1、微专题常考全等模型微专题常考全等模型模型一平移型模型一平移型模 型 分 析模 型 分 析模型展示模型展示已知已知BECF，ABDE，ACDF.模型特点模型特点沿同一直线沿同一直线(BC)平移可得两个三角形重合平移可得两个三角形重合解题思路解题思路证明三角形全等的关键：证明三角形全等的关键：(1)加加(减减)CE，得，得BCEF；(2)利用平行线性质找对应角相等利用平行线性质找对应角相等模 型 应 用模 型 应 用1.如图，点如图，点B，E，C，F在一条直线上，在一条直线上，ABDF，ACDE，BECF.求证：求证：AD.第1题图证明：证明：BECF，BEECCFEC，即，即BCEF.在在ABC
2、和和DFE中，中，ABCDFE，AD.,ABDFACDEBCFE 模型二轴对称型模型二轴对称型模 型 分 析模 型 分 析模型模型展示展示有公共边有公共边有公共顶点有公共顶点模型模型特点特点 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合两个三角形完全重合 解题解题思路思路 证明三角形全等的关键：证明三角形全等的关键：(1)找公共角、垂直、对顶角、等腰找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等；等条件得对应角相等；(2)找公共边、中点、等底角、相等边、找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边
3、相等线段的和差等条件得对应边相等模 型 应 用模 型 应 用2.如图，四边形如图，四边形ABCD中，中，ABAD，AC、BD是对角线，是对角线，12.求证：求证：BCD是等腰三角形是等腰三角形第2题图证明：在证明：在ABC与与ADC中，中，ABCADC；BCDC，BCD是等腰三角形是等腰三角形12,ABADACAC 3.如图，已知如图，已知BEAC，CDAB，垂足分别为，垂足分别为E，D，BE与与CD相交相交于点于点F，FDFE.(1)求证：求证：ADAE；第3题解图(1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接AF，BEAC，CDAB，FDFE，AEFADF90，在在RtADF和和RtAEF中，
4、中，RtADFRtAEF，ADAE；,FDFEAFAF (2)已知已知AC5，FE1，求四边形，求四边形ABFC的面积的面积(2)解：解：BEAC，CDAB，CEFBDF90，在在BDF和和CEF中，中，BDFCEF，DFEF，SBDFSCEF，,BDFCEFFD FEDFBEFC 第3题解图由由(1)知知RtADFRtAEF，SADFSAEF，S四边形四边形ABFC2(SAEFSCEF)2SACF2 ACFE2 515.1212第3题解图模型三一线三等角型模型三一线三等角型模 型 分 析模 型 分 析模型模型展示展示两个三两个三角形在角形在直线同直线同侧侧锐角一线三等角锐角一线三等角 直角一
5、线三垂直直角一线三垂直钝角一线三等角钝角一线三等角模型模型展示展示两个三角两个三角形在直线形在直线异异侧侧已知已知123结论结论当当 ACBP或或 APBD或或 CPPD时，时，CAP PBD解题解题思路思路利用三角形内角和为利用三角形内角和为180及内外角关系，通过等角代换得到一及内外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，构造组相等的角，构造AAS或或ASA证明三角形全等证明三角形全等锐角一线三等角锐角一线三等角直角一线三垂直直角一线三垂直钝角一线三等角钝角一线三等角模 型 应 用模 型 应 用4.如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB4，BC6，点，点E是是DC延长线上的一延长线上的
6、一点，连接点，连接BE，过点，过点E作作EFBE，与，与AD的延长线交于点的延长线交于点F，若，若CE2，求证：求证：BEEF.第4题图证明：证明：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，BCEEDF90，EFBE，BEF90，CBEBEC90，BECDEF90，CBEDEF，AB4，BC6，CE2，BCDE，在在BCE和和EDF中，中，BCEEDF，BEEF.,BCEEDFBCEDCBEDEF 第4题图5.如图，在如图，在ABC中，点中，点D，E，F分别在分别在AB，BC，AC上，上，BCDEF60，BDCE.求证：求证：DEEF.第5题图证明：证明：BBDEBED180，DEFFECBED18
