1、 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象教学设计教学设计 教学目标教学目标 1经历绘制正弦函数图象的过程，掌握描点法，掌握绘制正弦函数图象的五点法 2经历绘制余弦函数图象的过程，理解其中运用的图象变换的思想 教学重难点教学重难点 教学重点：教学重点：正弦函数、余弦函数的图象 教学难点：教学难点：掌握准确绘制正弦函数图象上一个点的方法 课前准备课前准备 PPT 课件 教学目标教学目标 （一）整体感知（一）整体感知 问题问题 1：三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研究的方法，学习了 三角函数的定义之后，接下来应该研究什么问题？怎样研究？你的研究思路是什么？ 追
2、问： （追问： （1）研究指数函数、对数函数图象与性质的思路是怎样的？ （2）绘制一个新函数图象的基本方法是什么？ （3）根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗？选择哪 一个区间即可？ 预设的师生活动：预设的师生活动： 教师提出问题， 学生活动回忆函数研究的路线图， 师生共同进行交流、 规划，完善方案 预设答案：预设答案： （1）研究的线路图：函数的定义函数的图象函数的性质 （2）绘制一个新函数图象的方法都是描点法 （3）对于三角函数，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，这一特 性已经用诱导公式一表示，据此，可以简化对正弦函数、余弦函数图象与性质的研究过程
3、， 比如可以先画函数 ysin x，x0，2的图象，再画正弦函数 ysin x，xR 的图象 设计意图：设计意图： 规划研究方案， 构建本单元的研究路径， 以便整体把控整个单元的教学进程， 建立整体观念 （二）新知探究（二）新知探究 1正弦函数的图象正弦函数的图象 问题问题 2：绘制函数的图象，首先需要准确绘制其上一点对于正弦函数，在0，2上任 取一个值 x0，如何借助单位圆确定正弦函数值 sin x0，并画出点 T(x0，sin x0)？ 追问追问 1： 根据正弦函数的定义思考， 一个的横坐标 x0在单位圆上表示哪个几何量？sin x0 的几何意义又是什么？ 预设的师生活动：预设的师生活动：
4、教师引导学生结合图 1，根据定义分析，确定 x0，sin x0对应的几何 量 图 1 追问追问 2：根据上述分析，如何具体地作出点 T(x0，sin x0)？ 预设的师生活动：预设的师生活动：教师和学生讨论后，共同通过提前准备的工具尝试绘制这个点 预设答案：预设答案：方法一（学生操作） ： “手工细线缠绕”法；方法二（教师操作） ：利用信息 技术 设计意图：设计意图：教师引导学生剖析一个点的画法，深化对正弦函数定义的理解通过分析点 的坐标的几何意义，准确描点 问题问题 3：我们已经学会绘制正弦函数图象上的任意一个点，类比指数函数、对数函数图 象的画法，接下来，如何画出函数 ysin x，x0，
5、2的图象？你能想到什么办法？ 预设的师生活动：预设的师生活动：学生给出设想，师生讨论后选择一种或者多种适合的方法实施 预设答案：预设答案： 方案一：在区间0，2内任取一些横坐标的值，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的 曲线连接 方案二：为方便操作，可以在区间0，2内取等分点，按照上述方法逐一绘制，再用 光滑的曲线连接 追问：追问：这两种绘制方法的异同是什么？ 预设的师生活动：预设的师生活动：学生用方案二绘制函数图象教师借助信息技术，用方案一绘制函数 图象 预设答案：预设答案：两种方法本质相同，在信息技术条件支持下都容易实现，在手工操作的条件 下，用方案二比较可行 设计意图：设计意图：确定画出一个
6、周期内正弦函数图象的方法，并实施，同时体会信息技术给数 学研究带来的便捷 问题问题 4：根据函数 ysin x，x0，2的图象，你能想象正弦函数 ysin x，xR 的 图象吗？依据是什么？请你画出该函数的图象 预设的师生活动：预设的师生活动：学生画图，教师予以指导 预设答案：预设答案：根据诱导公式一，可知函数 ysin x，x2k，22(k+1)，kZ 且 k0 的图象与 ysin x，x0，2的图象形状完全一致因此将函数 ysin x，x0，2的图 象不断向左、向右平移（每次移动2个单位长度） ，就可以得到正弦函数 ysin x，xR 的 图象，如图 2 所示 教师指出，正弦函数的图象叫做
