1、第6讲 函数单调性含参讨论16类 【原卷版】【题型一】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在常数位置（单参）【典例分析】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数与的图像有两个不同的公共点，求的取值范围.【变式演练】1.已知函数，其中.（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：.2.已知函数.（1）求的单调区间（2）若的极值点为，且，证明：.【题型二】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在系数位置（单参）【典例分析】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若是的两个极值点，证明：.【变式演练】1.已知函数fx=alnx+1x+4，其中aR（1）讨论函数fx的单调性；（2）对任意x1,e，不等式fx
2、1x+x+12恒成立，求实数a的取值范围2.己知函数(其中为自然对数的底数)（1）讨论函数的单调性;（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.3.已知函数，其中.（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：.【题型三】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在“斜率”和常数位置（双参）【典例分析】已知函数，其中，（1）讨论函数的单调性；（2）设函数的导函数为若函数恰有两个零点，证明：【变式演练】1.已知函数，其中e为自然对数的底数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）取a0并记此时曲线yf（x）在点（其中）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为，求的解析式及的最大值2.函数()讨论的单调性3
3、.已知（1）求的单调区间；（2）设，为函数的两个零点，求证：【题型四】 上下平移思维基础：反比例函数型【典例分析】已知函数（1）求的极值；（2）若（e为自然对数的底数）时恒成立，求a的取值范围【变式演练】1.设函数.（1）若在点处的切线为，求a，b的值；（2）求的单调区间. 2.已知（1）讨论的单调性；（2）当时，对任意都有成立，求实数a的最大值【题型五】 上下平移：指数型【典例分析】已知函数.（1）讨论函数的极值；（2）若函数在上的最小值是，求实数的值.【变式演练】1.设函数.（1）求函数的极值；（2）若在时恒成立，求的取值范围.2.设函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个不同的零点
4、，为的导函数，求证：【题型六】 上下平移：对数函数型【典例分析】已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）设，求证：【变式演练】1.已知函数，（其中a为非零实数）（1）讨论的单调性；（2）若函数（e为自然对数的底数）有两个零点求实数a的取值范围；设两个零点分别为、，求证：2.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当函数与函数图象的公切线经过坐标原点时，求实数的取值集合；（3）证明：当时，函数有两个零点，且满足3.设为实数，且，函数.（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围.【题型七】 一元二次可因式分解型【典例分析】已知函数
5、（1）设讨论函数的单调性；（2）当时，函数在区间（，a，）上的最大值和最小值分别为和，求实数t的取值范围【变式演练】1.已知函数.（1）讨论的单调性.（2）当时，证明：.2.设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）当时，若的图像与直线没有公共点，求的取值范围.3.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，方程有四个根，求实数的取值范围【题型八】 一元二次不能因式分解：判别式+韦达定理+求根公式【典例分析】已知函数（）.（1）讨论的单调性；（2）若，且正数满足，证明.【变式演练】1.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设存在两个极值点，且，若，求证：.2.已知函数（）（1）讨论的单调性（2
6、）当时，若函数的两个零点为，判断是否其导函数的零点？并说明理由3.已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围.【题型九】 双线法：指数型【典例分析】已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围【变式演练】1.已知函数，其中（1）讨论的单调性；（2）若，设，求证：函数在区间内有唯一的一个零点2.已知函数（其中，为自然对数的底数）（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求的取值范围3.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，令，若是函数的极值点，且，求证：.【题型十】 双线法：对数型【典例分析】已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围【
