1、 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 （第一课时）（第一课时） 教学设计教学设计 教学目标教学目标 1经历探索两角差余弦公式的过程，发展学生逻辑推理素养 2 掌握公式 () C ， 初步体会公式 () C 的意义， 发展学生逻辑推理、 数学运算素养 教学重难点教学重难点 教学重点：教学重点：经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义 教学难点：教学难点：发现差角余弦公式与圆的旋转对称性间的联系 课前准备课前准备 PPT 课件 教学过程教学过程 （一）整体感知（一）整体感知 引导语：引导语：本节我们主要的研究内容是：三角恒等变换，即在不改变含
2、有三角函数的式子 的值的前提下，对式子变形三角恒等变形在求值、化简、证明中有着十分广泛的应用之 前我们学习过的同角三角关系和诱导公式， 都是三角恒等变换的重要工具 今天我们在此基 础上学习新的恒等变换公式 问题问题 1：我们之前学习过诱导公式，它们的共同点是，等号左侧都是一个终边落在坐标 轴上的特殊角与一个任意角的和或差，现在，我们希望将它们一般化，得到新的公式你认 为新公式应具备怎样的特点？ 预设的师生活动：预设的师生活动：学生思考并回答，教师进行引导并排除不合理的回答 预设答案：预设答案：新公式应该含有两个任意角的和或差 设计意图：设计意图：对诱导公式进行梳理归纳，引出任意两个角的和与差，
3、为后续的学习和研究 指明方向同时，指明了诱导公式与即将研究的和角、差角公式之间是特殊与一般的关系 问题问题 2：之前我们利用圆的对称性证明了诱导公式，你还记得当时我们证明诱导公式的 思路和步骤吗？ 预设的师生活动：预设的师生活动：学生回顾并回答，教师可酌情引导学生复习回顾 预设答案：预设答案： 第一步， 从 “形” 的角度出发， 找到相互对称的两个角的终边关系； 第二步， 从“数”的角度考虑，写出单位圆上相互对称的的点的坐标；第三步， “数形”融合，将前 两步的结果整合，得出结论 设计意图：设计意图：回顾诱导公式的证明思路，可供随后探究差角余弦公式时参考借鉴 （二）新知探究（二）新知探究 问题
4、问题 3：先前我们在单位圆中利用圆的对称性推导出诱导公式，下面我们继续借助单位 圆，采用同样的思路研究含有两个任意角, 的三角恒等变形公式首先，我们考虑两个 任意角终边不重合时的情形如果已知任意角, 的正弦、余弦，那么cos()与它们 有什么关系呢？ 设计意图：设计意图：这个问题直接指向本课时的核心内容，但学生暂时难以解答，故通过以下追 问引导学生逐步接近答案 追问追问 1：首先我们从“形”的角度出发，你认为该问题中涉及到的基本角有哪些？请你 将它们连同单位圆一起画在坐标系中，将重要的点标注出来，并观察图形，你能发现哪些可 能有用的等量关系 预设答案：预设答案：基本角为, ，重要的点包括三个角
5、的终边与单位圆的交点(依次记 为 11 ,P A P)，始边与单位圆的交点A可能有用的等量关系是 11 PAPA 师生活动：师生活动：学生按照要求作图，并寻找等量关系，若寻找时遇到困难，教师演示动态几 何图形，帮助并引导学生发现 11 PAPA，或找多名同学展示他们作出的图形，让学生们根 据多幅图形寻找共同规律此外，学生可能在此环节得到其它“没用”的等量关系，教师亦 可收集起来，与学生们探讨其是否“有用” ，最终将其它“没用”的等量关系剔除掉 设计意图：设计意图：引导学生发现导出公式 () C 的关键步骤： 11 PAPA 追问追问 2：你能证明这个等量关系吗？ 预设的师生活动：预设的师生活动
