1、3.2.1单调性不最大（小）值1 函数是描述事物运动变化规律的数学模型。 如果了解了函数的变化规律，那么也就基本把 握了相应事物的规律。 变化中的不变性、变化中的不变性、 规律性就是性质规律性就是性质 观察下列各个函数的图象观察下列各个函数的图象,你能说说它们分别反映了相应你能说说它们分别反映了相应 函数的哪些变化规律？函数的哪些变化规律？请同学们畅所欲言。请同学们畅所欲言。 在上面的函数图象中在上面的函数图象中,有的图象由左至右是上升的有的图象由左至右是上升的;有的有的 图象是下降的图象是下降的;还有的图象有的部分是下降的还有的图象有的部分是下降的,有的部分是上有的部分是上 升的升的. 函数
2、图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本 性质性质单调性单调性. 如何描述函数图象的“上升”“下降”呢如何描述函数图象的“上升”“下降”呢? 以二次函数以二次函数f(x)=x2 为例为例, 列出列出x,y的对应值表的对应值表: x f(x)=x2 图象在图象在y轴左侧轴左侧“下降”, 也就是也就是,随着随着x的的增大,相应的相应的f(x)反而随着反而随着减小减小; 在区间在区间(-,0的图象上任取两点，横坐标分别为的图象上任取两点，横坐标分别为x1， x2，且，且x1 f(x2) 思考：思考：你能从代数角度说明为什么你能从代数角度说明为什么f(x
3、1) f(x2)吗？吗？ -4 -3 -2 -1 0 16 9 4 1 0 x1x2-x20, (-x1)2(-x2)2，即，即x12x22 x y o f(x)=x2 以二次函数以二次函数f(x)=x2 为例为例, 列出列出x,y的对应值表的对应值表: x f(x)=x2 在区间在区间0,+的图象上任取两点的图象上任取两点,横坐标分别为横坐标分别为x1,x2, 且且x1x2,看相应的看相应的f(x1)、f(x2) 大小如何？大小如何？ x1 x2 f(x1) f(x 2) f(x1) f(x2) 思考：你能从代数角度说明为什么思考：你能从代数角度说明为什么f(x1) x20,x12x22 x
4、 y o f(x)=x2 思考：函数y=|x|，y=-x2各有怎样的单调性？ y=|x| y=-x2 函数单调性的概念： 增函数增函数 减函数减函数 定 义 图象 几何 特征 区间 设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为I，区间，区间D I, x1, x2D,且且x1x2 f(x1)f(x2),那么就说函数那么就说函数 f(x)在区间在区间D单调递减单调递减 x y y = f(x) x2x1 O f(x1) f(x2) 区间区间D称为称为f(x)的的单调增区间单调增区间 区间区间D称为称为f(x)的的单调减区间单调减区间 自左向右看图象是自左向右看图象是上升上升的的 自左向右看图象是自左向
5、右看图象是下降下降的的 单调区间单调区间 增函数：函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数； 减函数：函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数. 设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且 x1 ，x2 A，当 x1x2 时都有f(x1)f(x2),我们能说 函数f(x)在区间D上单调递增吗？ 你能举例说明吗？ 解：解：不能不能. .如如 1 f x x x y O 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出 在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在 定义
6、域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调 递减的函数例子吗？递减的函数例子吗？ x y 112 1 2 3 1 2 3 O f(x)=2x- -1 f(x)=x - -3x- -1 x y 3 2 1123 1 2 3 1 2 3 O 强调：对函数单调性的理解 1.定义中的 x1 ，x2 是指任意的，即丌可用两个特殊值代替， 且通常规定x1 x2 。 2.对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增 减的变化，所以丌存在单调性问题.因此在写单调区间时，可 以包括区间端点，也可以丌包括区间端点，但当函数在区间端 点处无定义时，单调区间就
7、丌能包括这些点。 3.一个函数出现两个戒两个以上的单调区间时，丌能用“” 而应该用“和”戒“，”来连接。 例例1：根据定义，研究函数：根据定义，研究函数f (x)=kx +b(k0)的单调性。的单调性。 证明：证明：函数函数f (x)=kx +b（k0）的定义域是）的定义域是R。 则则f(x1)-f(x2)=(kx1+b)-(kx2+b) =k(x1- x2) 由由x1x2 ，得，得 x1- x2 0,所以所以 当当k0 ， 于是于是f(x1)-f(x2) 0，即，即f(x1) f(x2) 这时，这时， f (x)=kx +b是减函数。是减函数。 当当k0时，时，k(x1- x2)0 ， 于是
8、于是f(x1)-f(x2) 0，即即f(x1)f(x2) 这时，这时， f (x)=kx +b是增函数。是增函数。 变形 定号 作差 结论 取值 x1, x2R,且且x10 k0 a0 k0 例3 根据定义证明函数 在区间(1,+)上单调递增. 1 f xx x 证 明: 1212 1，xxx x 由得 1212 110，x x x x所以- 1212 0，x xxx 又由得- 12 12 12 10， xx x x x x 于是 12 ，y y即 所以，函数 在区间(1,+)上单调递增. 1 f xx x x y O 对勾函数：增区间是(- - ,- -1),(1,+)； 减区间是(- -1,0),(0,1). 1 1、增函数与减函数的定义、增函数与减函数的定义 2 2、判断函数单调性的方法、判断函数单调性的方法 （1 1）图象法）图象法: : 看图象从左向右是上升还是下降看图象从左向右是上升还是下降 （2 2）用定义证明函数单调性的步骤）用定义证明函数单调性的步骤: : 取值取值 作差变形定号结论作差变形定号结论 P86 3 谢谢