7、题型十一】 含三角函数型讨论【典例分析】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；（3）设函数.过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列，求数列的所有项之和S的值.【变式演练】1.已知函数（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）求函数的最值2.已知.（1）求的单调区间；（2）若，证明:当时，有且只有两个零点.【题型十二】 二阶求导讨论型【典例分析】已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）讨论函数的导函数的单调性；（2）设，若x0为g（x）的极小值点，求实数a的取值范围.【变式演练】1.己知函数，其中为常数，函数与轴的交点为，函数的图象与y轴的交
8、点为，函数在点的切线与函数在点处的切线互相平行（）求的值；（）求函数的单调区间；2.已知函数.（1）判断在上的单调性；（2）时，求证：（为自然对数的底数）.3.已知函数f(x)=(x+a)ln(x+1)-ax.（1）若a=2，求f(x)的单调区间；（2）若a-2，-1x2x(1-e-x).【题型十三】 已知单调性求参【典例分析】已知函数.（1）若在上是增函数，求的取值范围；【变式演练】1.已知函数（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；2.已知函数（1）若函数在定义域上是单调递增函数，求实数的取值范围；3.已知函数（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；【题型十四】 不确定单调增或减求参【
9、典例分析】已知函数f(x)x2alnx.(2)若g(x)f(x)在1，)上是单调函数，求实数a的取值范围【变式演练】1.已知函数，其中为常数()若在区间上单调函数，求实数的取值范围；2、已知函数（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；（2）若在定义域上有两个极值点，证明：3.已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1（a，bR），e=2.71828为自然对数的底数（1）设g(x)=f(x)，若g(x)是（0，2）上的单调函数，求a的取值范围；（2）若f（2）=0，函数f(x)在（0，2）上有零点，求a的取值范围【题型十五】 存在单调增（减）区间【典例分析】已知函数在处的切线与直线垂直，函数.
10、（1）求实数的值；（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；【变式演练】1.已知函数，其中a为实常数（1）若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围； 2.已知函数（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值；（2）若函数在区间上存在单调增区间，求实数a的取值范围；（3）若在区间上存在极大值，求实数a的取值范围（直接写出结果）3.已知函数，.（1）若函数存在单调增区间，求实数的取值范围；（2）若，为函数的两个不同极值点，证明：.【题型十六】 非单调函数求参【典例分析】已知函数，其中.（1）如果曲线与轴相切，求的值；（2）如果函数在区间上不是单调函数，求的取值范围.【变式演练】1.
11、已知函数的导数为，函数.（1）求；（2）求最小正周期及单调递减区间；（3）若，不是单调函数，求实数的取值范围.2.已知函数.（1）设，若存在两个极值点，且，求证：；（2）设，在不单调，且恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底数）.3.设函数，（1）当时，若函数在上单调递增，求的取值范围：（2）若函数在定义城内不单调，求的取值范围：（3）是否存在实数，使得对任意正实数恒成立?若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由.【课后练习】1.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.2.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数a的值3.已知函数（1）讨
