1、 中考数学 （福建专用） 第五章 圆 5.1 圆的性质及与圆有关的位置关系 20162020年全国中考题组 考点一 圆的有关概念及性质 1.(2020福建,9,4分)如图,四边形ABCD内接于O,AB=CD,A为的中点,BDC=60,则ADB等于 ( ) A.40 B.50 C.60 D.70 BD 答案答案 A 连接OA,OB,OC, AB=CD,A为的中点, =. BDC=60, BOC=260=120, AOB=(360-120)3=80. ADB=40. BD AB CD AD 方法指导方法指导 圆中,弧所对的圆心角度数与弧的度数相同,弧所对的圆周角度数是弧的度数的一半. 2.(202
2、0河北,14,2分)有一题目:“已知:点O为ABC的外心,BOC=130,求A.”嘉嘉的解答为:画ABC 以及它的外接圆O,连接OB,OC,如图所示.由BOC=2A=130,得A=65.而淇淇说:“嘉嘉考虑的不周 全,A还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是( ) A.淇淇说的对,且A的另一个值是115 B.淇淇说的不对,A就得65 C.嘉嘉求的结果不对,A应得50 D.两人都不对,A应有3个不同值 答案答案 A 若点A在弦BC的下方,此时A所对的弧所对的圆心角是360-130=230,根据圆周角定理得 A=115,故选A. 3.(2017福建,8,4分)如图,AB是O的直径,C,D是O上位
3、于AB异侧的点.下列四个角中,一定与ACD互 余的角是( ) A.ADC B.ABD C.BAC D.BAD 答案答案 D AB是O的直径,ADB=90, BAD+B=90,易知ACD=B,BAD+ACD=90,故选D. 4.(2016三明,8,4分)如图,AB是O的弦,半径OCAB于点D,若O的半径为5,AB=8,则CD的长是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案答案 A 因为AB是O的弦,OCAB于点D,所以AD=BD=4,在RtADO中,由勾股定理可得OD=3,所 以CD=OC-OD=5-3=2.故选A. 5.(2019北京,5,2分)已知锐角AOB. 如图. (1)在射线OA上取
4、一点C,以点O为圆心,OC长为半径作,交射线OB于点D,连接CD; (2)分别以点C,D为圆心,CD长为半径作弧,交于点M,N; (3)连接OM,MN. 根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是( ) A.COM=COD B.若OM=MN,则AOB=20 C.MNCD D.MN=3CD PQ PQ 答案答案 D 由题意可知=,COM=COD.选项A的结论正确.连接ON,则OM=ON,又OM =MN,OMN是等边三角形.MON=60,=,AOB=COM=DON=20.选项B的 结论正确.连接CN,由圆周角定理可得MNC=MOC,DCN=DON,COM=DON,MNC =DCN,MNCD.选
5、项C的结论正确. 连接MC、DN,通过观察可知MN0), 则AC=2a,AD=a, 连接DE,AE是O的直径,ADE=90, 由CAD=BAD,ACD=ADE=90, 得ACDADE,=,即=,a=r, 由(1)知,ODAC,=,即=, a=r,BD=r.(10分) 5 AD AE AC AD 5 2 a r 2 5 a a 4 5 BD BC OD AC BD BDa2 r a 4 5 4 3 思路分析思路分析 (1)连接OD,利用平行线的判定以及等腰三角形的性质证明ODAC,从而证明直线BC是圆O 的切线;(2)连接DE,由AE是圆O的直径可推出ADE=90,进一步可证ACDADE,再结合
6、(1)列等式 即可求出BD的长. 3.(2019北京,22,6分)在平面内,给定不在同一条直线上的点A,B,C,如图所示.点O到点A,B,C的距离均等于 a(a为常数),到点O的距离等于a的所有点组成图形G,ABC的平分线交图形G于点D,连接AD,CD. (1)求证:AD=CD; (2)过点D作DEBA,垂足为E,作DFBC,垂足为F,延长DF交图形G于点M,连接CM.若AD=CM,求直线 DE与图形G的公共点个数. 解析解析 (1)证明:由题意,可知图形G是以O为圆心,a为半径的圆,点A,B,C,D在O上. 连接OA,OC,OD,如图. BD平分ABC, ABD=CBD. ABD=AOD,
