1、 中考数学 （江苏专用） 3.4.2 二次函数的应用 考点 二次函数的应用 A组 20162020年江苏中考题组 1.(2019连云港,7,3分)如图,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD,其中C=120.若新建墙BC与 CD总长为12 m,则该梯形储料场ABCD的最大面积是( ) A.18 m2 B.18 m2 C.24 m2 D. m2 3 3 45 3 2 答案答案 C 如图,过点C作CEAB于E, 则四边形ADCE为矩形, DCE=CEB=90, 则BCE=BCD-DCE=30, 设CD=AE=x(0x12), 则BC=12-x. 在RtCBE中,BCE=30, BE=BC=6-
2、x,AD=CE=BE=6-x, AB=AE+BE=x+6-x=x+6, 梯形ABCD的面积S=(CD+AB) CE=-x2+3x+18=- (x-4)2+24 , 1 2 1 2 33 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 6 2 xx 3 6 3- 2 x 3 3 8 33 3 3 8 3 当x=4时,取最大值,即CD长为4 m时,该梯形储料场ABCD的面积最大,为24 m2. 故选C. 3 2.(2018连云港,7,3分)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h =-t2+24t+1.则下列说法中正确的是( ) A.点火后9 s和点火后13 s
3、的升空高度相同 B.点火后24 s火箭落于地面 C.点火后10 s的升空高度为139 m D.火箭升空的最大高度为145 m 答案答案 D A.当t=9时,h=136;当t=13时,h=144,所以点火后9 s和点火后13 s的升空高度不相同,此选项错 误; B.当t=24时,h=10,所以点火后24 s火箭离地面的高度为1 m,此选项错误; C.当t=10时,h=141,此选项错误; D.由h=-t2+24t+1=-(t-12)2+145知火箭升空的最大高度为145 m,此选项正确. 故选D. 思路分析思路分析 分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项,将解析式配方成
4、顶点式可判 断D选项. 解题关键解题关键 本题主要考查二次函数的应用,采用逐项分析法,解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与 性质. 3.(2020连云港,13,3分)加工爆米花时,爆开且不煳的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可 食用率y与加工时间x(单位:min)满足函数表达式y=-0.2x2+1.5x-2,则最佳加工时间为 min. 答案答案 3.75 解析解析 对于y=-0.2x2+1.5x-2, 当x=-=3.75时,y取得最大值, 则最佳加工时间为3.75 min. 1.5 2(-0.2) 4.(2020南京,25,8分)小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地.设小丽出发
5、第x min时,小丽、小明离 B地的距离分别为y1 m、y2 m,y1与x之间的函数表达式是y1=-180 x+2 250,y2与x之间的函数表达式是y2=-10 x2-100 x+2 000. (1)小丽出发时,小明离A地的距离为 m; (2)小丽出发至小明到达B地这段时间内,两人何时相距最近?最近距离是多少? 解析解析 (1)250. 详解:当x=0时,y1=2 250,y2=2 000. 2 250-2 000=250(m), 因此,小丽出发时,小明离A地的距离为250 m. (2)设小丽出发第x min时,两人相距s m,则 s=-180 x+2 250-(-10 x2-100 x+2
6、 000), 即s=10 x2-80 x+250,其中0 x10. 因此,当x=-=-=4时,s有最小值=90. 所以当小丽出发第4 min时,两人相距最近,最近距离是90 m. 2 b a -80 2 10 2 4- 4 ac b a 2 4 10250-(-80) 4 10 5.(2019宿迁,26,10分)超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利 润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销 售单价增加x元,每天售出y件. (1)请写出y与x之间的函数表达式; (2)当x为多少时,超市每天销售这
7、种玩具可获利润2 250元? (3)设超市每天销售这种玩具可获利w元,当x为多少时,w最大,最大值是多少? 解析解析 (1)根据题意得y=-x+50. (2)根据题意得(40+x)=2 250, 解得x1=50,x2=10, 每件利润不能超过60元, x=10. 答:当x为10时,超市每天销售这种玩具可获利润2 250元. (3)根据题意得,w=(40+x)=-x2+30 x+2 000=-(x-30)2+2 450(0 x20), a=-0, 当x0)的相关费用,当40 x45时,农经公司的日获利 的最大值为2 430元,求a的值.(日获利=日销售利润-日支出费用) 解析解析 (1)假设p与
8、x成一次函数关系,设函数表达式为p=kx+b, 则解得 p=-30 x+1 500, 检验:当x=35时,p=450; 当x=45时,p=150; 当x=50时,p=0,满足题意. 所求的函数表达式为p=-30 x+1 500. (2)设日销售利润为w元,则w=p(x-30)=(-30 x+1 500)(x-30)=-30 x2+2 400 x-45 000=-30(x-40)2+3 000. 当x=40时,w有最大值3 000, 故这批农产品的销售价格定为40元/千克时,才能使日销售利润最大. (3)设日获利为W元,则W=p(x-30-a)=(-30 x+1 500) (x-30-a)=-3