12、论的单调性；（2）当时，求函数在内的零点个数 4.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围5.已知函数（）.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若，（）满足，求证：.6.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围7.设函数.（1）求函数的单调增区间；（2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：） 8.已知函数（1）若，试求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性 9.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性. 10.已知，（1）求的单调
13、区间；（2）若时，恒成立，求m的取值范围 11.已知函数.（1）求在（为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P，Q，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此直角三角形斜边的中点在y轴上?12.已知函数（1）若函数在处的切线方程为，求的值；（2）若函数在区间上存在单调增区间，求的取值范围；（3）当时，证明：对任意恒成立.13.设函数（）（是一个无理数）（1）若函数在定义域上不是单调函数，求a的取值范围；（2）设函数的两个极值点为和，记过点、的直线的斜率为k，是否存在a， 使得？若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说明理由14.已知函数f（x）=x22x+alnx
14、，是函数f（x）的极值点（1）若，求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）不是单调函数，且无最小值，证明：f（x0）0第6讲 函数单调性含参讨论16类【解析版】【题型一】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在常数位置（单参）【典例分析】已知函数 .（1）讨论 的单调性；（2）若函数 与 的图像有两个不同的公共点，求 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2） 【分析】（1）、先求出 ，对 分类讨论判断导函数的正负即可得到单调区间;（2）、由题意将问题转化为 有两个不同的实根，构造 ，判断 的单调性；要使 有两个不同的实根，则需 有两个不同的实根；构造 ，对 分类讨论判断 的单调性，判断 的零点
15、，得出 的取值范围.解（1） ， ， . 、当 ， ，函数 在 上单调递增；、当 ，令 ，得 ， 时， ； 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增.综上所述：当 ， 的单调递增为 ，无单调递减区间；当 ， 的单调递增为 ， 的单调递减为 .【变式演练】1.已知函数 ， ，其中 .（1）试讨论函数 的单调性；（2）若 ，证明： .【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求导，再根据导数的正负求出函数的单调区间，（2）要证 ，只要证 ，由于 时， ，当 时，令 ，再利用导数求出其最小值大于零即可（1） 的定义域为 当 时， ， 在 上单调递增；当 时，令 ，
16、解得 ；令 ，解得 ；综上所述：当 时， 在 上单调递增，无减区间；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；2.已知函数 .（1）求 的单调区间（2）若 的极值点为 ，且 ，证明： .【答案】（1）单调递减区间为 ，单调递增区间为 （2）证明见解析【分析】（1）求导 ，由 ， 求解；（2）由（1）结合 的极值点为 ，由 ，得到 ， ，作出函数 的大致图象，不妨设 ，根据 ，得到 ，再由 ，将证明 ，转化为证明 即可.解： 的定义域为 ， ，由 ，得 .当 时， ；当 时， .所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .【题型二】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在系数位置（单参）【典例分析
17、】已知函数 .（1）讨论 的单调性；（2）若 是 的两个极值点，证明： .【答案】（1）当 时， 在 上为单调递增函数；当 时，若 在 上为单调递增函数，在 上为单调递减函数；（2）证明见解析.【分析】（1） 的定义域为 ，求导 ，分类讨论 和 两种情况，研究 的正负，从而求得函数的单调区间；（2）由题得 ，则 ，由 是 的两个极值点，可知 ，所以 ，要证 ，需证 ，构造函数 ，即证 ，从而证得 .【详解】（1）易知 的定义域为 ， .当 时， ，所以 在 上为单调递增函数；当 时，若 ，则 ，若 ，则 ，所以 在 上为单调递增函数，在 上为单调递减函数.【变式演练】1.已知函数f(x)=al