7、CBD=COD, AOD=COD. AD=CD. 1 2 1 2 (2)AD=CD,AD=CM, CD=CM. CDM=CMD. CMD=CBD, CDM=CBD. DMBC, DCB+CDM=90, DCB+CBD=90. BDC=90. BC为O的直径. 点O在BC上. OB=OD, OBD=ODB. ABD=ODB. ABOD. DEBE, ODDE, DE为O的切线. DE与O只有一个公共点,即直线DE与图形G的公共点个数为1. 4.(2019河北,25,10分)如图1和图2,ABCD中,AB=3,BC=15,tanDAB=.点P为AB延长线上一点,过点A 作O切CP于点P,设BP=x
8、. (1)如图1,x为何值时,圆心O落在AP上?若此时O交AD于点E,直接指出PE与BC的位置关系; (2)当x=4时,如图2,O与AC交于点Q,求CAP的度数,并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小; (3)当O与线段AD只有一个公共点时,直接写出x的取值范围. 图1 4 3 PQ 图2 解析解析 (1)O切CP于点P, OPPC,即CPB=90. 由四边形ABCD是平行四边形得ADBC, tanCBP=tanDAB=, 设PC=4k,BP=3k,则BC=5k, 5k=15,即k=3.PC=12,BP=9.x=9.(2分) PE与BC垂直.(3分) (2)如图,连接OP,OQ,作CKAB于点K
9、,OHAP于点H, 同(1)得CK=12,BK=9. 4 3 22 PCBP AK=AB+BK=12,CK=AK.CAP=ACK=45.(4分) BP=4,AP=7, HP=AP=. 又PK=BK-BP=5,PC=13. HOP=90-OPH=CPK, RtHOPRtKPC. =,即=,OP=.(6分) POQ=2PAQ=90,l=.(8分) l.(9分) (3)x18.(10分) 详解:由(1)和(2)可知,满足(3)的点O在AP下方.如图, 1 2 7 2 OP PC PH CK13 OP 7 2 12 91 24 PQ 91 48 91 48 PQ 当O与AD切于点A时,两者只有一个公共
10、点A,则OAD=OPC=90.由OA=OP得OAP=OPA, DAP=CBP=CPA, BC=PC.作CKAP于K,则BK=PK. 由(1)知,BP=2BK=18,即x=18. 当x18时,趋势上点O越来越向右下,与线段AD只有一个公共点A,符合题意.x的取值范围是x18. 思路分析思路分析 (1)根据切线的性质有OPPC,由ADBC可得tanCBP=tanDAB=,设PC=4k,BP=3k,根 据勾股定理可得BC=5k=15,解得k=3,即可求出x的值,根据圆的直径所对的圆周角AEP为直角及AD BC可得PE与BC垂直;(2)同(1)的方法可得CK=12,BK=9,进而得出CK=AK,CAP
11、=45,POQ=90,根据切 线的性质有OPPC,易得RtHOPRtKPC,可得=,进而求得OP的长,利用弧长公式求出劣弧 的长度,与弦AP的长度比较即可;(3)由上面两问可知满足此问的点O在AP的下方,显然当O与AD相 切于点A时,两者只有一个公共点A,此时DAP=CBP=CPA,BP=2BK=18,从而推出x的取值范围为x 18. 4 3 OP PC PH CK PQ 难点突破难点突破 本题是以圆心O在AP的上下方不断变化为背景的探究题,此类问题在图形发生变化时,要善 于从动态位置中寻找与x相关的等量关系.利用切线的性质求出x的值是解决问题的关键. A组 20182020年模拟基础题组 时