9、0 x2+(2 400+30a)x-45 000-1 500a, 对称轴为直线x=-=40+a. 30600, 40300, kb kb -30, 1 500, k b 2 40030 2(-30) a 1 2 若a10,则当x=45时,W取最大值, Wmax=2 250-150a2 430(不合题意); 若0a10,则当x=40+a时,W取最大值, 将x=40+a代入,可得W=30, 当W=2 430时,2 430=30, 解得a1=2,a2=38(舍去). 综上所述,a的值为2. 1 2 1 2 2 1 -10100 4 aa 2 1 -10100 4 aa 8.(2018扬州,26,10
10、分)“扬州漆器”名扬天下,某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒,成本为30元/件,每天 的销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系,如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件,当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大,最大利 润是多少? (3)该网店店主热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程,为了保证捐款后每天剩 余利润不低于3 600元,试确定该漆器笔筒销售单价的范围. 解析解析 (1)设y=kx+b(k0), 直线y=kx+b经过点(40,300),(55,150), 解得 故y与x之间的函数关系式为y=-10
11、 x+700. (2)由题意,得-10 x+700240, 解得x46,30x46. 设每天获取的利润为w元, 则w=(x-30) y=(x-30)(-10 x+700), w=-10 x2+1 000 x-21 000=-10(x-50)2+4 000, -100,x50时,w随x的增大而增大, x=46时,w取最大值,w最大值=-10(46-50)2+4 000=3 840. 答:当销售单价为46元时,每天获取的利润最大,最大利润是3 840元. (3)w-150=-10 x2+1 000 x-21 000-150=3 600, 40300, 55150, kb kb -10, 700.
12、k b 即-10(x-50)2=-250, 即x-50=5, x1=55,x2=45, 当45x55时,捐款后每天剩余利润不低于3 600元. 解后反思解后反思 本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用,利用函数增减 性得出最值是解题关键,能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点. 考点 二次函数的应用 B组 20162020年全国中考题组 1.(2018四川巴中,7,3分)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处起跳投篮,球沿一条抛物线运动, 当球运动的水平距离为2.5 m时,达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心距离地面3.05
13、m,在如图所示的平面直角坐标系中,下列说法正确的是( ) A.此抛物线的解析式是y=-x2+3.5 B.篮圈中心的坐标是(4,3.05) C.此抛物线的顶点坐标是(3.5,0) D.篮球出手时距离地面2 m 1 5 答案答案 A A.抛物线的顶点坐标为(0,3.5), 可设抛物线的解析式为y=ax2+3.5(a0). 篮圈中心(1.5,3.05)在抛物线上,代入上式,得3.05=a1.52+3.5,a=-0.2,y=-0.2x2+3.5.故本选项正确. B.由题图知,篮圈中心的坐标是(1.5,3.05),故本选项错误. C.由题图知,此抛物线的顶点坐标是(0,3.5),故本选项错误. D.设这
14、次跳投时,篮球出手处距离地面h m, 因为y=-0.2x2+3.5,当x=-2.5时,h=-0.2(-2.5)2+3.5=2.25.这次跳投时,篮球出手处距离地面2.25 m.故本 选项错误.故选A. 思路分析思路分析 本题考查了二次函数的应用,解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型,体现了数学 建模的数学思想,难度不大,能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键. 2.(2018北京,7,2分)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线 的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+b
15、x+c(a 0).如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后 飞行到最高点时,水平距离为( ) A.10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m 答案答案 B 根据题意知,抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点(0,54.0)、(40,46.2)、(20,57.9), 则解得 所以x=-=-=15.故该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为15 m.故选B. 54.0, 1 6004046.2, 4002057.9, c abc abc -0.019 5, 0.585, 54.0, a b c 2 b a 0.585 2(-0.019