6、：教师演示动态图形，验证猜想的正确性不会随着角, 终边位置的 改变而改变学生通过思考或交流，完成证明如果必要的话，教师可以简单介绍圆的各种 对称性(包括圆的旋转对称性在内)作为提示 预设答案：预设答案：可以借助圆的旋转对称性证明 1 1 APAP，进而得到 1 1 APAP；可以借助 圆的旋转对称性证明三角形OAP与三角形 1 1 OAP全等，进而得到 1 1 APAP；或者直接利 用圆的旋转对称性证明线段 11 ,A P端点在旋转后分别与,A P重合，从而 1 1 APAP 设计意图：设计意图：引导学生借助圆的旋转对称性完成关键步骤 1 1 APAP的证明 追问追问 3：接下来，我们从“数”
7、的角度考虑，你能写出刚刚得到的几何等量关系式中出 现过的点的坐标吗？ 预设的师生活动：预设的师生活动：学生按照要求写出坐标，教师演示动态图形，指出各点的坐标不会随 着, 终边位置的变化而变化 预设答案：预设答案： 1(cos ,sin ) P， 1(cos ,sin )A，(cos(),sin()P，(1,0)A 设计意图：设计意图：参照先前发现并证明诱导公式的思路，按部就班地进行操作同时也在为将 来学习平面解析几何提供预备性体验 追问追问 4：已知平面直角坐标系任意两点 111 ( ,)P x y， 222 (,)P xy，则点 12 ,P P之间的距离 22 1212 ()()dxxyy
8、请你借助以上 “两点间的距离公式” ， 融合以上 “形” 与 “数” 的探究，你能得到什么结论？ 预设的师生活动：预设的师生活动： 教师可运用勾股定理对距离公式进行简单的推导 学生综合各方面信 息进行演算，教师可指派若干学生对其结果进行交流展示 预设答案预设答案：根据两点间距离公式，结合 11 PAPA，有 2222 (coscos)(sinsin)cos() 1sin()0， 整理得cos()coscossinsin (*) 设计意图：设计意图：通过一系列追问作为引导，彻底完成问题 2 的解答 问题问题 4：如果两个任意角终边重合，上述结论成立吗？ 预设答案：预设答案：当, 终边重合时，co
9、scos,sinsin，此时等式(*)左侧 cos21k，右侧 22 sincos1，两侧的值相等，因此上述结论仍然成立 设计意图：设计意图：完成公式另一种情况的论证，在这个过程中，也体现了分类与整合的数学思 想，有利于培养学生严谨的思维习惯 教师讲解教师讲解： 综合问题 3 与问题 4 的结果， 可知cos()coscossinsin对 任意角, 均成立此公式给出了任意角, 的正弦、余弦与其差角的余弦之间的 关系，称为差角的余弦公式，简记作 () C 例例 1 证明： （1）cos()cosxx ； （2） cossin 2 xx ； （3）cos()cosxx； （4）cos()cosxx
10、 预设的师生活动：预设的师生活动：可以叫四位同学上黑板做，然后教师点评 预设答案：预设答案： 证明： （1）将公式 () C 中的, 分别替换为,x， 得cos()coscossinsincosxxxx ； （2）将公式 () C 中的, 分别替换为 , 2 x， 得 coscoscossinsinsin 222 xxxx ； （3）将公式 () C 中的, 分别替换为0,x， 得cos 0cos0cossin0sincosxxxx； （4）将公式 () C 中的, 分别替换为,x， 得cos(+ )cos()coscos()sinsin()cosxxxxx 设计意图：设计意图： （1） （2
11、）为公式 () C 的直接套用，可加强学生对公式的熟悉程度； （3） 只需将x看作0 x即可； （4）需将公式 () C 中的, 分别替换为, x，这为下一课 时中公式 () C 的证明做好铺垫 以上诱导公式虽在之前已经证明， 但在此由公式 () C 为 出发点再次进行推证原因有二：一是新证法更加简捷明了，二是凸显出公式 () C 的重要 意义 问题问题 5：结合例 1 可见，两角差的余弦公式中，含有两个任意角，这与我们之前学习的 诱导公式(含有一个任意角和一个特殊角)相比， 具有更高的自由度 由此你能解读诱导公式 与公式 () C 之间的关系吗？试一试 预设的师生活动：预设的师生活动：学生思