12、间:90分钟 分值:110分 一、选择题（每小题4分，共36分） 1.(2020厦门二检,8) 要判断命题“有两个角是直角的圆内接四边形是矩形”是假命题,下列图形可作为 反例的是( ) 答案答案 D 符合圆内接四边形定义的只有A和D,满足两个角是直角,但不是矩形的是D,故选D. 解后反思解后反思 本题考查命题的真假判断.正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关 键是要熟悉课本中的性质定理. 2.(2019厦门二检,6)命题:直角三角形的一条直角边与以另一条直角边为直径的圆相切.符合该命题的图 形是( ) 答案答案 C 根据直径的定义及切线的定义知,选项C中的图形符合要求,故选
13、C. 3.(2020南平一检,4)如图,点A,B,C在O上,BOC=60,则BAC的度数是( ) A.15 B.30 C.45 D.20 答案答案 B 由题图可得BOC和BAC分别是弧BC所对的圆心角和圆周角, BAC=BOC=60=30.故选B. 1 2 1 2 4.(2019莆田二检,9)如图,AB,AC均为O的切线,切点分别为B,C,点D是优弧BC上的一点,则下列关系式 中,一定成立的是( ) A.A+D=180 B.A+2D=180 C.B+C=270 D.B+2C=270 答案答案 B 连接OB、OC.由切线性质及四边形内角和为360,可得A+BOC=180.由同弧所对的圆心 角等于
14、圆周角的2倍,可得A+2D=180,故选B. 5.(2020南平一检,5)下列命题错误的是( ) A.经过三个点一定可以作圆 B.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 C.同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等 D.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 答案答案 A 当三个点在同一条直线上时,不能确定一个圆,A中命题错误,故选A. 6.(2020福州一检,7)如图,点D是线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点,若A=35,则D 的度数是( ) A.50 B.55 C.65 D.70 答案答案 D 如图,连接AD. 点D是线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点, AD=BD=
15、CD. 以D为圆心,AD长为半径作圆. BDC=2BAC=235=70, 故选D. 7.(2020福州一检,9)如图,五边形ABCDE内接于O,若CAD=35,则B+E的度数是( ) A.210 B.215 C.235 D.250 答案答案 B 在ACD中,CAD=35, ACD+ADC=180-35=145. 四边形ABCD和四边形ACDE为O的内接四边形, ADC+B=180,E+ACD=180, B+E=360-(ADC+ACD)=360-145=215. 故选B. 8.(2020龙岩二检,6)如图,AB是半圆的直径,O为圆心,C是半圆上的点,D是上的点,若BOC=52,则 D的大小为(
16、 ) A.104 B.114 C.116 D.128 AC 答案答案 C 如图,连接DO,设DOA=,DOC=, AO=DO, OAD=ODA=. OD=OC, ODC=OCD=. ADC=ADO+CDO =+=180-. 180 2 DOA180 2 180 2 COD180 2 180 2 180 2 360() 2 2 COB=52, COA=180-COB=180-52=128. COA=DOA+COD=+, +=128, ADC=180-=180-=180-64=116, 故选C. 2 128 2 9.(2020泉州二检,9)如图,AB切O于点B,OA与O相交于点C,AC=CO,点D
17、为上任意一点(不与点B、 C重合),则CDB等于( ) A.120 B.130 C.140 D.150 BC 答案答案 D 本题考查切线定理、圆周角与圆心角的关系,圆内接四边形的性质以及直角三角形的中线定 理. 连接BC.连接DO并延长,交圆于点E.连接BE,CE. AB切O于点B, OBA=90. AC=CO, BC=CO=OB, COB是等边三角形,即COB=60, CEB=COB=30. 1 2 CEB+CDB=180, CDB=150. 解题思路解题思路 看到切线,联想到切线定理.联想到圆的内接四边形的性质.关键只要求出COB的度数即可, 由直角三角形中线定理及圆中等腰三角形,便可求出