16、 5) 3.(2020广东广州,16,3分)对某条线段的长度进行了3次测量,得到3个结果(单位:mm)9.9,10.1,10.0,若用a 作为这条线段长度的近似值,当a= mm时,(a-9.9)2+(a-10.1)2+(a-10.0)2最小.对另一条线段的长度 进行了n次测量,得到n个结果(单位:mm)x1,x2,xn,若用x作为这条线段长度的近似值,当x= mm 时,(x-x1)2+(x-x2)2+(x-xn)2最小. 答案答案 10.0; 12 n xxx n 解析解析 令y=(a-9.9)2+(a-10.1)2+(a-10.0)2=3a2-60a+9.92+102+10.12,是关于a的
17、二次函数, 当a=-=10时,原式最小. 同理可知,当x=时,(x-x1)2+(x-x2)2+(x-xn)2最小. -60 2 3 12 n xxx n 4.(2020四川成都,26,8分)在“新冠”疫情期间,全国人民“众志成城,同心抗疫”,某商家决定将一个月 获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品,成本为10元/件,拟采取线上和线下两种 方式进行销售.调查发现,线下的月销量y(单位:件)与线下售价x(单位:元/件,12x24)满足一次函数的关 系,部分数据如下表: x(元/件) 12 13 14 15 16 y(件) 1 200 1 100 1 000 900 800 (1)
18、求y与x的函数关系式; (2)若线上售价始终比线下每件便宜2元,且线上的月销量固定为400件.试问:当x为多少时,线上和线下月 利润总和达到最大?并求出此时的最大利润. 解析解析 (1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k0), 将(12,1 200)和(13,1 100)代入y=kx+b, 得解得 y与x的函数关系式为y=-100 x+2 400. (2)设线上和线下月利润总和为w元,则 w=y(x-10)+400(x-2-10) =(-100 x+2 400)(x-10)+400 x-4 800 =-100(x-19)2+7 300. 12x24,当x=19时,wmax=7 300. 答
19、:当x为19时,线上和线下月利润总和最大,为7 300元. 121 200, 131 100, kb kb -100, 2 400. k b 5.(2018福建,23,10分)如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个 矩形菜园ABCD,其中ADMN.已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏. (1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长; (2)求矩形菜园ABCD面积的最大值. 解析解析 (1)设AD的长为x米,则AB的长为米. 依题意,得=450. 解得x1=10,x2=90. 因为a=20,xa, 所以x=90不合
20、题意,舍去. 故所利用旧墙AD的长为10米. (2)设AD的长为x米,0xa, 则矩形菜园ABCD的面积 S=-(x2-100 x)=-(x-50)2+1 250. 若a50,则当x=50时,S最大,S最大=1 250. 若0a50,则当0xa时,S随x的增大而增大. 故当x=a时,S最大,S最大=50a-a2. 100- 2 x (100- ) 2 xx (100- ) 2 xx1 2 1 2 1 2 综上,当a50时,矩形菜园ABCD面积的最大值是1 250平方米; 当0a50时,矩形菜园ABCD面积的最大值是平方米. 2 1 50 - 2 aa 解后反思解后反思 本题考查一元二次方程、二
21、次函数等基础知识,考查运算能力、推理能力、应用意识、创 新意识,考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想. 6.(2017山东潍坊,23,9分)工人师傅用一块长为10 dm,宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器, 需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计) (1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12 dm2时,裁掉的正 方形边长多大; (2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用 为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,裁掉的正方形边长多大时,总费用最低,最低为多少? 解析解析 (1)如
22、图所示: (2分) 设裁掉的正方形边长为x dm, 由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,(3分) 即x2-8x+12=0, 解得x1=2或x2=6(舍去).(4分) 所以当长方体底面面积为12 dm2时,裁掉的正方形的边长为2 dm.(5分) (2)由题意得,10-2x5(6-2x), 所以0x2.5.(6分) 设总费用为w元,由题意可知, w=0.52x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x)(7分) =4x2-48x+120 =4(x-6)2-24.(8分) 因为该二次函数图象的对称轴为直线x=6,开口向上, 所以当00),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件.该商店在 今
