间 120分钟 注意： 1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效 3. 填空题和解答题用 0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内答在试题卷上无效 第 卷（选择题 共 60分） 一、选择 题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是
2、符合题目要求的把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效 1设集合 1 2 3A? ， ， ， 4 5B? ， ， | M x x a b a A b B? ? ? ? ?， ，则 M 中的元素个数为 A 3 B 4 C 5 D 6 2 在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由 四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是 3和 4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A 125 B 925 C 1625 D 2425 3设 i为虚数单位， 则下列命题成立的是 A a?R， 复数 3
3、ia? 是纯虚数 B在复平面内 i(2 i)? 对应的点位于第三限象 C若复数 1 2iz? ，则存在复数 1z ，使得 1zz?R D x?R ，方程 2 i0xx?无解 4 等比数列 na 的前 n项和为 nS ，已知 3 2 1 510 9S a a a? ? ?， ，则 1a? A 19 B 19? C 13 D 13? 5已知曲线 421y x ax? ? ? 在 点 ( 1 ( 1)f?， 处切线的斜率为 8，则 ( 1)f ? A 7 B 4 C 7 D 4 6 84(1 ) (1 )xy?的展开式中 22xy 的系数是 A 56 B 84 C 112 D 168 7已知一个空间
4、几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位： cm），可得这个几何体的体积2 是 A 4cm3 B 5 cm3 C 6 cm3 D 7 cm3 8函数 ( ) s i n ( ) ( 0 , 0 )f x A x A? ? ? ? ? ?的图像如图所示，则 (1 ) ( 2 ) ( 3 ) (1 8 )f f f f? ? ? ?的值等于 A 22 B 2 C 22? D 1 9某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 x在 1， 2， 3?， 24 这 24个整数中等可能随机产生。则按程序框图正确编程运行时输 出 y的值为 3的概率为 A 12 B 13 C 16 D 18 10从抛物线
5、2 4yx? 在第一象限内的一点 P引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且 | | 9PM? ，设抛物线的焦点为 F，则直线 PF的斜率为 A 627 B 1827 C 427 D 227 11已知三点 (1 2 ) ( 1 ) ( 0 )A B a C b? ? ?， ， ， ， ，共线，则 1 2 2 ( 0 , 0 )ab abab? ? ?的最小值为 A 11 B 10 C 6 D 4 12已知正方形 ABCD的边长是 a，依次连 接正方形 ABCD 各边中点得到一个新的正方形，由 此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示现有一只小虫从 A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬
6、行了 10条线段设这 10 条线段的长度之和是 S10，则 10(2 2 )S? A 3164a B 6164a C 3132a D 61128a B A D C 3 Q 第 卷（非选择题 共 90分） 二、填空题：本大题 共 4小题，每小题 5分，共 20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可 均不得分 13已知向量 a ， b 的夹角为 60? ， | | 2,| | 5?ab，则 2?ab在 a 方向上的投影为 14若实数 x， y满足 202080yxyxy?，则目标函数 321z x y? ? ? 的最小值为 15如图 12FF， 是椭圆 2 2:14xCy
7、?与双曲线 2C 的公共焦点， A， B 分别是 12CC， 在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2 为矩形，则 2C 的虚轴长为 16如图，在棱长为 2的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E为 BC 的中点，点 P在线段 D1E上，点 Q在线段 CC1上 ，则线 段 PQ长的最小值为 三、 解答题：本大题分必做题和选做题，其中第 17 21 题为必做题，第 22 23为选做题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤把答案填在答题卡上对应题号指定框内 17（本题满分 12分） 在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知 c o s c o s c
8、 o s 3 s i n c o sC A B A B? （ ）求 cosB 的 值 ； （ ） 若 1ac?，求 b 的取值范围 18.（本题满分 12分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中， PA平面 ABCD， E 为 BD 的中点， G 为 PD 的中点， DAB DCB，EA=EB=AB=1， 32PA? ，连接 CE并延长交 AD于 F （）求证： AD CG； （）求平面 BCP与平面 DCP 的夹角的余弦值 4 19.（本题满分 12分） 如图是某市 3月 1日至 14日的空气质量指数趋势图空气质量指数小于 100表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染某人随