18、COB.再利用圆周角与圆心角的关系,以及圆内接 四边形的性质即可求得BDC. 二、填空题（每小题4分，共8分） 10.(2020宁德二检,15)如图,点A为O上一点,点P为AO延长线上一点,PB切O于点B,连接AB,若APB= 40,则A的度数为 . 答案答案 25 解析解析 连接OB. PB为O的切线, OBP=90, BOP=90-BPO=50, BAO=BOP=25. 1 2 11.(2018厦门二检,13)如图,已知AB是O的直径,C,D是圆上两点,CDB=45,AC=1,则AB的长为 . 答案答案 2 解析解析 CDB=45, CAB=CDB=45. AB是O的直径, ACB=90,
19、 ABC为等腰直角三角形, AB=AC=. 22 三、解答题（共66分） 12.(2020莆田二检,21)如图,AB是O的直径, D是的中点,弦DHAB于点E,交弦BC于点F,AD交BC于 点G,连接BD,求证:F是BG的中点. BC 证明证明 AB是O的直径,DHAB于点E, =. D是的中点, =, CBD=HDB, FB=FD.(3分) BH BD BC CD BH BD AB是O的直径, ADB=90, BGD+CBD=HDB+ADE=90, BGD=ADE,(6分) FG=FD, FB=FG,即F是BG的中点.(8分) 13.(2020福州二检,23)如图,在RtABC中,ACAB,
20、BAC=90,以AB为直径作O交BC于点D,E是AC的 中点,连接ED.点F在上,连接BF并延长交AC的延长线于点G. (1)求证:DE是O的切线; (2)连接AF,求的最大值. BD AF BG 解析解析 (1)证明:连接OD,AD. AB为O的直径,点D在O上, ADB=90,(1分) ADC=90. E是AC的中点, DE=AE, EAD=EDA.(2分) OA=OD, OAD=ODA.(3分) OAD+EAD=BAC=90, ODA+EDA=90, 即ODE=90,(4分) ODDE. 点D在O上, DE是O的切线.(5分) (2)解法一:过点F作FHAB于点H,连接OF, AHF=9
21、0. AB为O的直径,点F在O上, AFB=90, BAF+ABF=90. BAC=90, G+ABF=90, G=BAF.(6分) 又AHF=GAB=90, AFHGBA,(7分) =.(8分) ACAB, 上存在点F,使得FOAB,此时H,O重合, =, AF GB FH BA BD AF GB FH BA OF BA 1 2 即的最大值为.(10分) 解法二:取GB的中点M,连接AM. BAG=90, AM=GB.(6分) AB为O的直径,点F在O上, AFB=90, AFG=90, AF GB 1 2 1 2 AFGB.(7分) 由垂线段最短可得AFAM,(8分) 当且仅当点F,M重合
22、时等号成立, 此时AF垂直平分GB, 即AG=AB. ACAB, 上存在点F,使得F为GB的中点, AFGB,(9分) , 即的最大值为.(10分) BD 1 2 AF GB 1 2 AF GB 1 2 14.(2020厦门二检,24)在ABCD中,ABC是锐角,过A,B两点以r为半径作O. (1)如图1,对角线AC,BD交于点M,若AB=BC=2,且O过点M,求r的值; (2)O与边BC的延长线交于点E,DO的延长线交O于点F,连接DE,EF,AC.若CAD=45,的长为r, 当CE=AB时,求DEF的度数. (提示:可在备用图上补全示意图) AE 2 2 备用图 解析解析 (1)在ABCD
23、中,AB=BC=2, 四边形ABCD是菱形.(2分) ACBD. AMB=90.(4分) AB为O的直径.(5分) r=AB=1.(6分) (2)如图,连接AE,设圆心为点O,连接OA,OB,OC,OD,OE,直线OC与AD交于点N,则OA=OB=OE=r. 1 2 设AOE=n, 在O中,的长=. 的长=r, n=90,即AOE=90.(7分) AE 180 n r AE 2 =, ABE=AOE=45. 在ABCD中,ADBC, ACB=DAC=45. ABE=ACB=45. BAC=90,AB=AC. 在RtABC中,BC=AB.(8分) CE=AB, BC=CE. 又OB=OE, OC