23、后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1 400元,求m的值. 解析解析 (1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k0), 依题意有解得 y与x的函数关系式是y=-2x+200. 40;70;1 800. 进价是50-(1 000100)=40元/件. w=(-2x+200)(x-40)=-2(x-70)2+1 800,当售价为70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1 800元. (2)依题意有w=(-2x+200)(x-40-m) =-2x2+(2m+280)x-8 000-200m =-2+m2-60m+1 800, m0,70, -20,抛物线开口向
24、下,x65,w随x的增大而增大, 50100, 6080, kb kb -2, 200, k b 2 140 - 2 m x 1 2 140 2 m 当x=65时,w有最大值,为(-265+200)(65-40-m),(-265+200)(65-40-m)=1 400, m=5.若周销售最大利润是1 400元,则m的值为5. 考点 二次函数的应用 C组 教师专用题组 1.(2017辽宁沈阳,15,3分)某商场购进一批单价为20元的日用商品,如果以单价30元销售,那么半月内可销 售出400件.根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,且销售单价每提高1元,销售量相应减少20 件.当销售单价是
25、 元时,才能在半月内获得最大利润. 答案答案 35 解析解析 设销售单价为x元,半月内的利润为y元,由题意知y=(x-20)400-20(x-30)=(x-20)(1 000-20 x)=-20 x2+ 1 400 x-20 000=-20(x-35)2+4 500. -200,抛物线开口向下, 当x=35时,y取得最大值, 即销售单价是35元时,才能在半月内获得最大利润. 2.(2020宿迁,26,10分)某超市经销一种商品,每千克成本为50元.经试销发现,该种商品每天的销售量y(千 克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系,其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示: 销售单价x(元
26、/千克) 55 60 65 70 销售量y(千克) 70 60 50 40 (1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数表达式; (2)为保证某天获得600元的销售利润,则该天的销售单价应定为多少? (3)当销售单价定为多少时,才能使当天的销售利润最大?最大利润是多少? 解析解析 (1)依题意设y=kx+b(k0),将x=55,y=70;x=60,y=60代入得 解得 所以y与x之间的函数表达式为y=-2x+180.(3分) (2)由题意知(x-50)(-2x+180)=600, 解得x1=80,x2=60. 答:销售单价定为80元/千克或60元/千克时,该天销售利润为600元.(6分) (3
27、)设当天销售利润为w元,则 w=(x-50)(-2x+180)=-2(x-70)2+800. 因为a=-20,所以当x=70时,w最大,最大值为800. 答:当销售单价定为70元/千克时,当天销售利润最大,最大利润为800元.(10分) 5570, 6060, kb kb -2, 180, k b 3.(2019四川成都,26,8分)随着5G技术的发展,人们对各类5G产品的使用充满期待.某公司计划在某地区 销售一款5G产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x(x为正 整数)个销售周期每台的销售价格为y元,y与x之间满足如图所示的一次函数关系. (1)求y与x
28、之间的关系式; (2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台),p与x的关系可以用p=x+来描述.根据以上信息, 试问:哪个销售周期的销售收入最大?此时该产品每台的销售价格是多少元? 1 2 1 2 解析解析 (1)设y=kx+b(k0),把(1,7 000)和(5,5 000)代入,得解得 y与x之间的关系式为y=-500 x+7 500. (2)设第x个销售周期的销售收入为w万元,则w=p y=(-500 x+7 500)=-250(x-7)2+16 000. -2500,当x=7时,w有最大值,此时y=-5007+7 500=4 000. 答:第7个销售周期的销售收入最大,此时该产
29、品每台的销售价格是4 000元. 7 000, 5 0005, kb kb -500, 7 500. k b 11 22 x 方法总结方法总结 用待定系数法可以求得函数解析式,用配方法可以求得二次函数的最值. 4.(2018江西,21,9分)某乡镇实施产业扶贫,帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节,已知 该蜜柚的成本价为8元/千克,投入市场销售时,调查市场行情,发现该蜜柚销售不会亏本,且每天销售量y (千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示. (1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围; (2)当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大?最大利润是多少? (