18、nx+1/x+4，其中aR（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）对任意x1,e ，不等式f(x)1/x+(x+1)2恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）答案见解析（2）(e +1)2-4,+)【分析】（1）求出导函数f (x)，分类讨论确定f (x)的正负得单调区间；（2）不等式变形为(x+1)2-alnx-40引入新函数g(x)=(x+1)2-alnx-4(x1,e )，求出导函数g (x)，分类讨论a0时，不等式不恒成立，a0时由导数确定函数有极小值点，而最大值是比较g(e)和g(1)的大小得到，从而得出参数范围解（1）函数f(x)的定义域为(0,+)，f (x)=a/x-1/x2 =
19、(ax-1)/x2 ，当a0时，f (x)0时，由f (x)0，得x1/a，由f (x)0，得0x0时，函数f(x)在(0,1/a)上单调递减，在(1/a,+)上单调递增.2.己知函数 (其中 为自然对数的底数)（1）讨论函数 的单调性;（2）当 时，若 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2） 【分析】（1） ，进而分 ， ， 三种情况讨论求解即可；（2）由题意知 在 上恒成立，故令 ，再根据导数研究函数的最小值，注意到 使 ，进而结合函数隐零点求解即可.（1）解： ， 在 上单调增； ，令 ， 单调减。 单调增； ， 单调增。 单调减.综上，当 时， 在 上单调增；当 时
20、， 在 上单调递减，在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.3.已知函数 ， ，其中 .（1）试讨论函数 的单调性；（2）若 ，证明： .【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1） 的定义域为 ，求出 ，分别讨论 ， ， 时不等式 和 的解集即可得单调递增区间和单调递减区间，即可求解；（2） 的定义域为 ，不等式等价于 ， ，令 ，只需证 ，令 ，利用导数判断单调性和最值即可求证.解（1） 的定义域为 ，由 可得： ，当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 或 ；此时 在 上单调递增，在 和 上单调递减：当 时， ，此时 在 和 上单调递减；当 时，令 ，解得 ，令
21、 ，解得 或 ，此时 在 上单调递增，在 和 上单调递减：综上所述：当 时， 在 上单调递增，在 和 上单调递减；当 时， 在 和 上单调递减；当 时， 在 上单调递增，在 和 上单调递减.【题型三】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在“斜率”和常数位置（双参）【典例分析】已知函数 ，其中 ， （1）讨论函数 的单调性；（2）设函数 的导函数为 若函数 恰有两个零点 ， ，证明： 【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导 ， ，分 ， 时， ， 三种情况讨论求解； （2）根据（1）知，当 或 时， 至多有1个零点，当 时，函数 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，且 （1）
22、 ，再由零点存在性定理判断另一个根的存在即可.（1）解：由 ，得 ， 当 ，即 时， ， 在 上单调递减；当 ，即 时， 当 时， 且 ， ， 在 上单调递增；当 时， ， ，当 变化时， ， 的变化情况如下表： ， 0 单调递减极小值单调递增综上，当 时， 在 上单调递增，当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，当 时， 在 上单调递增，【变式演练】1.已知函数 ，其中e为自然对数的底数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）取a0并记此时曲线yf（x）在点 （其中 ）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为 ，求 的解析式及 的最大值【答案】（1）答案见详解（2） ， ； 【分
23、析】（1）求导得 ，分类讨论参数 ，结合导数正负即可求解函数单调区间；（2）求出过点 的切线方程，分别令 求出 ，令 求出 ，结合三角形面积公式可求 ，结合导数即可求解 的最大值解（1）由 求得 ，当 时， ， 在 上单调递增；当 时，令 ，得 ， 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增；当 时， 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减；综上所述，当 时， 在 上单调递增；当 时， 时， 单调递减； 时， 单调递增；当 时， 时， 单调递增； 时， 单调递减；2.函数 ( )讨论 的单调性【答案】见解析【分析】求出g(x)的导数 ，分类讨论 的正负，以此确定g(x)的单调性【详解】 的定义
24、域为 ， ，当 ， 时， ，则 在 上单调递增；当 ， 时，令 ，得 ， 在 上单调递增，令 ，得 ， 在 上单调递减；当 ， 时， ，则 在 上单调递减；当 ， 时，令 ，得 ， 在 上单调递增，令 ，得 ， 在 上单调递减综上所述，当 ， 时， 在 上单调递增；当 ， 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；当 ， 时， 在 上单调递减；当 ， 时， 在 上单调递增，在 上单调递减3.已知 （1）求 的单调区间；（2）设 ， ， 为函数 的两个零点，求证： 【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（2）构造函数 ， 与y