24、BE.(9分) OCB=90. ADBC, AE AE 1 2 22 ABAC2 2 OCB=ONA=90. OCAD. 在ABCD中,ADC=ABC=45, AC=CD, AN=ND, 即直线OC垂直平分AD. OA=OD. 点D在O上,(11分) DF为O的直径. DEF=90.(12分) 15.(2020厦门一检,20)如图,在ABC中,AB=AC. (1)若以点A为圆心的圆与边BC相切于点D,请在图中作出点D;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,若该圆与边AC相交于点E,连接DE,当BAC=100时,求AED的度数. 解析解析 (1)解法一(作线段BC的
25、垂直平分线): 点D即为所求作的点.(3分) 解法二(作线段BC的垂线): 点D即为所求作的点.(3分) 解法三(作BAC的平分线): 点D即为所求作的点.(3分) (2)(对应(1)中的解法三): 由(1)得DAC=BAC=50.(4分) 在A中,AD=AE, ADE=AED.(5分) AED=(180-DAC)=65.(8分) 1 2 1 2 16.(2019福州二检,20)如图,在RtABC中,ACB=90,BD平分ABC.求作O,使得点O在边AB上,且 O经过B,D两点,并证明AC与O相切.(要求尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) 解析解析 如图,O是所求作的圆.(3分) 证明:连接O
26、D. BD平分ABC, CBD=ABD.(5分) OB=OD, OBD=ODB, CBD=ODB,(6分) ODBC, ODA=ACB. 又ACB=90, ODA=90,即ODAC.(7分) 又OD为O的半径, AC与O相切.(8分) 17.(2019莆田二检,22)如图,在O中,弦ACBD于点E,连接AB,CD,BC. (1)求证:AOB+COD=180; (2)若AB=8,CD=6,求O的直径. 解析解析 (1)证明:ACBD, BEC=90, CBD+BCA=90.(2分) AOB=2BCA,COD=2CBD, AOB+COD=2(CBD+BCA)=180.(4分) (2)如图,延长BO
27、交O于点F,连接AF, 则AOB+AOF=180.(5分) 又由(1)知AOB+COD=180, AOF=COD, 在AOF与COD中, AOFCOD. AF=CD=6.(8分) 又BF为O的直径, BAF=90,在RtABF中,BF= =10, O的直径为10.(10分) , , , AOOC AOFCOD OFOD 22 68 18.(2019漳州二检,23)如图,AB是O的直径,AC为O的弦,ODAB,OD与AC的延长线交于点D,点E在 OD上,且ECD=B. (1)求证:CE是O的切线; (2)若OA=3,AC=2,求线段CD的长. 解析解析 (1)证明:如图,连接OC. AB是O的直
28、径, ACB=90,即ACO+BCO=90.(2分) OB=OC, B=BCO, ACO+B=90. ECD=B, ECD+ACO=90,OCE=90, 又OC为O的半径,CE是O的切线.(4分) (2)解法一:OA=3, AB=6.(6分) ODAB,ACB=90, AOD=ACB=90, 又A是ABC与ADO的公共角, ABCADO, =,(8分) =,(9分) CD=7.(10分) 解法二:OA=3, AB=6.(6分) AD AB AO AC 2 6 CD 3 2 AB是O的直径,BCA=90,又AC=2, cosA=.(7分) ODAB, cosA=,(8分) =, CD=7.(10