30、3)某农户今年共采摘蜜柚4 800千克,该品种蜜柚的保质期为40天,根据(2)中获得最大利润的方式进行 销售,能否销售完这批蜜柚?请说明理由. 解析解析 (1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k0), 将(10,200)和(15,150)代入,得 解得 y与x的函数关系式为y=-10 x+300. 由-10 x+3000,得x30, x的取值范围为8x30. (2)设该品种蜜柚定价为x元/千克时,每天销售获得的利润为W元,依题意,得W=(x-8)(-10 x+300)=-10(x-19)2 +1 210, -100,当x=19时,W最大值=1 210. 因此,该品种蜜柚定价为19元/千克时
31、,每天销售获得的利润最大,最大利润为1 210 元. (3)不能. 理由:按(2)中每天获得最大利润的方式销售, 10200, 15150, kb kb -10, 300. k b 由(1)得每天销售量为-1019+300=110千克, 11040=4 400千克4 800千克, 该农户不能销售完这批蜜柚. 思路分析思路分析 (1)利用待定系数法求出y与x的函数关系式,根据蜜柚销售不会亏本及销售量不能为负求得x 的取值范围;(2)根据“总利润=单件利润销售量”列出函数解析式,并配方成顶点式即可得出最大利 润; (3)根据(2)中获得最大利润的方式进行销售(即x=19),求出40天的总销售量,与
32、4 800比较即可得出答案. 方法指导方法指导 用二次函数解决实际最值问题的一般步骤:(1)设出实际问题中的变量;(2)建立函数关系式; (3)利用待定系数法或根据题意分析、列等式求出函数关系式;(4)确定自变量取值范围;(5)利用二次函 数的性质求出最值,对所得最值进行检验,看是否符合实际意义. 5.(2017内蒙古包头,23,10分)某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米2 000元, 设矩形一边长为x米,面积为S平方米. (1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)设计费能达到24 000元吗?为什么? (3)当x是多少米时,设计费最多?最
33、多是多少元? 解析解析 (1)矩形的周长为16米,一边长为x米, 其邻边长为(8-x)米. S=x(8-x)=-x2+8x.其中,0x8),当第二年的年利润不低于103 万元时,请结合年利润z(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图,求销售价格x(元/件)的取值范围. 解析解析 (1)当4x8时,设y=(k0), 将A(4,40)代入,得k=440=160. y与x之间的函数关系式为y=.(1分) 当8x28时,设y=kx+b(k0), 将B(8,20),C(28,0)代入得, 解得 y与x之间的函数关系式为y=-x+28.(3分) 综上所述,y=(4分) k x 160 x 8 20, 2
34、8 0, kb kb -1, 28. k b 160 (48), -28(828). x x xx (2)当4x8时, z=(x-4) y-160=(x-4)-160=-. 当4x8时,z随着x的增大而增大, 当x=8时,z取最大值,zmax=-=-80.(5分) 当8-80, 当每件的销售价格定为16元时,第一年的年利润最大,最大值为-16万元.(8分) (3)第一年的年利润为-16万元, 16万元应作为第二年的成本.又x8, 第二年的年利润为z=(x-4) (-x+28)-16=(-x2+32x-128)万元.(10分) 令z=103,则-x2+32x-128=103, 解得x1=11,x
35、2=21.(11分) 160 x 640 x 640 8 在平面直角坐标系中,画出z与x的函数示意图如图. 观察示意图可知: 当z103时,11x21. 当11x21时,第二年的年利润z不低于103万元.(12分) 7.(2018浙江温州,23,12分)温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品,每人每天生产2件甲或1件乙, 甲产品每件可获利15元.根据市场需求和生产经验,乙产品每天产量不少于5件,当每天生产5件时,每件可 获利120元,每增加1件,当天平均每件利润减少2元.设每天安排x人生产乙产品. (1)根据信息填表: 产品 种类 每天工人数 每天产量(件) 每件产品 可获利润(元) 甲
36、15 乙 x x (2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元,求每件乙产品可获得的利润; (3)该企业在不增加工人的情况下,增加生产丙产品,要求每天甲、丙两种产品的产量相等.已知每人每天 可生产1件丙(每人每天只能生产一种产品),丙产品每件可获利30元,求每天生产三种产品可获得的总利 润W(元)的最大值及相应x的值. 解析解析 (1)由已知得,每天安排x人生产乙产品时,生产甲产品的有(65-x)人,共生产甲产品2(65-x)件,在乙产 品每件获利120元的基础上,增加(x-5)件乙产品,则当天平均每件获利减少2(x-5)元,则每件乙产品的利润 为(130-2x)元.