25、m图象两交点的横坐标为 ， ，问题转化为证明 ， ，根据函数的单调性证明即可解（1） ， ， ，当 时， ，即 的单调递增区间为 ，无减区间；当 时， ，由 ，得 ， 时， ， 时， ， 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；综上所述：当 时， 的单调递增区间为 ，无减区间；当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .【题型四】 上下平移思维基础：反比例函数型【典例分析】已知函数 （1）求 的极值；（2）若 （e为自然对数的底数）时 恒成立，求a的取值范围【答案】（1）当 时， 无极值；当 时， 有极大值，极大值为 ，无极小值（2） 【分析】（1）求得 ，对 进行分类讨论，由此求得
26、的极值.（2）将不等式 分离常数，利用构造函数法，结合导数来求得 的取值范围.J解（1） 的定义域为 当 时， 在 上单调递减， 无极值当 时，由 ，得 ，当 时， 在 上单调递增当 时， 在 上单调递减 在 处取得极大值， 无极小值 综上所述，当 时， 无极值；当 时， 有极大值，极大值为 ，无极小值【变式演练】1.设函数 .（1）若 在点 处的切线为 ，求a，b的值；（2）求 的单调区间. 【答案】（1） ， ；（2）答案见解析.【分析】（1）已知切线求方程参数，第一步求导，切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率.(2)第一步定义域，第二步求导，第三步令导数大于或小于0，求解析，
27、即可得到答案.（1） 的定义域为 ， ，因为 在点 处的切线为 ，所以 ，所以 ；所以 把点 代入 得： .即a，b的值为： ， .2.已知 （1）讨论 的单调性；（2）当 时，对任意 都有 成立，求实数a的最大值【答案】（1）当 时， 在定义域上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减（2） 【分析】（1）求得导函数 ，讨论 时， 时，导函数的符号，即可判断原函数的单调性；（2）当 时，对 有 成立，可化为 在 上恒成立，令 ，只需 ，计算即可求得结果（1） 的定义域为 ，且 当 时，显然 ， 在定义域上单调递增；当 时，令 ，得 ，则有： +0- 极大值 即 在 上单调递增，在
28、上单调递减，综上所述，当 时， 在定义域上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；【题型五】 上下平移：指数型【典例分析】已知函数 .（1）讨论函数 的极值；（2）若函数 在 上的最小值是 ，求实数 的值.【答案】（1）答案见解析（2） 【分析】（1）求得 ，分 和 两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；（2）由（1）知，当 时，不符合题意；当 时，分 、 和 三种情况讨论，结合函数的单调性和 ，即可求解.解：（1）由题意，函数 的定义域为 ，可得 ，当 时，可得 ， 单调递增，此时函数 的无极值；当 时，令 ，可得 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，所以当 时，
29、函数取得极小值，极小值为 ，无极大值.综上所述，当 时，函数 无极值；当 时，函数 的极小值为 ，无极大值.【变式演练】1.设函数 .（1）求函数 的极值；（2）若 在 时恒成立，求 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2） ,+).【分析】（1）求出 ，分两种情况讨论 的范围，在定义域内，分别令 求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；根据单调性即可求得f(x)的极值（2）参变分离，将问题转化为用导数求函数的最值问题（1）由题可知 ，当 在 上单调递增，f(x)没有极值；当 时， 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；f(x)在 时取得极大值 ，没有极小值综上所
30、述，当 时， 无极值；当 时， 有极大值 ，无极小值；2.设函数 （1）求函数 的单调区间；（2）若函数 有两个不同的零点 ， ， 为 的导函数，求证： 【答案】（1）当 时， 的单调递增区间为R，无单调递减区间；当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 （2）证明见解析【分析】（1）求导，对参数 分类，讨论 的正负，研究函数的单调性；（2）由已知 ，且 ，则 ，进而得到 ，构造函数判断函数的单调性知 ，进而得到 ，再判断 ，即可证得结论.（1）由题可得， ，当 时， ，函数 的单调递增区间为R，无单调递减区间；当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
