1、2025年高考数学一轮复习-解析几何中优化运算的方法-专项训练一、基本技能练1.设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则AOB的面积为()A. B. C. D.2.已知椭圆C：1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1的斜率的取值范围是()A. B.C. D.3.已知斜率为k(k0)的直线l与抛物线C：y24x交于A，B两点，O为坐标原点，M是线段AB的中点，F是C的焦点，OFM的面积等于3，则k()A. B. C. D.4.椭圆1上的点到直线x2y0的最大距离是()A.3 B. C.2
2、 D.5.已知点A(0，)，B(2，0)，点P为函数y2图象上的一点，则|PA|PB|的最小值为()A.12 B.7C.3 D.不存在6.已知椭圆：1(ab0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与相交于A，B两点，且3，则k()A.1 B.2 C. D.7.抛物线y22px(p0)的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|8，则抛物线的方程为_.8.已知点P为椭圆：y21内一定点，经过点P引一条弦，使此弦被点P平分，则此弦所在的直线方程为_.9.已知双曲线1(a0，b0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线
3、的右焦点F，若ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为_.10.已知双曲线C1：1(a10，b10)与C2：1(a20，b20)有相同的渐近线，若C1的离心率为2，则C2的离心率为_.11.已知椭圆C：1(ab0)，直线l：ykxa，直线l与椭圆C交于M，N两点，与y轴交于点P，O为坐标原点.(1)若k1，且N为线段MP的中点，求椭圆C的离心率；(2)若椭圆长轴的一个端点为Q(2，0)，直线QM，QN与y轴分别交于A，B两点，12.在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|MF2|2.记M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点T在直线x上，过T的两条直线分
4、别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|TB|TP|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.二、创新拓展练13.(多选)已知斜率为的直线l经过抛物线C：y22px(p0)的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|8，则以下结论正确的是()A.1 B.|AF|6C.|BD|2|BF| D.F为AD中点14.已知A，B是抛物线y24x上的两点，F是焦点，直线AF，BF的倾斜角互补，记AF，AB的斜率分别为k1，k2，则_.15.已知P是圆C：(x2)2(y2)21上一动点，过点P作抛物线x28y的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB斜率的最
5、大值为_.16.已知点A为圆B：(x2)2y232上任意一点，定点C的坐标为(2，0)，线段AC的垂直平分线交AB于点M.(1)求点M的轨迹方程；(2)若动直线l与圆O：x2y2相切，且与点M的轨迹交于点E，F，求证：以EF为直径的圆恒过坐标原点.参考答案与解析一、基本技能练1.答案D解析抛物线C：y23x中，2p3，p，故SOAB.2.答案B解析由周角定理得kPA1kPA2，又kPA22，1，kPA1.3.答案B解析设AB的中点M(x0，y0)，由中点弦的性质得k(y00).由抛物线方程知p2，所以k，另焦点F(1，0)，又SOFM3，可知1y03，所以y06，再代入k.4.解析设椭圆1上的
6、点P(4cos ，2sin )，则点P到直线x2y0的距离为d，所以dmax，故选D.5.答案B解析由y2，得x21(y0).设点A(0，)，即点A(0，)，A(0，)为双曲线x21的上、下焦点.由双曲线的定义得|PA|PA|4，则|PA|PB|4|PA|PB|4|BA|7，当且仅当B，P，A共线时取等号，故选B.6.答案D解析依题意a2b，e，因为3，所以3，设直线的倾斜角为，则e得，|cos |，又k0，得cos ，所以ktan .7.答案y22x解析|AB|8p8，p1，抛物线的方程为y22x.8.答案2x4y30解析直线与椭圆交于A，B，P为AB中点.由kABkOP得kAB1，即kAB
7、，则直线方程为y，即2x4y30.9.答案解析如图.设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，因为以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F(c，0)，所以SAFFSABF2a2且FAF，根据双曲线焦点三角形面积公式，得SAFF.所以2a2b2，即2，e.10.答案解析设双曲线C1，C2的半焦距分别为c1，c2，因为C1的离心率为2，所以C1的渐近线方程为yxxxx，所以C2的渐近线方程为yxx，所以，所以C2的离心率为.11.解(1)由题意知直线l：yxa与x轴交于点(a，0)，点M为椭圆C的左顶点，即M(a，0).设N，代入椭圆C：1得1，即，则e21，e，即椭圆C的离心率e.(2)由题意得a2，
8、椭圆C：b2x24y24b2(b0)，联立消去y得(4k2b2)x216kx164b20，直线QM：y(x2)，A，.yMkxM2，yM2kxM，即，同理，4b21，即b23，椭圆C的标准方程为1.12.解(1)因为|MF1|MF2|20，b0)，半焦距为c，则2a2，c，得a1，b2c2a216，所以点M的轨迹C的方程为x21(x1).(2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为零，设直线AB的方程为ytk1(k10)，直线PQ的方程为ytk2(k20)，由得(16k)x22k1x160.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由题意知16k0，则xAxB，xAxB，所以|TA|，|
9、TB|，则|TA|TB|(1k)(1k)(1k).同理得|TP|TQ|.因为|TA|TB|TP|TQ|，所以，所以k16kk16kk16kk16k，即kk，又k1k2，所以k1k2，即k1k20.故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.二、创新拓展练13.答案BCD解析法一如图，过点B作x的垂线，垂足为B，F，直线l的斜率为，则直线l的方程为y，联立得12x220px3p20.解得xA，xB，由|AB|AF|BF|xAxBp8，得p3.所以抛物线方程为y26x.则|AF|xA2p6，故B正确；所以|BF|8|AF|2，|BD|4，|BD|2|BF|，故C正确；所以|AF|DF|6，则F为AD
10、中点，故D正确；而，故A错误.法二设直线AB的倾斜角为，利用抛物线的焦点弦的性质，由|AB|8，则p3，|AF|6，|BF|2，在RtDBB中，cos ，所以|BD|4，|DF|BF|BD|6，因此F为AD中点.故选BCD.14.答案1解析F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的对称性，且两直线的倾斜角互补，所以(x2，y2)在直线AF上，直线AF：yk1(x1)，代入y24x，化简可得kx2(2k4)xk0，根据韦达定理，可得又k2，所以k，故1.15.答案解析由题意可知，PA，PB的斜率都存在，分别设为k1，k2，切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设P(m，n
11、)，过点P的抛物线的切线为yk(xm)n，联立得x28kx8km8n0，因为64k232km32n0，即2k2kmn0，所以k1k2，k1k2，又由x28y得y，所以x14k1，y12k，x24k2，y22k，所以kAB，因为点P(m，n)满足(x2)2(y2)21，所以1m3，因此，即直线AB斜率的最大值为.16.(1)解圆B的圆心为B(2，0)，半径r4，|BC|4.连接MC，由已知得|MC|MA|，|MB|MC|MB|MA|BA|r4|BC|，由椭圆的定义知：点M的轨迹是中心在原点，以B，C为焦点，长轴长为4的椭圆，即a2，c2，b2a2c24，点M的轨迹方程为1.(2)证明当直线EF的斜率不存在时，直线EF的方程为x，E，F的坐标分别为，或，0.当直线EF斜率存在时，设直线EF的方程为ykxm，EF与圆O：x2y2相切，即3m28k28.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2，(*)联立消去y得(12k2)x24kmx2m280，x1x2，x1x2，代入(*)式得(1k2)m2，又3m28k28，0，综上，以EF为直径的圆恒过定点O.