29、分) AC AB 2 6 1 3 OA AD 3 2CD 3 2CD 1 3 B组 20182020年模拟提升题组 时间:120分钟 分值:175分 一、填空题（每小题4分，共20分） 1.(2020福州二检,15)如图,在O中,C是的中点,作点C关于弦AB的对称点D,连接AD并延长,交O于 点E,过点B作BFAE于点F,若BAE=2EBF,则EBF等于 度. AB 答案答案 18 解析解析 如图所示,连接BD,AC,BC, 易得BDA=BCA,BAD=DBA, 四边形ACBE为圆内接四边形, ACB+AEB=180. ADB+BDE=180, AEB=EDB, DBE为等腰三角形, BFAE
30、, EBF=DBF=EAB, 1 2 BFA=90, ABF=90-BAF=90-ABD=90-ABF, 解得ABF=54, EBF=ABF=18. 2 3 1 3 2.(2019莆田二检,15)尺规作图特有的魅力使无数人沉浸其中.传说拿破仑曾通过下列尺规作图将圆等 分: 将半径为r的O六等分,依次得到A,B,C,D,E,F六个分点; 分别以点A,D为圆心,AC长为半径画弧,两弧相交于点G; 连接OG,以OG长为半径,从点A开始,在圆周上依次截取,刚好将圆等分.顺次连接这些等分点,构成的 多边形的面积为 . 答案答案 2r2 解析解析 由题意,可通过尺规作图,得出刚好将圆四等分,故S正方形=(
31、r)2=2r2. 2 3.(2019福州二检,15)在平面直角坐标系中,以原点为圆心,5为半径的O与直线y=kx+2k+3(k0)交于A,B 两点,则弦AB长的最小值是 . 答案答案 4 3 解析解析 y=kx+2k+3=k(x+2)+3, 当x=-2时,y=3,故直线y=kx+2k+3恒过点(-2,3),设该点为D点,则OD=. 易知过圆内定点D的所有弦中,与OD垂直的弦最短,如图所示, 在RtAOD中,OA=5,OD=, AD=2, AB=2AD=4. 22 2313 13 22 OAOD25 133 3 4.(2019南平适应性检测,16)在RtABC中,ACB=90,AC=5,BC=1
32、2,点D在边AB上,以AD为直径的圆,与 边BC有公共点E,则AD的最小值是 . 答案答案 65 9 解析解析 当O与BC边相切时,AD最小,如图所示, 易知OEBC,AD=2OE. 设OE=R,则AO=OE=R. ACB=OEB=90, B=B, BOEBAC,=, 在RtABC中,AB=13, OE AC OB AB 22 ACBC =,解得R=. AD=2R=. 5 R13 13 R65 18 65 9 5.(2020南平一检,16)如图,ABO为等边三角形,OA=4,动点C在以点O为圆心,OA为半径的O上,点D为 BC的中点,连接AD,则线段AD的长的最小值为 . 答案答案 2-2 3
33、 解析解析 如图1,取OB的中点E,连接OE,在OBC中,DE是OBC的中位线,DE=OC=2,即点D是在以E 为圆心,2为半径的圆上,求AD的最小值就是求点A与E上的点的距离的最小值, 如图2,当D在线段AE上时,AD取得最小值,为2-2. 1 2 3 解题技巧解题技巧 要先分析出点D的运动轨迹是圆,再通过圆的特点分析得到AD的最小值. 二、解答题（共155分） 6.(2020三明二检,24)如图,在ABC中,ACB=90,AC=3,BC=1,点D是斜边上一点,且AD=4BD. (1)求tanBCD的值; (2)过点B的O与边AC相切,切点为AC的中点E,O与直线BC的另一个交点为F. 求O
34、的半径; 连接AF,试探究AF与CD的位置关系,并说明理由. 解析解析 (1)解法一:如图,过 D作DMBC,垂足为点M.(1分) ACB=90, DMAC. DMBACB.(2分) AD=4BD,AC=3,BC=1, DM=AC=,CM=BC=, 在RtDMC中,tanDCM=, 即tanBCD=.(4分) 解法二:过B作BNBC,交CD的延长线于点N.(1分) 1 5 3 5 4 5 4 5 DM CM 3 4 3 4 ACB=90, BNAC. DNBDCA.(2分) AD=4BD,AC=3, BN=AC=. 在RtNBC中,tanNCB=. 即tanBCD=.(4分) (2)如图,连接