31、综上，当 时， 的单调递增区间为R，无单调递减区间；当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 【题型六】 上下平移：对数函数型【典例分析】已知函数 （1）求函数 的单调区间；（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；（3）设 ，求证： 【答案】（1）增区间为 ，减区间为 （2） （3）证明见解析【分析】（1）利用导数求得 的单调区间.（2）结合 的单调性以及 来求得 的取值范围.（3）结合（2）的结论得到 ，由等差数列的前 项和公式证得不等式成立.解（1） 的定义域为 ， ，令 ，解得 .所以 在区间 递增；在区间 递减，所以 的增区间为 ，减区间为 .【变式演练】1.已知函数 ，（其中
32、a为非零实数）（1）讨论 的单调性；（2）若函数 （e为自然对数的底数）有两个零点求实数a的取值范围；设两个零点分别为 、 ，求证： 【答案】（1）答案见解析（2） ；证明见解析【分析】（1）求得 ，对 进行分类讨论，由此求得 的单调区间.（2）由 转化为 ，通过换元法，结合导数求得 的取值范围.利用换元法，将证明 转化为证明 ，通过构造函数法，结合导数来证得不等式成立.（1） ，若 ，则当 时， ， ， 单调递增；当 时， ， ， 单调递减若 ，则当 时 ， ， 单调递减；当 时， ， ， 单调递增2.已知函数 （1）求函数 的单调区间；（2）当函数 与函数 图象的公切线 经过坐标原点时，求
33、实数 的取值集合；（3）证明：当 时，函数 有两个零点 ， ，且满足 【答案】（1）答案见解析（2） （3）证明见解析【分析】（1）利用导数求解单调性；（2）利用是 的切线求出其切线方程，再利用切线方程与 只有一个公共点，即可求出实数 的取值集合；（3）证明 有两个零点，即证明函数 ，其中一个零点 通过观察即可求得，另一个零点通过切线放缩即可证明 ，将 代入 中，即证明 成立，通过构造函数 ，判断其单调性即可证明.解（1）函数 的定义域为 ，对 求导，得 ，令 ，解得 ，当 时， ， 单调递增当 时， ， 单调递减；故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .3.设 为实数，且 ，函数 .（1）
34、求函数 的单调区间；（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2） 【分析】（1）求导得 ，再分 和 两种情况讨论求解即可；（2）由题得 有两个不同的根，进而曲线 与直线 有两个不同的交点.故先考虑曲线 与直线 相切的情况时得 ，进而令 ，构造函数 ，由函数的性质知 得 ，进而问题转化为 恒成立，最后结合已知，解不等式 即可得答案.解：（1）由题意得 .因为 ，所以 ，所以当 时， ，所以当 时，函数 在 上单调递增.当 时，令 ，则 ，所以 ；令 ，得 ，所以当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.综上，当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函
35、数 在 上单调递减，在 上单调递增.【题型七】 一元二次可因式分解型【典例分析】已知函数 （1）设 讨论函数 的单调性；（2）当 时，函数 在区间 （ ，a， ）上的最大值和最小值分别为 和 ，求实数t的取值范围【答案】（1）当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；（2） .【分析】（1）由题意求出函数 的导函数，对 与 讨论 的单调性.解（1）由题 ，定义域为 ，所以 当 时， ，所以函数 在 上单调递减；当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减综上，当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减【变式演练】1.
36、已知函数 .（1）讨论 的单调性.（2）当 时，证明： .【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导得 ，分类讨论参数 范围可求 的单调性；（2）将不等式变形得 ，构造函数 ，通过 求出 最值，证明 即可得证.（1） 的定义域为 ， 若 ，恒有 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，若 ，令 ，得 ，若 ，恒有 在 上单调递增，若 ，当 时， ；当 时， ，故 在 和 上单调递增，在 上单调递减，若 ，当 时， ；当 时， ，故 在 和 上单调递增，在 上单调递减；2.设函数 ，其中 .（1）讨论 的单调性；（2）当 时，若 的图像与直线 没有公共点，求 的取值范围.【答案】（
37、1）答案见解析（2） 【分析】（1）先求出函数定义域，然后求出函数的导函数，分类讨论确定 和 的范围，得单调区间；（2）由（1）得函数 的最小值为 ，由 可得结论（1） 定义域是 ， ， 或 ，若 ，则 ， 在 上是增函数，若 ，则在 时， ， 时， ， 的减区间是 ，增区间是 ；若 ，则在 时， ， 时， ， 的减区间是 ，增区间是 ；3.已知函数 （1）讨论函数 的单调性；（2）当 时，方程 有四个根，求实数 的取值范围【答案】（1）答案见解析（2） 或 【分析】（1）求导 ，分 ， ， ，讨论求解； 解： ，当 时，当 或 时， ，当 时， ，所以 的单调递减区间 ， ，单调递增区间 ；
