1、课件园 中国教育学会中学数学教学专业委员会中国教育学会中学数学教学专业委员会 第七届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动第七届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动 教学设计教学设计 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 兰州市第二中学兰州市第二中学 张张 静静 课件园 “直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定”教学设计教学设计 授课教师：张静授课教师：张静 学校：兰州市第二中学学校：兰州市第二中学 教学背景分析教学背景分析 教学内容分析：教学内容分析： （一）内容 1.直线与平面垂直的定义；2.直线与平面垂直的判定定理；3. 直线与平面垂直的定义与判定定理的 简单应用. （二）内
2、容解析 本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分. 直线与平面垂直的研究是直线与直线 垂直研究的继续，也为平面与平面垂直的研究做了准备；这三类垂直问题的主线是类似的，都是以定义 判定性质为主线， 判定定理的教学， 尽管新课程在必修课程中不要求证明， 但通过定理的探索过程， 培养学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务. 本节学习内容蕴含丰富的数学思想， 即 “空间问题转化为平面问题” ， “无限问题转化为有限问题” ， “线 线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁， 为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础
3、。 学情分析及教学问题诊断：学情分析及教学问题诊断： （一） 学情分析 学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直 线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实） ，这为学生学习直 线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。 （二）教学问题诊断 1.如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，让学生认识到线面垂直是由线 线垂直来刻画的，逐步形成概念体系，体会其中的转化思想，这对于高一的学生来讲还比较困难.因此， 在设计教学时， 首先通过一组图片让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象， 然后将其抽象为几
4、何图形， 课件园 再用数学语言对几何图形进行精确的描述，让学生在观察动画的演示过程中体会直线与平面垂直定义的合 理性. 2.用定义去判定直线与平面垂直是不方便的，如何在较短的时间内，让学生找到判定直线与平面垂直 的简便方法，这对于学生来说又是一个难题.因此，在教学过程中，通过折纸试验，精心设置问题，并且 引导学生通过动手操作、摆出反例模型，然后借助动画加深对定理的两个关键条“双垂直”和“相交”的 理解和确认. 教学方式：教学方式： 以问题为导向，采用启发式与试验探究式相结合的教学方式 在启发教学过程中，以问题引导学生思维.教学设计突出问题链的设计，教学过程中，随着学生思维 的发展，问题设置层层
5、递进，环环相扣，使学生对问题的思考逐步深入，思维水平不断提高.尝试通过试 验的方法进行立体几何的教学.本节课立足教材，引导学生通过直观感知、操作确认得出数学结论，把合 情推理作为一个重要的推理方式融入到学生的学习过程中. 教学手段：教学手段： 多媒体辅助教学 目标与目标解析目标与目标解析 （一）教学目标 1.理解并掌握直线与平面垂直的定义和判定定理；能对定义与判定定理进行简单应用. 2.通过对定义和判定定理的探究和运用，初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能力. 3.通过对探究过程的引导，努力提高学生学习数学的热情，培养学生主动探究的习惯. （二）教学重点 操作确认并概括出直线与平面的定义和判
6、定定理的过程及初步应用. （三）教学难点 探究、归纳直线与平面垂直的的定义和判定定理，体会定义和定理中所包含的转化思想及初步应用. 课件园 教学流程示意教学流程示意 教学过程教学过程( (表格描述表格描述) ) 教学阶段教学阶段 教师活动教师活动 师生活动师生活动 联系生活联系生活 直观感知直观感知 问题问题 1 1：请同学们观察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱 与水面是什么位置关系？ 问题问题 2 2：唐代诗人王维在他的诗使至塞上中，写下千 古绝句： “大漠孤烟直，长河落日圆.”前一句中描写的意 境：荒凉的大漠上，一缕烽烟冲天而起，既显得孤独，又 格外醒目， “孤烟”后随一“直”字，使景物一下
