1、 5.5.2 简单的三角恒等变换（第三课时）简单的三角恒等变换（第三课时） 教学设计教学设计 教学目标教学目标 通过例题， 回顾本节学习过的公式及常用的数学思想方法， 并用于解决简单的三角变换 问题，发展学生逻辑推理与数学运算素养 教学重难点教学重难点 教学重点：教学重点：体会三角函数公式之间的内在联系，并运用公式解决三角恒等变换问题 教学难点：教学难点：解决一些三角恒等变换的问题 课前准备课前准备 PPT 课件 教学过程教学过程 （一）归纳小结（一）归纳小结 问题问题 1：两角差的余弦公式C(-)不仅是和（差）角公式的基础，也可以看成是诱导公 式的一般化你能画一张本章公式的“逻辑图”吗？推导
2、这些公式的过程中用到了哪些数学 思想方法？ 师生活动：师生活动：学生思考并回答 预设答案：预设答案： 和（差）角公式、二倍角公式推导过程图： 和(差)角公式与诱导公式的关系图： 推导这些公式的过程中用到了特殊与一般、转化与化归的数学思想方法 设计意图：设计意图：回顾反思，让学生们再次感悟公式 () C 的重要性 例例 1 用, 的正弦、余弦值表示sin() 追问：追问： 请你观察例 1 中给出的问题， 你能发现已知量与待求量之间的差异吗？能不能借 助目前我们已经掌握的公式逐步消除或削弱这些差异？ 预设的回答： 变换对象中含有三个任意角， 但如果把其中两个角的和或差看作一个整体， 则可转化为两个
3、角和或差的形式，可借助和角、差角公式变换求解 设计意图设计意图：通过“差异”引导学生，鼓励他们设计变换过程，同时巩固复习本节学习的 C(-) cos(2k+)=cos -=2k，kZ cos(+)=-cos -= cos(-)=cos =0 cos(-)=-cos = cos( 2 -)=sin = 2 cos( 2 +)=-sin -= 2 C(-) C(+) C2 换 成 - 换成 S(-) S(+) S2 换 成 - 换成 T(-) T(+) T2 换成 和角、差角公式并回顾推导这些公式时用到的数学思想方法，渗透整体意识、化归思想、换 元法等，提升学生逻辑推理与数学运算素养 解：sin(
4、)sin() sin()coscos()sin sincoscoscossincoscoscossinsinsinsin 教师讲解：以上运算可以看出，只要掌握和角公式、差角公式，我们可以推出三个、四 个甚至更多个任意角的和或差的正弦、余弦公式，它们的推导并不复杂但是形式非常复杂， 因此没必要记忆它们，如果今后真的需要使用这些公式，临场推导即可 问题问题 2：我们运用公式进行三角恒等变换的一般思路是什么？ 师生活动：学生思考并回答 预设的答案：寻找变换对象和变换目标之间的差异(包括角度差异、名称差异、结构差 异、次数差异等)，并以消除或削弱差异为目的选择适当的公式进行变换 设计意图设计意图：引导
5、学生回顾本节核心任务，即三角恒等变换的一般思路 例例 2 观察以下各等式： sin230cos260sin 30cos 603 4， sin220cos250sin 20cos 503 4 ， sin215cos245sin 15cos 453 4 分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明 追问追问 1：你打算从哪些角度分析这些式子的相同点与不同点？试逐条分析，并写出一般 规律 预设的答案： 可以从角、 函数名、 次数三个角度着手分析 角： 每个式子均包括四个角， 第一、第三个角相同；第二、第四个角相同，且比第一、三个角大30；函数名：每个式子 均出现四个函数
6、名，且从左向右均为正弦、余弦、正弦、余弦；次数：各式各项均为二次 故可归纳出等式 22 3 sincos (30 )sincos(30 ) 4 设计意图设计意图：引导学生从不同角度对比分析，进行归纳推理 追问追问 2：仔细观察刚才发现的规律，你能找到等式两侧的差异吗？如何设计变换方案 呢？ 预设的答案：有两种方案方案一：从角度差异着手，等式左侧有+30 ,两个角， 而等式右侧没有角，可将30看作两角和展开，这样可减少左侧角的个数，缩小与右侧 的差异；方案二：从次数差异着手，等式左侧均为二次，右侧为非零常数，零次，故采用降 幂扩角公式(半角公式)，积化和差公式降低左侧次数，缩小与右侧的差异 设计
7、意图设计意图：引导学生发现“差异” ，并设计变换过程 解：反映一般规律的等式是 22 3 sincos (30 )sincos(30 ) 4 证法一：左边 2 2 3131 =sincossinsincossin 2222 2222 33131 sincoscossinsinsincossin 42422 22 333 =sincos= 444 右边 证法二：左边 1 cos21 cos(260 )sin(230 )sin( 30 ) = 222 13311 1 cos21cos2sin2sin2cos2 3 22222 = 24 右边 例例 3 要把半径为 R 的半圆形铁皮截成长方形，应怎样
8、截取，才能使长方形面积最大？ 追问追问 1：如何将长方形的面积表示出来？ 预设答案：如图，设出长方形的宽为 x，利用长、宽、半径之间的等 量关系可以表示出长 22 2 Rx，则长方形的面积为 22 2Sx Rx， 然后利用函数知识求出最大值 追问追问 2：除了设长方形的长或宽之外，还有哪个量同样可以表示出 长和宽？ 预设答案：如图，可以用AOB 表示出长和宽，从而解决面积问题 解：如图，设圆心为 O，长方形截面面积为 S，AOB，则 ABRsin，OBRcos， S(Rsin) 2(Rcos) 2R2sincosR2sin2 当 sin2 取最大值，即 sin21 时，长方形截面积最大，不难推
9、出， 4时，长方形截 面面积最大，最大截面面积等于 R2 教师讲解：解出本题的关键是找到并设出，以往我们处理类似问题时，往往都是设 边长为基本量，这是因为当时我们并没有系统地学习关于角的理论和性质学习本章之后， 我们比较系统地学习了角的概念、度量、三角函数及其图象和三角恒等变换公式等，不难发 现，角是与边同等重要的几何要素因此，今后解决几何问题时，我们应该充分关注其中的 角元素 （二）作业布置（二）作业布置 教科书习题 5.5 第 15，16，20 题 （三（三）目标检测设计）目标检测设计 1用sin表示sin3 2已知 sin cos 2sin ，sin cos sin2，求证：4cos22cos22 答案：1 3 sin33sin4sin 2由于 sin cos 2sin ，所以(sin cos )24sin2 ， 又 sin cos sin2，因此，1+ 2sin2 4sin2 ，2-cos22-2cos2， 故 4cos22cos22 设计意图：通过若干题目，促使学生巩固本节所学公式，并能通过分析变换对象与变换 目标的差异，寻找合适的切入点，设计变换过程，提升学生逻辑推理与数学运算素养题组 可为判断学生是否达到目标“借助和角、 差角、 倍角公式解决简单的三角恒等变换问题”提 供评测依据
