1、24.4 24.4 解直角三角形解直角三角形知识点知识点解直角三角形解直角三角形11.一般一般地，直角三角形中，地，直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过由已知元素求出未知元素的过程程，叫做，叫做解直角三角形解直角三角形.(1)在在直角三角形中，直角三角形中，除直角外除直角外的五个元素中，已知其的五个元素中，已知其中中的两的两个个元素元素(至少至少有一个是有一个是边边)，可求出其余的三个可求出其余的三个未知元素未知元素(知知二求二求三三).(2)一个直角三角形可解，则其面积可求一个直角三角形可解，则其面积可求.但在一个解但在一个解直直角三角形角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积的题中
2、，如无特别说明，则不包括求面积.深度理解深度理解1.已知两个角不能解已知两个角不能解直角三角形直角三角形，因为，因为只有角只有角的条件，三的条件，三角形角形边的边的大小不唯一，大小不唯一，所以有所以有无数个三角形无数个三角形符合条件符合条件.2.已知一角一边时已知一角一边时，角，角必须为锐角，若必须为锐角，若已知已知角为直角，则角为直角，则不能求解不能求解.2.直角三角形直角三角形中的边角关系中的边角关系 在在直角三角形直角三角形ABC中中，C 为直角为直角，A，B，C所所对的边分别为对的边分别为a，b，c，那，那么除直角么除直角C外外的五个元素之间有如下关系：的五个元素之间有如下关系：(1)
3、三三边之间的关系：边之间的关系：a2b2c2(勾股定理勾股定理).(2)两两锐角之间的关系：锐角之间的关系：AB90.活学巧记活学巧记口诀记忆法口诀记忆法有斜求对乘正弦有斜求对乘正弦，有，有斜求邻乘余弦斜求邻乘余弦，无，无斜求对乘正切斜求对乘正切.“有斜求对乘正弦有斜求对乘正弦”的意思的意思是在一个是在一个直角三角形直角三角形中，对一中，对一个锐角个锐角而言而言，如果已知斜边长，如果已知斜边长，要求，要求该锐角的对边，该锐角的对边，那么那么就用斜边长乘该就用斜边长乘该锐角的锐角的正弦，其余的口诀正弦，其余的口诀意思意思可类推可类推.例 1解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“直角三角形的边角关系直角三角
4、形的边角关系”选择选择合适的合适的关系式关系式求解求解.根据下列条件，解直角三角形：根据下列条件，解直角三角形：(1)在在RtABC中中，C90，A30，b12；(2)在在RtABC中中，C90，A60，c6.例 2解题秘方：解题秘方：紧扣以下两种思路去求解紧扣以下两种思路去求解：(1)求求边时，一般用边时，一般用未知边比已知未知边比已知边边(或或已知边比未知已知边比未知边边)，去，去找已知角的某一找已知角的某一个锐角三角函数个锐角三角函数.(2)求求角时，一般用已知边比已知边，去角时，一般用已知边比已知边，去找未知角的某找未知角的某一个一个锐角三角函数锐角三角函数.(1)在在RtABC中中，
5、C90，A30，b12；(2)在在RtABC中中，C90，A60，c6.2-1.在在RtABC中，中，C90，根据下列，根据下列条件条件解直角三解直角三角形：角形：(1)c30，b20；(2)B72，c14；例 3解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“化斜为直化斜为直法法”，通过通过作高把斜三角形作高把斜三角形转化为两个转化为两个直角三角形直角三角形求解求解.B3-2.如图如图，在，在ABC中中，A30，B45，AC6，则则ABC的的周长周长为为_.知识点知识点解直角三角形在实际问题中的应用解直角三角形在实际问题中的应用21.利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤(
6、1)画画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为为解直角三角形解直角三角形的问题；的问题；(2)根据根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数，运，运用用直角三角形的有关性质，解直角三角形；直角三角形的有关性质，解直角三角形；(3)得到得到数学问题的答案数学问题的答案；(4)得到得到实际问题的答案实际问题的答案.解直角三角形在实际问题中的应用解直角三角形在实际问题中的应用2.解决解决实际问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下实际问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下表所示表所示图形图形关系式关系式图形图形关系式
