1、2025年高考数学一轮复习-非对称韦达定理-专项训练一、基本技能练1.已知A，B分别为双曲线C：x21的左、右顶点，过双曲线的右焦点F的直线交双曲线于P，Q两点(异于A，B)，求直线AP，BQ的斜率的比值.2.在平面直角坐标系xOy中，已知离心率为的椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，过右焦点F的动直线l与椭圆C交于M，N两点，ABM的面积最大值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线AM与定直线xt(t2)交于点T，记直线TF，AM，BN的斜率分别是k0，k1，k2，若k1，k0，k2成等差数列，求实数t的值.3.已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，其短轴长为2，设直线l：x4
2、，过椭圆右焦点F的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A，B两点，过点A作ADl，垂足为D.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证：直线BD过定点E，并求出定点E的坐标.二、创新拓展练4.设椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1MF2N，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若3k12k20，求直线F1M的方程.参考答案与解析一、基本技能练1.解由题意知F(2，0)，设直线PQ的方程为xmy2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程得(3m21)y212my90，则y1y2，y1y2，而得，my1y2(y1y2).又kA
3、P，kBQ，.所以直线AP，BQ的斜率的比值为.2.解(1)设椭圆C的半焦距为c，依题意，又ABM的面积最大值为2，所以2ab2，即ab2，又a2b2c2，联立，得a24，b23，c21，所以椭圆C的标准方程为1.(2)设直线l：xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组整理得(3m24)y26my90，所以y1y2，y1y2，故my1y2(y1y2).易得直线AM：y(x2)与直线xt相交于T，因为k1，k0，k2成等差数列，所以2k0k1k2，即2，所以13，进而解得t4，所以实数t的值为4.3.(1)解由题意可得解得故椭圆C的方程为1.(2)证明由题得F(1，0)，设直线A
4、B：xmy1(mR).A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(4，y1)，联立方程得(3m24)y26my90，所以y1y2，y1y2，且2my1y23(y1y2)，因为B(x2，y2)，D(4，y1)，所以直线BD的方程为yy1(x4)，由xmy1，得yx4y1x，将2my1y23(y1y2)代入式，则直线BD的方程为y，直线BD过定点E.二、创新拓展练4.解设M(x1，y1)，F1M直线方程xmy1交C于M1(x2，y2)，由得(8m29)y216my640，则y1y2，y1y2.则my1y24(y1y2)，又k1，k2，所以3k12k20，则3y1(x23)2y2(x13)0，即3y1(my22)2y2(my12)0，可得5(4)(y1y2)6y14y20，则14y116y20，即y1y2.y1y2，y2，即y2，y10，m0.由y1y2，得216m29，解得m或m(舍)，直线F1M的方程为12xy120.