7、0，BDEF60，BDECEF；在在BDE和和CEF中，中，BDECEF，DEEF.,BCBD CEBDECEF 模型四不共顶点旋转型模型四不共顶点旋转型(沈阳沈阳4考；抚本铁辽葫考；抚本铁辽葫5年年5考考)模 型 分 析模 型 分 析模型模型展示展示已知已知BFCE，ABDE，ACDF.不共顶点不共顶点模型模型特点特点(1)不共顶点旋转问题，绕某一点旋转，再平移可得两三角形重不共顶点旋转问题，绕某一点旋转，再平移可得两三角形重合；合；(2)共顶点旋转问题共顶点旋转问题(手拉手模型手拉手模型)解题解题思路思路证明三角形全等的关键：由证明三角形全等的关键：由BFCEBFCFCECFBCEF；利用
8、平行线性质找对应角相等；利用平行线性质找对应角相等模 型 应 用模 型 应 用6.如图，点如图，点B，C，E，F在同一直线上，点在同一直线上，点A，D在在BC的异侧，的异侧，ABCD，BFCE，BC.(1)求证：求证：AEDF.第6题图(1)证明：证明：BFCE，BFEFCEEF，即即BECF，在在ABE和和DCF中，中，ABEDCF，AEBDFC，AEDF；,AB DCBCBECF 第6题图(2)若若AD144，C30，求，求AEC的度数的度数(2)解：解：ABEDCF，AD，BC30，AD144，A72，AECAB7230102.第6题图模型五共顶点旋转型模型五共顶点旋转型(手拉手型手拉手
9、型)模 型 分 析模 型 分 析模型特点模型特点共顶点：点共顶点：点A；等线段：；等线段：ABAC，ADAE；等角度：；等角度：BACDAE模型展示模型展示 解题思路解题思路证明三角形全等的关键：证明三角形全等的关键：(1)共顶点：加共顶点：加(减减)共顶点的公共共顶点的公共角角BAE得一组对应角相等；得一组对应角相等；(2)利用已知两组边相等或者利用已知两组边相等或者等腰、等边、正方形、菱形等得到两组对应边相等等腰、等边、正方形、菱形等得到两组对应边相等结论结论CAEBAD(SAS)，BDCE，BPCBAC(“8字型字型”证角相等证角相等)模 型 应 用模 型 应 用7.如图，两个等腰直角如
10、图，两个等腰直角ADC与与EDG，ADCEDG90，连接连接AG，CE交于点交于点H.求证：求证：AGCE.第7题图证明：证明：ADC与与EDG是等腰直角是等腰直角三角形，三角形，ADCD，DGDE，且，且ADCGDE90，ADGCDE，在在ADG与与CDE中，中，ADGCDE，AGCE.,AD CDADGCDEDGDE 第7题图 8.如图，点如图，点P是等边是等边ABC内的一点，连接内的一点，连接PA、PB、PC，以，以BP为一为一边作边作PBQ60，且，且BQBP，连接，连接PQ，CQ.试观察猜想试观察猜想AP与与CQ的大小关系，并加以证明的大小关系，并加以证明第8题图证明如下：证明如下：
11、ABC是等边三角形，是等边三角形，ABACBC，ABC60；又又PBQ60，ABCPBQ，ABPCBQ；解：猜想：解：猜想：APCQ；在在ABP和和CBQ中，中，ABPCBQ，APCQ.,ABBCABPCBQBPBQ 第8题图模型六旋转半角型模型六旋转半角型模 型 分 析模 型 分 析模型特点模型特点ABAC，BAC90，DAE45BAD90，EAF45BDC120，EDF60模型展示模型展示解题思路解题思路通过旋转一定角度将另外两个角拼接在一起，构造的三角通过旋转一定角度将另外两个角拼接在一起，构造的三角形与半角所在的三角形全等，得出线段的数量关系形与半角所在的三角形全等，得出线段的数量关系
12、结论结论AEDAEF；CEF为直角三为直角三角形；角形；BD2CE2DE2AEFAEG；AGF为等腰直为等腰直角三角形；角三角形；EFBEDFDEFDGF；EFBECF模 型 应 用模 型 应 用9.在在MAN内有一点内有一点D，过点，过点D分别作分别作DBAM，DCAN，垂足分，垂足分别为别为B，C.且且BDCD，点，点E，F分别在边分别在边AM和和AN上若上若BDC120，EDF60，猜想，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由你的结论成立的理由第9题图解：解：EFFCBE，理由：如解图，过点理由：如解图，过点D作作CDGBDE，交，交AN于点于