12、考并交流后，交流展示，教师对学生们的回答进行梳理总结， 最终形成比较完备的答案 预设答案：预设答案：从区别与联系两个方面解读二者的关系：二者的区别是：第一，适用场合不 同，二者涉及到的任意角的数量不同，因此适用的场合并不一样，诱导公式适用于关于一个 特殊角与一个任意角代数和的恒等变换问题， 差角余弦公式适用于关于两个任意角的差角的 余弦值的恒等变换问题，第二，功能不同，诱导公式可以实现改变函数名称，将求任意角的 三角函值转化为求锐角三角函数值的问题等功能，这些功能是 () C 不具备的，但公式 () C 具备求出两个任意角的差角的余弦值的功能，这是诱导公式不能完成的；二者的联 系是：第一，差角
13、余弦公式中含有两个任意角，将其中一个替换为特殊角，即可推导出部分 诱导公式，因此 () C 是更上位的公式；第二，二者均为三角恒等变换的重要变形依据， 它们均可以经由圆的对称性质推导得到 设计意图：设计意图：对诱导公式和差角公式的关系进行梳理，帮助学生厘清关系，培养学生辩证 分析问题的思维方式 例例 2 借助公式 () C ，解答以下题目： （1）计算cos15的值； （2）已知 4 sin 5 ， , 2 ， 5 cos 13 ，是第三象限角，求cos() 的值 追问：追问： （1）中的角度并不是差的形式，你打算如何借助 () C 完成计算？（2）中 cos,sin并没有直接给出，我们如何借
14、助公式 () C 求得cos()的值？ 预设答案：预设答案：对于（1） ，我们可以把15化成我们熟悉的30 ,45 ,60等特殊角之中某两 角的差的形式， 再借助公式 () C 求解； 对于 （2） ， 可以借助同角三角关系求出cos,sin， 进而利用公式 () C 求解cos() 解： （1）(解法一)cos15 =cos(4530 )cos45 cos30sin45 sin30 232 162 22224 ； (解法二)cos15 =cos(6045 )cos60 cos45sin60 sin45 123226 22224 ； （2）因为 , 2 ，故 2 3 cos1 sin 5 ，
15、因为是第三象限角，故 2 12 sin1 cos 13 ， 因此 3541233 cos()coscossinsin 51351365 设计意图：设计意图：通过两个比较简单的求值问题，促使学生进一步熟悉公式 () C ，能借助 公式 () C 解决简单的三角恒等变换问题 （三）归纳小结（三）归纳小结 问题问题 6：请你回顾本节课的内容，思考以下问题： 本课时出现过的哪些性质、公式、定理，它们之间具有怎样的推出关系？叙述公式 () C ，你在使用公式解决问题时有哪些心得体会？此外你还有哪些感悟？ 预设的师生活动：预设的师生活动：学生进行归纳、思考并回答 预设答案：预设答案： () C 圆的旋转对
16、称性 诱导公式 勾股定理两点间的距离公式 使用 () C 时，由于, 均为任意角，故可以代换成任意值，包括零、特殊角、负角 等等cos()需要sin,cos,sin,cos四个值齐备时方可算出，缺一不可，若有 所缺，往往可以借助同角三角关系算出所缺的数值公式 () C 中含有两个任意角，是诱 导公式更上位的公式，可以推导出诱导公式；先从“形”的角度出发，再从“数”的角度考 虑，最后融合“数”与“形” ，似乎是一种探究数形关系的有效策略 设计意图：设计意图：回顾反思，在头脑中形成思维网络 （四）作业布置（四）作业布置 教科书习题 5.5 第 1，2，3 题 （五）目（五）目标检测设计标检测设计 1已知 15 sin 17 ，是第二象限角，求 cos 3 的值 2已知 3 22 ，且 2 sin 3 ， 3 cos 4 ，求cos()的值 预设答案：预设答案：115 3 8 34 ； 2 3 52 7 12 设计意图： 通过两个比较简单的求值问题， 促使学生巩固同角三角关系及公式 () C ， 提升数学运算素养可对学生是否达到目标“能否运用公式 () C 解决简单的三角恒等变 换问题”提供评测依据
