1、2.2 基本不等式基本不等式 第一课时第一课时 重要不等式：a2b22ab 基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于几何平均数 创设情境创设情境 如果a0，b0，用 代替a，b，得到： ab， 2 ab ab 当且仅当ab时取等号 几何平均数 代数平均数 基本不等式基本不等式 证明：要证明 ， 2 ab ab 只需证明 ， 2abab 所以原不等式成立 只需证 ， 20abab 只要证 2 ()0ab ， 而 显然成立 2 ()0ab 过程：执果索因 分析法 新知探究新知探究 解：半径OD为 ， 2 ab 可得弦DE长的一半CD为 ， ab 由CDOD，得到 2 ab ab 几何解释几何解释
2、新知探究新知探究 问题1 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，ACa，BC b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD 你能利用这 个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 解：因为x0，所以 ， 11 22xx xx 1 x x 即x21，x1时，等号成立 因此最小值为2 当且仅当 时， 1 x x 新知探究新知探究 例1 已知x0，求 的最小值 变式：（1）已知x2，求 的最小值； 1 x x （2） 有最小值吗？为什么？ 1 x x 新知探究新知探究 反思：结合函数的图象及例1的解答，你能总结什么条件的代数式可 以用基本不等式求最值？需要注意什么？ x y 1 fxx x O 总结：
3、1若代数式能转化为两个正数 积为定值，可以利用基本不等式求和的 最小值； 2若代数式能转化为两个正数和为定 值，可以利用基本不等式求积的最大 值 新知探究新知探究 反思：结合函数的图象及例1的解答，你能总结什么条件的代数式可 以用基本不等式求最值？需要注意什么？ x y 1 fxx x O 注意：在利用基本不等式求最值时，应 注意“一正，二定，三相等”的条件 新知探究新知探究 （1）如果积xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值 ； （2）如果和xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值 2 1 4 S 2 P 证明：因为x，y是正数，所以 2 xy xy 当且仅当xy时等号成立， （1
4、）当积为定值P时， ， 2xyP 于是，当xy时，xy有最小值 2 P 新知探究新知探究 例2 已知x，y都是正数，求证： 证明：因为x，y是正数，所以 2 xy xy 当且仅当xy时等号成立， （2）当和为定值S时， ， 2 S xy 于是，当xy时， xy有最大值 2 1 4 S 新知探究新知探究 （1）如果积xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值 ； （2）如果和xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值 2 1 4 S 2 P 例2 已知x，y都是正数，求证： 归纳小结归纳小结 （2）基本不等式的代数特征是什么？如何从几何图形上进行解释？ （3）基本不等式可以解决哪两类数学问题
5、？使用的条件是什么？应注 意什么？ 问题2 （1）什么是基本不等式？如何推导基本不等式？ 作业：作业：习题2.2第1，2，4，5题 作业布置作业布置 目标检测目标检测 2 () 2 ab ab 只要把式子倒过来，就可以推出原不等式成立 即 ， 22 42ababab 即 ， 22 20abab 即需证 ， 2 ()0ab而 显然成立， 2 ()0ab 已知a，bR，求证 1 证明：要证明 ，只需证明 ， 2 () 2 ab ab 22 2 4 abab ab 目标检测目标检测 1 2x x （2）已知0 x1，求x（1x）的最大值及相应的x值 当且仅当 ，即 时，等号成立 1 2x x 2 2
6、 x 所以 的最小值为 ，这时 1 2x x 2 2 2 2 x （1）已知x0，求 的最小值及相应的x值 2 解： （1） x0， ， 11 22 22 2xx xx 目标检测目标检测 由 2 11 (1)() 24 xx xx 当且仅当1xx，即 时取等号 1 2 x 1 2x x （2）已知0 x1，求x（1x）的最大值及相应的x值 （1）已知x0，求 的最小值及相应的x值 2 解： （2）0 x1，1x0， 目标检测目标检测 （1） ； （2） 2 xy yx 2xy xy xy 又由于xy，所以等号取不到 ， 22 xyxy yxyx 2 xy yx 已知x，y都是正数，且xy，求证
7、： 3 证明：（1）x，y都是正数， 目标检测目标检测 又由于xy，所以等号取不到 ， 22xyxy 20 xyxy 两边同乘 ，得 xy xy 2xy xy xy （1） ； （2） 2 xy yx 2xy xy xy 已知x，y都是正数，且xy，求证： 3 证明：（2）x，y都是正数， 目标检测目标检测 当两条直角边的长度各为10 cm时， 两条直角边的和最小，最小值为20 则由已知得 50，即ab100， 2 ab ，当且仅当ab10时取等号 220abab 已知直角三角形的面积等于50 cm2，当两条直角边的长度各为多少时， 两条直角边的和最小？最小值是多少？ 4 解：设直角三角形两边为a，b ， 1 再见再见