37、(2)由题意得152(65-x)=x(130-2x)+550, x2-80 x+700=0, 解得x1=10,x2=70(不符合题意,舍去), 130-2x=110, 每件乙产品可获得的利润是110元. (3)设生产甲产品的工人有m人, 则W=x(130-2x)+152m+30(65-x-m) =-2(x-25)2+3 200. 2m=65-x-m,m=. x、m都是非负整数, 取x=26,此时m=13,65-x-m=26, 65- 3 x 即当x=26时,W最大值=3 198. 安排26人生产乙产品时,可获得的总利润最大,为 3 198元. 8.(2018山东滨州,23,12分)如图,一小球
38、沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线. 如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+20 x,请根 据要求解答下列问题: (1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15 m时,飞行的时间是多少? (2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少? (3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 解析解析 (1)当y=15时,-5x2+20 x=15, 化简得x2-4x+3=0,解得x=1或3, 即飞行的时间是1 s或者3 s. (2)飞出和落地的瞬间,高度都为0,故y=0, 即0=-5x2+20 x, 解得
39、x=0或4, 所以从飞出到落地所用时间是4-0=4 s. (3)y=-5x2+20 x=-5(x-2)2+20, 当x=2时,y取得最大值,此时,y=20. 所以在飞行过程中,小球飞行高度第2 s时最大,最大高度是20 m. 一、选择题(共3分) A组 20182020年模拟基础题组 时间:35分钟 分值:30分 1.(2019淮安淮阴一模,8)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=x2-2x,其对称 轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 1 2 1 2 答案答案 B 如图,过点C作CAy轴, y=x2-2x=(x-2)2-2,
40、顶点坐标为C(2,-2), 对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积即四边形OACB的面积,为22=4,故选B. 1 2 1 2 二、填空题(共3分) 2.(2018连云港东海一模,15)如图所示的一座拱桥,当水面宽AB为12 m时,桥洞顶部离水面4 m,已知桥洞 的拱形是抛物线.以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y= -(x-6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 . 1 9 答案答案 y=-(x+6)2+4 1 9 解析解析 若选点B为坐标原点, 则顶点坐标是(-6,4),a=-不变, 则所求抛物线解析式是y=-(x+6)2+4. 1
41、9 1 9 解题关键解题关键 本题主要考查二次函数的应用,利用顶点式求出函数解析式是解题关键. 三、解答题(共24分) 3.(2020淮安洪泽一模,25)商店购进一批单价为20元的T恤,经试销发现,每天销售件数y(件)与销售价格x (元/件)满足如图所示的一次函数关系. (1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出x的取值范围); (2)在不考虑积压等因素的情况下,销售价格定为多少时,每天获得的利润W最大? 解析解析 (1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k0),把(40,300),(55,150)分别代入得 解得 y与x之间的函数关系式为y=-10 x+700. (2)由题意得W=(x-2
42、0) y =(x-20)(-10 x+700) =-10 x2+900 x-14 000 =-10(x-45)2+6 250, -100,所以抛物线开口向上,又对称轴为直线x=85,所以当80 x85时,W随x的增大而减小,则W 3 000; 当85x110时,W随x的增大而增大,则W6 000, 因此,当x=110时,W的值最大,最大值为6 000. 10080, 250110, kb kb 5, -300. k b 综上,当售价为110元时,该商家获得的利润最大,最大利润是6 000元.(7分) (3)100(9分) 5.(2019扬州高邮一模)水产经销商以10元/千克的价格收购了1 00