38、当 时， 恒成立，所以 在 上递减；当 时，当 或 时， ，当 时， ，所以 的单调递减区间 ， ，单调递增区间 ；【题型八】 一元二次不能因式分解：判别式+韦达定理+求根公式【典例分析】已知函数 （ ）.（1）讨论 的单调性；（2）若 ，且正数 满足 ，证明 .【答案】（1）当 时， 在 单调递增，在 单调递减；当 时， 在 单调递增，在 单调递减；【分析】（1）先求定义域，再求导，分 与 两种情况讨论求出 的单调性；（2）代入 ，对 进行整理，把 与 的乘积和 与 的和分别放在等式的两边， ，求出等式右边的取值范围，进而得到关于 的不等式，解出不等式的解集即可.（1） 定义域为 ， ，令
39、，当 时， ，令 得： ，令 得： ，所以 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，当 时， ，此时 ， ，其中由定义域可得： 舍去，从而当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，综上：当 时， 在 单调递增，在 单调递减；当 时， 在 单调递增，在 单调递减【变式演练】1.已知函数 .（1）求函数 的单调区间；（2）设 存在两个极值点 ，且 ，若 ，求证： .【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）先把函数进行求导并进行化简，由题意知， ，在对 进行讨论即可得到答案.（2）由（1）知在 时， 存在两个极值点 ，利用韦达定理求出 的关系式，并用 分别表示出 和 ，把 代入 中进行化简，
40、 ，所以可以求出最小值，即可证出 .（1）由题意可知 ， ，当 时， ，则 在 是单调递增；当 时，若 ，即 时， 若 ，即 时， 和 时， 时， ，综上， 时， 在 是单调递增； 时， 在 和 递增，在 递减2.已知函数 （ ）（1）讨论 的单调性（2）当 时，若函数 的两个零点为 ，判断 是否其导函数 的零点？并说明理由【答案】（1）当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减； 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增； 在 上单调递减；（2）不是，理由见解析；【分析】（1）先求导 ，然后结合导数与单调性关系对参数 进行讨论即可得解；（2）要判断 是否其导函数 的零点，问题转化为
41、是否成立，结合函数的性质进行求解.【详解】（1）函数 ，定义域为 求导 （i）当 时， ， 在 上单调递减；当 时，令 ，其 令 ，得 ， （ii）当 时， ， （舍去），当 时， ， 在 上单调递减；当 时， ， 在 上单调递增；（iii）当 时， ， （舍去），当 时， ， 在 上单调递增；当 时， ， 在 上单调递减；综上可知，当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减； 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增； 在 上单调递减；3.已知函数 （1）讨论 的单调性；（2）当 时， ，求 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）由题知 ，再分 和 两种情况讨论
42、求解即可；（2）根据题意 ，故令 ， ，将问题转化为 .由于 ，再分 ， ， 三种情况讨论求解即可.（1）解：函数的定义域为 ， ， 所以当 ，即 时， 恒成立，函数 在 上单调递增；当 ，即 或 时，令 得 ，令 ，所以 的解集为 ， 的解集为 ，所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减；综上，当 时， 在 上单调递增；当 或 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；【题型九】 双线法：指数型【典例分析】已知函数 （1）讨论函数 的单调性；（2）若函数 有两个不同的零点，求 的取值范围【答案】（1）答案见解析；（2） ， .【分析】（1）对 进行求导，对 进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性，即可得出函数 的单调性；解： ，当 时， 恒成立，令 ，则 ，所以 的单调增区间为 ，令 ，则 ，所以 的单调减区间为 ；当 时，令 ，则 或 ，（）当 ，即 时，令 ，则 或 ，令 ，则 ，所以 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；【变式演练】1.已知函数 ，其中 （1）讨论 的单调性；（2）若 ，设 ，求证：函数 在区间 内有唯一的一个零点【答案】（1）当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减.（2）证明见解析【分析】（1）求出 后，分 ， ， 三种情况，由 的正负确定函数的单调性；（2）