7、变得劲 拔有力， 这其中又体现了什么垂直关系？你能再举出几个 实际生活中直线与平面垂直的例子吗？ 【设计意图】【设计意图】 借助学生已有的生活经验和知识水平引出课 题，自然生动，既提高了学生学习数学的兴趣，又体现了 数学生活化. 观察图片，将图片中 的实物抽象为几何图形， 直观感知直线与平面的 垂直. 发挥想象，构思意 境，进一步体会直线与平 面的垂直. 引导学生主动思考， 举出更多实例. 观察思考观察思考 问题问题 4 4： （1）在阳光下观察直立于地面旗杆 AB 及它在地 面的影子 BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系 是什么？随着时间的推移呢？ （2）旗杆 AB 与地面上任意一条不
8、过旗 杆底部B的直线B1C1的位置关系又是 什么？ 【设计意图】【设计意图】 借助多媒体的动态演示过程构建直线与平面 引导学生观察直立 于广场上的旗杆与它在 地面影子的关系，让学生 自然构建直线与平面垂 直的定义. 联系生活 直观感知 动画演示 揭示定义 课后作业 探究学习 试验探究 操作确认 讲练结合 巩固应用 定 义 辨 析 深化理解 总结提高 画龙点睛 课件园 动画演示动画演示 揭示定义揭示定义 垂直的定义， 可以帮助学生建立对定义的完整表象， 既真 实又有效. 并引导学生用“平面化”的思想来思考问题， 进一步概括直线与平面垂直的本质属性. 抽象概括抽象概括 问题问题 5 5：通过上述观
9、察分析，你认为应该如何定义一条直 线与一个平面垂直？ 定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂 直，我们就说直线l与平面互相垂直记作：l. 直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面直 线与平面垂直时，它们唯一的公共点 P 叫做垂足 画法：画直线与平面垂直时， 通常把直线画成与表示平面的平行 四边形的一边垂直. 【设计意图】【设计意图】提高学生的抽象概括 能力，体会定义的严谨性. 学生思考作答，教师 补充完善，指出定义中的 “任意一条直线”与“所 有直线”是同义词，定义 是说这条直线和平面内 所有直线垂直同时给出 线面垂直的记法与画法 定义辨析定义辨析 深化理解深化理解 辨析：下列命题是否正
10、确，为什么？ （1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那 么这条直线与这个平面垂直 （2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直 于这个平面内的任一直线 【设计意图】【设计意图】通过问题辨析，加深概念的理解，掌握概 念的本质属性由（1）使学生明确定义中的“任意一条 直线”是“所有直线”的意思，定义的实质就是直线与平 面内所有直线都垂直由（2）使学生明确，线面垂直的 定义既是线面垂直的判定又是性质， 线线垂直与线面垂直 可以相互转化. 引导学生主动思考 辨析，再通过学生小组合 作，利用现有工具摆出反 例模型，提高学生动手能 力，和小组探究意识. 最后教师用多媒体 课件展示反例的直观
11、图. 试验探究试验探究 操作确认操作确认 观察猜想观察猜想 问题问题 6 6：我们该如何检验学校广场上的旗杆是否与地面垂 直？用直线与平面垂直的定义方便检验吗？ 问题问题 7 7：如何将一本书直立于课桌之上（或观察跨栏、简 易木架等实物） ， 你能猜想出判断一条直线与一个平面垂 直的方法吗？ 引导学生观察思考， 给出猜想：一条直线与一 个平面内两相交直线都 垂直，则该直线与此平面 垂直 课件园 【设计意图】【设计意图】 通过问题思考与实例分析， 寻找具有可操作 性的判定方法，体验有限与无限之间的辩证关系 操作确认操作确认 探究试验： 如图， 请同学们拿出准备好的一块 （任意） 三角形的纸片，我
12、们一起来做一个实验：过ABC 的顶点 A 翻折纸片， 得到折痕 AD， 将翻折后的纸片竖起放置在桌 面上，（BD、DC 与桌面接触）.观察并思考： （1）折痕 AD 与桌面垂直吗？ （2）为什么 AD 与桌面不垂直？ （3）如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直？ （4）为什么 AD 与桌面垂直？（引导学生用定义确认） （5）由此实验，你能得出什么结论？ 【设计意图】【设计意图】1.通过试验，引导学生独立发现直线与平面 垂直的条件，培养学生的动手操作能力和几何直观能 力2.从另一个角度理解定义：如果要说明一条直线与平 面不垂直，只需在平面内找到一条直线与它不垂直就够 了. 合情推理 定
13、理：一条直线与一个平面内的定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线两条相交直线都垂都垂 直，则该直线与此平面垂直直，则该直线与此平面垂直 “线不在多，相交则行” 用符号语言表示为： 图形语言： 师生活动：在折纸试 验中， 学生会出现 “垂直” 与“不垂直”两种情况， 引导学生进行交流，根据 直线与平面垂直的定义 分析 “不垂直” 的原因 学 生再次折纸，进而探究直 线与平面垂直的条件，经 过讨论交流，使学生发现 只要保证折痕 AD 是 BC 边 上的高，即 ADBC，翻折 后折痕AD就与桌面垂直， 再利用多媒体演示翻折 过程，增强几何直观性 教师进行动画演示， 使学生加深对定理的两 个关键条