35、OE,OF. 1 4 3 4 BN BC 3 4 3 4 O与AC相切于AC的中点E, OEAC.(5分) 作OHBF,垂足为H,ACB=90, 四边形OHCE为矩形.(6分) 设O的半径为r,则OF=OE=CH=r. OH=CE=AC=,HF=BH=CH-BC=r-1. 1 2 3 2 在RtOHF中,OF2=OH2+HF2. r2=+(r-1)2, 解得r=.(8分) AFCD.(9分) 理由如下: 解法一:如图,延长CD,交AF于点K, 2 3 2 13 8 由知,CF=BC+BF=1+2(r-1)=, 在RtACF中,ACB=90,tanCAF=.(10分) tanBCD=. CAF=
36、BCD,即CAF=FCK.(11分) 9 4 CF AC 3 4 3 4 CAF+F=90, FCK+F=90.CKF=90, 即AFCD.(12分) 解法二:如图,过B作BNBC,交CK于N, BC=1,AC=3,BN=, 3 4 由知,CF=BC+BF=1+2(r-1)=,(10分) =3,=3,即=, ACF=CBN=90, ACFCBN,(11分) CAF=FCK, CAF+F=90, FCK+F=90,CKF=90, 即AFCD.(12分) 9 4 CF BN AC BC CF BN AC BC 7.(2020漳州二检,24)如图,在正方形ABCD中,AB=4,点E在对角线BD上,A
37、BE的外接圆交BC于点F.连接 AF,交BD于点G. (1)求证:AF=AE; (2)若FH是该圆的切线,交线段CD于点H,且FH=FG,求BF的长. 2 解析解析 (1)证法一:连接EF. 四边形ABCD是正方形, 1=2=45.(1分) 3=1=45,4=2=45, AEF=90, AEF是等腰直角三角形. 在RtAEF中,sin3=sin 45=.(4分) AF=AE.(5分) 证法二:连接EF. 四边形ABCD是正方形, ABF=90,1=2=45,(1分) AF是圆的直径,(2分) AEF=90. 3=1=45, AE AF 2 2 2 AEF是等腰直角三角形, AE=EF.(4分)
38、 AE2+EF2=AF2, AF2=2AE2, AF=AE.(5分) (2)在正方形ABCD中,ADBC,(6分) ADGFBG, =.(7分) 2 AD BF AG FG =-1,即=+1. FH是圆的切线, AFH=90.(8分) 5+6=90. 5+7=90, 6=7. ABF=C=90, ABFFCH. =.(9分) FH=FG,AB=AD, =.(10分) AD BF AF FG AF FG AD BF AB FC AF FH AD FC AF FG =+1. 设BF=x,则CF=4-x, =+1.(11分) 解得x1=2-2,x2=-2-2(不合题意,舍去). BF=2-2.(12
39、分) AD FC AD BF 4 4x 4 x 55 5 解后反思解后反思 本题以圆和正方形作为载体,第一问考查圆的有关性质,重点考查了角与角之间的转化,从而 得到边的关系,属于中考常考题型;第二问考查切线的性质,直角三角形边角关系,勾股定理,等腰三角形 的性质.通过连接EF,将题目要求的两条线段转化到同一个直角三角形中,通过勾股定理或者三角函数得 到相等关系,体现了转化和方程思想;第二问通过一线三等角模型结合相似得到相等关系,体现了模型思 想. 8.(2020南平二检,24)在锐角ABC中,AB=AC,以AB为直径的O分别交边BC,AC于点D,E,AFDE于 点F. (1)求证:EDC=2C
40、AF; (2)若AB=BC,判断直线AF与O的位置关系,并说明理由; (3)若cosADE=,求的值. 24 25 AB BC 解析解析 (1) 证明:四边形ABDE是O的内接四边形, BDE+BAC=180. BDE+EDC=180, BAC=EDC, 同理,AEF=B.(1分) AB是O的直径, ADB=90, B+BAD=90,ADBC. AB=AC, BAC=2BAD.(2分) AFDE, AFD=90, AEF+EAF=90, BAD=EAF,(3分) BAC=2EAF, EDC=2CAF.(4分) (2)直线AF与相切.(5分) 理由:AB=AC,AB=BC, ABC是等边三角形.