43、0千克的鳊鱼围养在湖塘中(假设围养 期每条鳊鱼的质量保持不变),据市场推测,经过湖塘围养后的鳊鱼的市场价格每围养一天能上涨1元/千 克,在围养过程中(最多围养20天),平均每围养一天有10千克的鳊鱼会缺氧浮水.假设缺氧浮水的鳊鱼能 以5元/千克的价格抛售完. (1)若围养x天后,该水产经销商将活着的鳊鱼一次性出售,加上抛售的缺氧浮水鳊鱼,能获利8 500元,则需 要围养多少天? (2)若围养期内,每围养一天需支出各种费用450元,则该水产经销商最多可获利多少元? 解析解析 (1)设需要围养x天,根据题意得, 10 x (5-10)+(1 000-10 x)x=8 500, 解得x1=10,x2
44、=85(不合题意,舍去). 答:需要围养10天. (2)设需要围养x天,该水产经销商可获利y元, 根据题意得,y=10 x (5-10)+(1 000-10 x)x-450 x=-10 x2+500 x, y=-10(x-25)2+6 250, -100,0 x20, 当x=20时,y最大值=6 000. 答:该水产经销商最多可获利6 000元. 解答题(共40分) B组 20182020年模拟提升题组 时间:40分钟 分值:40分 1.(2020无锡江阴模拟,25)某公司经过市场调查,发现某种运动服的月销量与售价是一次函数关系,具体 信息如下表: 售价(元/件) 200 210 220 23
45、0 月销量(件) 200 180 160 140 已知该运动服的进价为每件150元. (1)设售价为x元,月销量为y件. 求y关于x的函数关系式; 若销售该运动服的月利润为w元,求w关于x的函数关系式,并求月利润最大时的售价; (2)由于运动服进价降低了a元,商家决定回馈顾客,打折销售,这时月销量与调整后的售价仍满足(1)中函 数关系式.结果发现,此时月利润最大时的售价比调整前月利润最大时的售价低15元,则a的值是多少? 解析解析 (1)设y关于x的函数关系式为y=kx+b(k0),把(200,200),(210,180), 代入得解得 y关于x的函数关系式为y=-2x+600. 由题意得w=
46、(x-150)(-2x+600)=-2x2+900 x-90 000=-2(x-225)2+11 250. -20, 抛物线的开口向下, 当x=225时,月利润最大,为11 250元. w关于x的函数关系式为w=-2x2+900 x-90 000,月利润最大时的售价为225元. (2)设调整后的售价为t元,则调整后的单件利润为(t-150+a)元,月销量为(-2t+600)件. 月利润w=(t-150+a)(-2t+600) =-2t2+(900-2a)t+600a-90 000, 当t=时,月利润最大, 200200, 210180, kb kb -2, 600, k b 450- 2 a
47、则=210,解得a=30.a的值是30. 450- 2 a 解题关键解题关键 本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用,明确成 本利润问题的基本数量关系及二次函数的性质是解题的关键. 2.(2020苏州高新区一模,27)如图1,在ABC中,A=30,点P从点A出发以2 cm/s的速度沿折线A-C-B运 动,点Q从点A出发以a cm/s的速度沿AB运动,P、Q两点同时出发,当某一点运动到点B时,两点同时停止 运动.设运动时间为x(s).APQ的面积为y(cm2),y关于x的函数图象由C1、C2两段组成(其中C1、C2均为抛 物线的一部分),如图2所示. (1)求a的
48、值; (2)求图2中图象C2段的函数表达式; (3)当点P运动到线段BC上某一段时,APQ的面积大于当点P在线段AC上任意一点时APQ的面积,求x 的取值范围. 解析解析 (1)当点P在AC上运动时,如图,过点P作PDAB于D, A=30,PD=AP=x(cm), y=AQ PD=ax x=ax2, 由题图2中图象可知,当x=1时,y=, a12=,解得a=1. (2)当点P在CB上运动时,如图, 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 由(1)知,点Q的速度是1 cm/s, AC+BC2AB,而点P的速度是2 cm/s,所以点P先到达B点, 作PEAB于E, 由题中图象可知,PB=72-2x=(14-2x)cm, PE=PB sin B=(14-2x) sin Bcm, y= AQ PE=x (14-2x) sin B, 当x=6时,y=, 6(1
