1、3.2.1单调性不最大（小）值2 1 1、函数单调性的定义、函数单调性的定义 设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为I，区间，区间D I, x1, x2D, 且且x1x2 (1)f(x1)f(x2),那么就说函数那么就说函数f(x)在区间在区间D上是上是单调递减单调递减,D称单调减区间称单调减区间 特别地特别地,函数函数f(x)在它的在它的定义域上单调递增定义域上单调递增时时,我们称它是我们称它是增函数增函数； 函数函数f(x)在它的在它的定义域上单调递减定义域上单调递减时时,我们称它是我们称它是减函数减函数. 2 2、判断函数单调性的方法、判断函数单调性的方法 （1 1）图象法）图象法:
2、:看图象从左向右是上升还是下降看图象从左向右是上升还是下降 （2 2）用定义证明函数单调性的步骤）用定义证明函数单调性的步骤: : 取值取值 作差变形定号结论作差变形定号结论 温故知新温故知新 f(x)=x - -3x- -1 x y 3 2 1123 1 2 3 1 2 3 O 观察下列函数的图象，找出函数图象上的最高点或者最低点的坐标。观察下列函数的图象，找出函数图象上的最高点或者最低点的坐标。 新课引入新课引入 x y 112 1 2 3 1 2 3 O f(x)=2x- -1 x-1,1 如何使用函数的解析如何使用函数的解析 式和式和+ +数学语言刻画数学语言刻画 函数图象的最低点和函
3、数图象的最低点和 最高点？即如何用最高点？即如何用 “数数”刻画刻画“形形”？ 4 13 - 2 3 ， (0,0) (-1,-3) (1,1) (0,0) 最大值的“形”的定义：最大值的“形”的定义：当一个函数当一个函数f(x)的的 图象有最低点时，我们就说这个函数有最小图象有最低点时，我们就说这个函数有最小 值值.当函数图象没有最低点时我们说这个函当函数图象没有最低点时我们说这个函 数没有最小值数没有最小值. 函数图象最高点的数的刻画：函数图象最高点的数的刻画：函数图象在最低函数图象在最低 点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值. . 对于函数对于
4、函数f(x)=-x 而言，函数定义域中任意的而言，函数定义域中任意的x， 都有都有f(x)f(0)，即，即f(0)是函数的最大值是函数的最大值. . 新课讲授新课讲授 最值 条件(I是函数f(x)的定义域) 几何意义 最大值 最小值 函数最大函数最大( (小小) )值的定义值的定义 对于任意xI，都有f(x)M 存在x0I，使得f(x0)M 函数yf(x)图象上 最高点的纵坐标 对于任意xI，都有f(x)M 存在x0I，使得f(x0)M 函数yf(x)图象上 最低点的纵坐标 图象法求函数的最值图象法求函数的最值 例题讲解例题讲解 1.已知图像求最值已知图像求最值函数函数f(x)在区间在区间-2
5、,5上的图像如图所示，则此上的图像如图所示，则此 函数的最小值、最大值分别为函数的最小值、最大值分别为( ) A.-2, f(2) B.2, f(2) C.-2, f(5) D.2, f(5) x y 1 2 3 1 2 1234512 o .)( , 1, 1 , 11, )( 2 的最大值、最小值求已知函数xf x x xx xf 变式：变式：作函数图像求最值作函数图像求最值 例4.“菊花”烟花是最壮观的烟花乊一.制造时一般 是期望它在达到最高点爆裂.如果烟花离地面的高 度h(单位：m)不时间t(单位：s)乊间的关系为 h(t)=-4.9t2+14.7t+18 ,那么烟花冲出后什么时刻爆裂
6、 是最佳时刻？这时离地面的高度是多少(精确到1 m)？ 例题讲解例题讲解 分析：烟花的高度是时间的二次函数，根据题意就是求出这个二 次函数在什么时刻达到最大值，以及这个最大值是多少. x y 5 10 15 20 25 30 1234 o 显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就 是烟花爆裂的最佳时刻,顶点的纵坐标就是距地面的高度.根据 二次函数的知识,对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18我们有： 解：画出这个函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18 2 14.7 1.5 2 ( 4.9) 4 ( 4.9) 18 14.7 29. 4 ( 4.9) t h 当当
7、时时，函函数数有有最最大大值值 于是，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此时距底面的高度约为29m. (或者h(t)=-4.9(1.5)2+14.71.5+1829) 变式：求下列函数的最值 (1)f(x)=x2-2x (2)f(x)=x2-2x(x-1,2 ) (3)f(x)=x2-2x(x2,4 ) (4)f(x)=x2-2x(x-2,0 ) x y y = x2 2x 1 2 3 4 1 12341 o x y y = x2 2x 1 2 3 4 1 12341 o x y y = x2 2x 1 2 3 4 5 6 7 8 1234 ox y y = x2 2x 1 2 3 4 5
8、6 7 8 1234 o 例5.已知函数 ，求这个函数的最大值和最小值。 2 ( )(2,6) 1 f xx x 【分析】这个函数在区间2,6上，显然 解析式的分母是正值且随着自变量的增大 而增大，因此函数值随着自变量的增大而 减少，也就是说这个函数在区间2，6上 单调递减，因此这个函数在定义的左端点 上取得最大值，右端点取最小值. 例题讲解例题讲解 x y y = 2 x 1 1 2 3 123456o 解：设x1,x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2 12 12 2121 1212 22 ()() 11 2(1)(1)2() . (1)(1)(1)(1) f xf x xx xxx
9、x xxxx 则则 122112 26,0,(1 (1)0,xxxxxx由由得得） 1212 ( )()0,( )().f xf xf xf x于于是是即即 所以，函数 是区间2,6上单调递减. 2 ( )(2,6) 1 f xx x 因此，函数的最大值是f(2)=2，最小值是f(6)=0.4. (1)若函数yf(x)在区间a，b上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a). (2)若函数yf(x)在区间a，b上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b). (3)若函数yf(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的 最值中决定出最大(小)值.函数的
10、最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值. (4)如果函数定义域为开区间，则丌但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考 虑端点处的函数值或者发展趋势. 规律总结规律总结 函数的最值与单调性函数的最值与单调性 随堂练习随堂练习 课本课本P81 3 课堂小结课堂小结 最值 条件(I是函数f(x)的定义域) 几何意义 最大值 对于任意xI，都有f(x)M 存在x0I，使得f(x0)M 函数yf(x)图象上 最高点的纵坐标 最小值 对于任意xI，都有f(x)M存 在x0I，使得f(x0)M 函数yf(x)图象上 最低点的纵坐标 函数最大函数最大( (小小) )值的定义值的定义 函数的单调性不最值 (1)若函数yf(x)在区间a，b上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a). (2)若函数yf(x)在区间a，b上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b). 课后作业课后作业 练习册练习册P49 3 谢谢