41、 BAC=60.(6分) 由(1)得EAF=BAD=30. BAF=BAC+EAF=90,(7分) BAAF, AB是O的直径, 直线AF与O相切.(8分) (3)连接BE. AB是O的直径, AEB=90,(9分) 在O中, =, ADE=ABE,(10分) cosADE=cosABE=, 设BE=24k,则AB=AC=25k, 在RtABE中, AE AE BE AB 24 25 AE=7k, EC=18k, 在RtBCE中, BC=30k,(11分) =.(12分) 22 ABBE 22 (25 )(24 )kk 22 CEBE 22 (18 )(24 )kk AB BC 25 30 k
42、 k 5 6 9.(2020龙岩二检,25)如图,在半径为5的O中,AB是直径,点D是的中点,连接AD,交BC于点H,弦DE AB于点G,交BC于点F,过E的切线EP交AB的延长线于点P,BG=2. (1)求DE的长; (2)连接OF,求证:OFAD; (3)当点M在上运动时,连接GM,PM,求的值. BC DBE GM PM 解析解析 (1)在RtOGE中, OG=OB-BG=5-2=3, 由勾股定理得GE=4, DEAB, DE=2GE=8.(3分) (2)证法一:如图,连接OD,交BC于点N, 点D是的中点, BNO=90.(4分) DEAB, 22 OEOG 22 53 BC DGO=
43、BNO=90. 又DOG=BON,OD=OB, DGOBNO, ON=OG=3, BN=4,(5分) 在BGF和BNO中, BGF=BNO,FBG=OBN, BGFBNO, =, =,即FG=, 由(1)得DG=4, =, 22 OBON 22 53 FG BG ON BN 2 FG3 4 3 2 FG DG 3 8 =, =,(7分) FGO=DGA, FGODGA, FOG=DAG, OFAD.(8分) 证法二:连接BD.(4分) DEAB, OG AG 3 8 FG DG OG AG =. 点D是的中点, =, DBF=BDF, FB=FD.(6分) AB是直径, ADB=90, DBF
44、+DHB=BDF+FDH=90, FDH=FHD, FH=FD=FB.(7分) AO=BO,OF是BAH的中位线, OFAD.(8分) (3)PE与O相切于E, OEP=90,即OEP=OGE. BD BE BC CD BD BE EOG=POE, OEGOPE, =,即=,得OP=.(10分) 分三种情况讨论. 当点M与点B重合时, GM=GB=2,PM=PB=OP-OB=, =2=.(11分) 当点M在上时,如图,连接OM, OG OE OE OP 3 5 5 OP 25 3 10 3 GM PM 10 3 3 5 BE =,又OM=OE, =. GOM=MOP, GOMMOP, =.(1
45、3分) 当点M在上时,同. OG OE OE OP OG OM OM OP GM PM OG OM OG OE 3 5 BD 综上所述,=.(14分) GM PM 3 5 10.(2018泉州石狮二检,23)如图,AB是O的直径,点C是O上一点,点D是OB的中点,过点D作AB的垂线 交AC的延长线于点F,过点C作O的切线交FD于点E. (1)求证:CE=EF; (2)如果sinF=,EF=5,求AB的长. 3 5 解析解析 (1)证明:如图,连接OC. CE切O于点C,OCCE.(2分) 1+2=90. FDAB,A+F=90. 又OC=OA,A=1.(3分) 2=F. CE=EF.(4分)
46、(2)FDAB,sinF=, 设AD=3k,AF=5k,可得FD=4k.(5分) D为OB的中点,DB=k,AB=4k.(6分) 连接CB交FD于点G. AB为O的直径,ACB=FCB=90. F=B. FDA=GDB=90, FADBGD,(7分) =,即=,解得DG=k, 可得FG=k.(8分) FCB=90,4+F=2+3. F=2,3=4. 3 5 AD DG FD DB 3k DG 4k k 3 4 13 4 CE=EF=EG.(9分) EF=5,FG=10. =10,k=,AB=4k=.(10分) 13 4 k40 13 160 13 11.(2019福州一检,24)如图,AB,A
47、C是O的弦,过点C作CEAB于点D,交O于点E,过点B作BFAC于 点F,交CE于点G,连接BE. (1)求证:BE=BG; (2)过点B作BHAB,交O于点H,若BE的长等于半径长,BH=4,AC=2,求CE的长. 7 解析解析 (1)证明:=, BAC=BEC.(1分) BFAC于点F,CEAB于点D, BFA=BDG=BDE=90.(2分) ABF=ABE.(3分) BGD=BEC(等角的余角相等).(4分) BE=BG.(5分) (2)连接OB,OE,AE,CH. BHAB, BC BC ABH=90=BDE, BHCD,(6分) 又ACH+ABH=180, ACH=90=AFB,BFCH, 四边形BGCH是平行四边形.(7分) CG=BH=4. BE=OB=OE, OBE是等边三角形, BOE=60.(8分) =,BAE=BOE=30. ADE=90, DE=AE.(9分) 设DE=x,则AE=2x, BE BE 1 2 1 2 BE=BG,ABCD, DG=DE=x, CD=x+4. 在RtADE中,AD=x. 在RtADC中,AD2+CD2=