7、关系式ACBCtan，AGACBEBCDCBDAD(tantan)解直角三角形在实际问题中的应用解直角三角形在实际问题中的应用续表：续表：图形图形关系式关系式图形图形关系式关系式ABDEAE tan，CDCEDEAE(tantan)解直角三角形在实际问题中的应用解直角三角形在实际问题中的应用续表：续表：图形图形关系式关系式图形图形关系式关系式特别提醒特别提醒1.在解直角三角形时在解直角三角形时，若，若相关的角不是相关的角不是直角三角形直角三角形的内角的内角，应应利用平行线的利用平行线的性质性质或互余、互补或互余、互补的角的角的性质将其的性质将其转化转化为为直角三角形的直角三角形的内角内角，再利
8、用解，再利用解直角三角形直角三角形的知识求解的知识求解.2.若问题中有两个若问题中有两个或两或两个以上的个以上的直角三角形直角三角形，当其中一，当其中一个个直角三角形直角三角形不能不能求解求解时，则可考虑时，则可考虑分别分别由两个由两个直角三角直角三角形形找出含有相同找出含有相同未知未知元素的关系式元素的关系式，运用，运用方程求解方程求解.例 4解题秘方解题秘方：建立数学模型后，用建立数学模型后，用“化斜为直法化斜为直法”，将斜将斜三角形三角形问题转化为直角三角形问题求解问题转化为直角三角形问题求解.(2)若若小欢以小欢以100米米/分分的速度从图书馆的速度从图书馆C沿沿CA回到公共汽车回到公
9、共汽车站站A，那么她在，那么她在15 分钟内能否到达公共汽车站？分钟内能否到达公共汽车站？4-1.如图，如图，某旅游某旅游景区景区为方便游客，修建为方便游客，修建了一了一条东西走向条东西走向的木的木栈道栈道AB，木栈道木栈道AB与景区与景区道路道路CD平行平行，在在C处处测得木栈道一端测得木栈道一端A位于位于北偏西北偏西42方向方向，在，在D处处测得木测得木栈道另栈道另一端一端B位于位于北偏西北偏西32方向方向，已知已知CD120 m，BD80 m，求，求木栈道木栈道AB的长度的长度(结结果果保留保留整数整数).(参考数据参考数据：sin 320.53，cos 32 0.85，tan 320.
10、62，sin 420.67，cos 42 0.74，tan 42 0.90)解：如图，过点解：如图，过点C作作CEAB于点于点E，过点，过点D作作DFAB交交AB的延长线于点的延长线于点F.易得四边形易得四边形CDFE是矩形，是矩形，EFCD120 m，CEDF.在在RtBDF中，中，BDF32，BD80 m，BF80 sin 32800.5342.4(m)，DF80cos 32800.8568(m)，EBEFBF12042.477.6(m)在在RtACE中中，CEDF68 m，ACE42，AE68tan 42680.9061.2(m)，ABAEEB61.277.6139(m)答：木栈道答：木
11、栈道AB的长度约为的长度约为139 m.2023年年10月月26日日11时时14分分，“神神舟十七舟十七号号”载人飞载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射如图船在中国酒泉卫星发射中心点火发射如图24.4-3，在发射的过程中，飞船从地面在发射的过程中，飞船从地面O处处发射发射，当飞船到达，当飞船到达A点点时时，从位于，从位于地面地面C处处的雷达站测得的雷达站测得AC的距离的距离是是8km，仰角为，仰角为30；10 s后飞船后飞船到达到达B处处，此时测得仰角为，此时测得仰角为45例 5解题秘方解题秘方：将实际问题转化为解直角三角形问题将实际问题转化为解直角三角形问题求解求解.(1)求求点点A离离地
12、面的高度地面的高度AO；5-1.如图，为测量如图，为测量电视塔电视塔观景台观景台A处处的高度的高度，某，某数学兴趣数学兴趣小组在小组在电视塔电视塔附近一建筑物楼顶附近一建筑物楼顶D处处测得塔测得塔A处处的仰角的仰角为为45，塔底部，塔底部B处处的的俯角为俯角为22.已知已知建筑物建筑物的的高高CD约为约为61 米，请计算米，请计算观景台观景台A处处的高度的高度AB.(结果结果精确到精确到1 米，参考米，参考数数据：据：sin 220.37，cos 220.93，tan 220.40)解：如图，过点解：如图，过点D作作DEAB于点于点E.易得四边形易得四边形BCDE是矩形，是矩形，BEDC61米，米，DECB.易得易得DBCBDE22.例 6解题秘方解题秘方：将分散的条件集中到将分散的条件集中到ABP中中求解求解.(1)山坡山坡坡角的度数坡角的度数等于等于_；30解：由解：由题意，得题意，得PBH60，APB601545.ABC30，ABP90.BAP45，PBAB.B解直角三角形解直角三角形解直角解直角三角形三角形应用应用类型类型方向角问题方向角问题仰角和俯角问题仰角和俯角问题坡度和坡角问题坡度和坡角问题依据依据三边关系三边关系两锐角关系两锐角关系边角关系边角关系