7、正正弦曲线弦曲线(sine curve)，是一条“波浪起伏”的连续光滑 曲线 设计意图：设计意图：绘制函数 ysin x，xR的图象，并培养说理的习惯 问题问题 5：如何画出函数 ysin x，x0，2图象的简图？ 追问：追问：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？ 预设的师生活动：预设的师生活动：教师提出问题，引导学生观察图 2，并说出他的想法 预设答案：预设答案：观察图 2，在函数 ysin x，x0，2的图象上，五个点（0，0） ， 1 2 ， ， （，0） ， 1 2 3， ， （2，0）在确定图象形状时起关键作用因此只要描出这五个点，按 照正弦函数图象的走势， 并用光滑的曲线
8、将之连接就可以画出函数的简图， 称之为 “五点法” 设计意图：设计意图：观察函数图象，概括其特征，获得五点法画图的简便画法 图 2 2余弦函数的图象余弦函数的图象 问题问题 6：如何画出余弦函数 ycos x 的图象？ 预设的师生活动：预设的师生活动： 学生可能会类比正弦函数图象的画法， 提出用类似的方法画余弦函数 的图象对此教师应予以肯定，并进一步提出追问的问题 追问追问 1：由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对有密切关联的函数诱导 公式表明，余弦函数和正弦函数可以互化相应的，能否通过对正弦函数图象进行变换得到 余弦函数的图象？ 预设的师生活动：预设的师生活动：学生先用排除法观察诱
9、导公式，选择简洁的公式，作为正弦函数、余 弦函数关系研究的依据教师引导学生通过比较进行选择从数的角度看，可以选择关系： cos xsin（x+ 2 ） 记 f（x）sin x，则 cos xf（x+ 2 ） 因此函数 ycos x 的图象，可以 看作将函数 ysin x 的图象上的点向左平移 2 个单位得到 追问追问 2：你能在两个函数图象上选择一对具体的点，解释这种平移变换吗？ 预设的师生活动：预设的师生活动：这是教学的难点，教师要首先进行示范教师可以先选择一个具体的 点，进行分析，然后上升到对一般点的分析得到图象之后还可以再利用图象进行验证 预设答案：预设答案： 设 （x0， y0） 是函
10、数 ycos x 图象上任意一点， 则有 y0cos x0sin （x0+ 2 ） 令 x0+ 2 t0，则 y0sin t0，即在函数 ysin x 图象上有对应点（t0，y0） 比较两个点： （t0，y0）与（x0，y0） 因为 x0+ 2 t0，即 x0t0 2 所以点（x0，y0）可以看做是点（t0，y0）向左平移 2 个单位得到的 所以只要将函数 ysin x 图象上的点向左平移 2 个单位即可得到函数 ycos x 的图象， 如图 3 所示： 教师指出，余弦函数 ycos x，xR 的图象叫做余余弦曲线弦曲线（cosine curve） 它是与正弦 曲线具有相同形状的“波浪形”曲线
11、 设计意图：设计意图：利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象获得余弦函数图象增强 对两个函数图象之间的联系性的认识 问题问题 7：类似于用“五点法”作正弦函数图象，如何做出余弦函数的简图？ 追问：追问： 余弦函数在区间， 上相应的五个关键点是哪些？请将它们的坐标填入下表， 然后作出 ycos x，x，的简图 x cos x 预设的师生活动：预设的师生活动： 预设答案：预设答案： 设计意图：设计意图：观察余弦函数图象，掌握其特征，获得“五点法” 例例 1 先用五点法画出下列函数的图象， 然后再说明如何经过图象变换得到下列函数的 图象： （1）y1+sin x，x0，2 ； （2）ycos
12、x，x0，2 预设的师生活动：预设的师生活动：学生先独立完成，之后就解题思路和结果进行展示交流，教师点评并 给出规范的解答 预设答案：预设答案： 图 3 （1）按五个关键点列表： 描点并将它们用光滑的曲线连接起来 将函数 ysin x，x0，2的图象向上平移一个单位长度可得； （2）按五个关键点列表： 描点并将它们用光滑的曲线连接起来 将函数 ycos x，x0，2的图象关于 x 轴对称可得 设计意图：设计意图：巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟练“五点法”画图，提 高画图的基本技能通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习做好 铺垫 （三）布置作业（三）布置作业 1教科书 P200 练习第 3，4 题； 2教科书习题 5.4 第 1 题 （四）目标检测设计（四）目标检测设计 教科书第 200 页练习第 2 题 设计意图：设计意图： 考查学生对正弦函数、 余弦函数图象的基本特征的掌握程度， 是否会利用 “五 点法”作图