14、“双垂直” 和 “相 交”的理解和确认. 图图1 1 D C A B 图图2 2 D B A C 课件园 A E F K V C B 【设计意图】【设计意图】 引导学生根据直观感知及已有知识经验， 进 行合情推理，获得判定定理，并体会将空间问题平面化， 无限问题有限化的转化思想. 讲练结合讲练结合 应用提高应用提高 典例精析典例精析 例例 1.1.已知：ba/，a, 求证：b 【设计意图】【设计意图】初步感受如何运 用直线与平面垂直的判定定理 与定义解决问题，明确运用线面垂直判定定理的条件 变式引申变式引申 1 1：如图，在三棱锥 V-ABC 中，VAVC，ABBC， K 是 AC 的中点 （
15、1）求证：AC平面 VKB； （2）求证：VBAC； （3）若 E、F 分别是 AB、BC 的中点，试判断 EF 与平面 VKB 的位 置关系. 【设计意图】【设计意图】 在定义和判定定理之外， 例又给出了第三 种证明直线与平面垂直的方法， 构造这道变式引申题的目 的就是让学生在用中将其内化 变式引申变式引申 2 2：如图，PA圆 O 所 在平面，AB 是圆 O 的直径，C 是 圆周上一点， 则图中有几个直角 三角形? 由此你认为三棱锥中 最多有几个直角三角形？ 【设计意图】【设计意图】 进一步巩固对直线与平面垂直的定义和判定 定理的简单应用. 课后课后探究：探究：如图，直四棱柱 （侧棱与底面
16、垂直的棱柱称 为直棱柱）中，底面四边形 满 足 什 么 条 件 时 ， ？ 【设计意图】【设计意图】 鼓励学生主动探究， 能合理寻找平面证线面 垂直从而得出线线垂直，体会转化思想在证题中的作用 教师引导，学生解 答，并分享思维过程、展 示解答过程，教师给予及 时评价和纠正. 例题1有学生展示解 题思路；变式 1 由学生上 黑板板演；变式 2 由学生 阐述观点，并展示思维过 程. 总结提高总结提高 画龙点睛画龙点睛 总结提问： （1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面 垂直的方法？ （2）上述判断直线与平面垂直的方法体现的什么数学思 想？ 学生发言，互相补充，教 师点评完善，归纳出判断
17、 直线与平面垂直的方法， 给出框图（投影展示） 。 a b C 课件园 体现将空间问题转化为平面问题的转化思想体现将空间问题转化为平面问题的转化思想 【设计意图】【设计意图】 回顾和总结本节课的主要内容， 优化重组认 识结构，并鼓励学生多总结，多反思. 课后作业课后作业 巩固提高巩固提高 1.（必做题） （1）课本 P67 练习 1,2. （2）数学日记 姓名： 年 月 日 今天数学课的课题是： 涉及的重要知识有： 理解得最好的地方是： 不明白或还需要进一步理解的地方是： 2.（选做题）研究性作业 你能否通过信息技术、 阅读书籍等方式搜集有关 “垂 直”的材料，并以生活中的垂直为题写一篇数学小
18、 论文. 【设计意图】【设计意图】 进一步巩固新知， 提高运用直线与平面垂直 的定义和判定定理解决问题的能力； 教学日记的设计可以 鼓励学生反思所学， 提高认知； 研究性作业的设计可以提 高学生独立思考、 自主探究的能力， 满足学有余力的同学 需要. 学生自主完成，教师评阅 效果评价效果评价 本节课在教师的引导下，学生认真参与、积极探索，学习热情较高通过学习理 解并掌握直线与平面垂直的定义和判定定理；能对定义与判定定理进行简单应用.在 抽象概括和观察猜想能力的提高等方面都有一定的进步，达到了本课教学目标 本节课教学设计的特色本节课教学设计的特色 （1 1） 体现数学生活化和数学的文化意境体现数
19、学生活化和数学的文化意境 本节课从生活实例出发，借助学生已有的生活经验和知识水平引出课题，使教材生动、自然而亲切， 既提高了学生学习数学的兴趣，又体现了数学生活化，生活离不开数学，数学是有用的. 通过古诗词的引入不但丰富了数学课堂的文化意涵，增加了学生的学习兴趣，更值得强调的是，它能 线 线 垂 直 线 面 垂 直 如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直， 那么另外一条直线也与此平面垂直 线面垂直的判定定理（两相交直线） b 线面垂直的定义（任意直线） b 课件园 够帮助学生克服认知上的困难.结合高中生的实际情况，在高中数学课堂中融入中国古代文学，应该能够 提高学生的认知水平. （2 2）
20、关注学生思维发展，充分体现“生本”的原则关注学生思维发展，充分体现“生本”的原则 学生是学习的主体，作为教师只有关注学生思维才能更好的起到主导作用本课中从对生活实例的观 察到学生思考举例引出课题；从“立竿见影”的动态演示到提炼定义；从跨栏架、简易木架猜想定理，到 折纸试验学生操作确认定理等等过程，都想学生传达一个信息：我们的课堂是生动的、有趣的，充满了民 主、平等和关爱.整节课都是以学生为中心，教师扮演的是组织者、引导者和参与者的角色，让学生真正 成为了课堂的主人. （3 3）充分运用构建主义的思想）充分运用构建主义的思想 构建主义认为， 知识的获得不是通过教师传授得到的， 而是学习者在一定的情境下， 借助他人的帮助， 利用必要的学习资料，通过意义构建的方式而获得的.因此，在教学过程的设计上，更加注重学生的探索 过程，充分向学生展示知识的发生、发展过程，而不是将知识强加给学生.本节课的教学遵循新课标要求， 立体几何的学习采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质.