9、机选择 3月 1日至 3月 13日中的某一天到达该市，并停留 2天 （）求此人到达当日空气重度污染的概率； （）设 X是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X的分布列与数学期望； （）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 20.（本题满分 12分） 如图，椭圆的中心为原点 O，长轴在 x 轴上，离心 率 22e? ，过左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于 A， A? 两点 | | 4AA? （ ） 求该椭圆的标准方程； （ ） 取垂直于 x轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P， P? ，过 P、 P? 作圆心为 Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆 Q外 若 PQ PQ
10、? ，求圆 Q的标准方程 21.（本题满分 12分） 设函数 2( ) ( 1) ( )xf x x e k x k? ? ? ? R （ ） 当 1k? 时，求函数 ()fx的单调区间； （ ） 当 1( 12k? ， 时，求函数 ()fx在 0k， 上的最大值 M 5 请考生在 22， 23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分做答时，请用 2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑 22（本题满分 10分）【选修 4 4 坐标系与参数方程】 已知动点 P、 Q都在曲线 2 c o s:(2 s inxtCtyt? ? 为 参 数 ）上，对应参数分别为 t
11、? 与 2t ?（ 02? ）， M为 PQ 的中点 () 求 M的轨迹的参数方程； () 将 M到坐标原点的距离 d表示为 ? 的函数，并判断 M的轨迹是否 过坐标原点 23（本题满分 10分）【选修 4 5 不等式选讲】 已知 函数 ()f x x a?，其中 1a? . () 当 2a? 时，求不等式 ( ) 4 | 4 |f x x? 的解集； () 已知关于 x 的不等式 | (2 ) 2 ( ) | 2f x a f x? 的解集为 |1 2xx ，求 a 的值 6 参考答案及评分标准 一、选择题： 1 5 BDCAB 6 10 DACCC 11 12 AC 二、 填空题： 13
12、32 14 53? 15 2 16 255 三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第 17 21 题为必做题，第 22 24 为选做题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。 17解： （ ） 由已知得 c o s ( ) c o s c o s 3 s i n c o s 0A B A B A B? ? ? ? ?， 即有 s in s in 3 s in c o s 0A B A B? 3分 因为 sin 0A? ， sin 3 cos 0BB?又 cos 0B? ， tan 3B? 又 0 B ?， 3B ? ， 1cos 2B? ?
13、6分 （ ） 由余弦定理，有 2 2 2 2 cosb a c a B? ? ? 因为 11 cos 2a c B? ? ?， ，有 22113( )24ba? ? ? 9分 又 01a?，于是有 21 14 b ? ，即有 1 12 b? ? 12 分 18解：（）在 ABD中， 因为点 E是 BD 的中点， EA=EB=ED=AB=1， 故 23B A D A B E A E B? ? ? ? ? ?， ? 1分 因为 DAB DCB， EAB ECB， 从而有 3F E D B E C A E B ? ? ? ? ? ? 2分 FED FEA? ? ，故 EF AD， AF=FD 又 P
14、G=GD， FG/PA又 PA平面 ABCD， GF AD，故 AD平面 CFG? 5分 又 CG? 平面 CFG， AD CF? ? 6分 7 （） 以点 A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则 333(0 0 0 ) ( 1 0 0 ) ( 0 ) (0 3 0 ) (0 0 )2 2 2A B C D P， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，? 7分 故 31(022BC ? ， ， ）， 333( 2 2 2CP ? ? ?， ， ）， 33(022CD ? ， ， ） 设平面 BCP的法向量 1 1 1(1 )yz? ， ，n ， 则 11131 022333 02 2
15、 2yyz? ? ? ? ?，解得 113323yz? ? ? ， 即1 3 2(1 )33? ， ，n? ? 9分 设平面 DCP的法向量 2 2 2(1 )yz? ， ，n ， 则 22233 022333 02 2 2yyz? ? ? ? ? ?，解得 2232yz? ? ?， 即 2 (1 3 2)? ， ，n 从而平面 BCP与平面 DCP的夹角的余弦值为 12124| 23c o s | | | 416 89? ? ? ?nnnn ? 12分 19解：设 Ai表示事件“此人于 3月 i日到达该市”（ i=1， 2，?， 13） 根据题意， 1()13iPA?，且 ()ijA A i
16、 j? ? 2分 （ ） 设 B为事件“此人到达当日空气重 度污染”，则 58B A A? 5 8 5 8 2( ) ( ) ( ) ( ) 13P B P A A P A P A? ? ? ? 4 分） （ ） 由题意可知， X的所有可能取值为 0， 1， 2，且 3 6 7 1 1 3 6 7 1 1 4( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 13P X P A A A A P A P A P A P A? ? ? ? ? ? ?， 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 4( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 13P X P A A A A P A P A P A P A? ? ? ? ? ? ?5( 0 ) 1 ( 1 ) ( 2 ) 13P X P X P X? ?