13、点G，G在在BDE和和CDG中，中，BDECDG，DEDG，BECG.BDC120，EDF60，BDECDF60.FDGCDGCDF60，EDFGDF.,EBDGCDBD CDBDECDG 第9题图G在在EDF和和GDF中，中，EDFGDF.EFGF，EFFCCGFCBE.,DEDGEDFGDFDFDF 第9题图G模型七对角互补型模型七对角互补型模 型 分 析模 型 分 析模型特点模型特点ABCADC90，ADCD，BD平分平分ABCABC120，ADC60，ADCD，BD平分平分ABC模型展示模型展示解题思路解题思路常过顶点作角两边的垂线，构造全等三角形常过顶点作角两边的垂线，构造全等三角形
14、结论结论 ABBC2BF ABBC2BFBD2BD模 型 应 用模 型 应 用10.在在ABC中，中，BAC90，ABAC，ADBC于点于点D.点点M在在AD的延长线上，点的延长线上，点N在在AC上，连接上，连接BM，MN，且，且BMN90，求证：，求证：ABAN AM.2第10题图证明：如解图，过点证明：如解图，过点M作作MEBC交交AB的的延长线于点延长线于点E，EAME90，BAC90，ABAC，ABCAEM45，则则AE AM，E45，MEMA，2AME90，BMN90，BMEAMN，在在BME和和NMA中，中，BMENMA，BENA，ABANABBEAE AM.,EMANMEMABM
15、ENMA 2第10题图E综合训练综合训练第1题图1.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ABBC，ABCCDA90，BEAD于点于点E，AE3，BC5，则，则DE的长为的长为()A.3 B.4 C.5 D.8B第2题图2.条件开放性试题条件开放性试题如图，在如图，在ABC中，中，D是是BC边上的中点，边上的中点，BDECDF，请你添加一个条件，使，请你添加一个条件，使DEDF，你添加的条件是，你添加的条件是_(不再添加辅助线和字母不再添加辅助线和字母)BC或或BEDCFD3.如图，在如图，在ABC和和CDE中，中，ACBCED90，ACCE，点点B是是EC的中点，若的中点，若ABCD于
16、点于点F，DE10，则，则AE的长为的长为_第3题图20 2第4题图4.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AB90，P是是AB上一点，连接上一点，连接PC，PD，且，且PCPD，DPC90.求证：求证：ADBCAB.证明：证明：DPCAB90，ADPAPD90，BPCAPD90，ADPBPC，在在ADP与与BPC中，中，ADPBPC(AAS)，ADBP，APBC，ADBCBPAPAB，即即ADBCAB.,ABADPBPCPD CP 第4题图第5题图5.在在ABC中，中，ACB90，ACBC，D是直线是直线AB上一点上一点(点点D不不与点与点A、B重合重合)，连接，连接DC并延长到并延
17、长到E，使得，使得CECD，过点，过点E作作EFBC，交，交BC延长线于点延长线于点F.(1)如图如图，当点，当点D为线段为线段AB的上任意一点时，用等式表示线段的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；的数量关系，并证明；解：解：(1)结论：结论：ACEFFC，证明：如解图证明：如解图，过点，过点D作作DHCB于点于点H，HEFCF，EFCDHC90，在在FEC和和HDC中，中，FECHDC，FCHC，EFDH，DHB90，B45，DHHBEF，ACBCCHBHFCEF；90,EFCDHCFCEHCDECDC 第5题图H(2)如图如图，当点，当点D为线段为线段BA的延
18、长线上一点时，依题意补全图的延长线上一点时，依题意补全图，猜，猜想线段想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明的数量关系是否发生改变，并证明(2)依题意补全图形如解图依题意补全图形如解图，结论：，结论：EFFCAC，理由如下：如解图理由如下：如解图，过点，过点D作作DHCB交交BC的延长线于点的延长线于点H，EFCF，EFCDHC90，第5题图解图在在FEC和和HDC中，中，EFCDHC，FCHC，EFDH，DHB90，B45，DHHBEF，EFCHBCFCAC.,FCEHCDEFCDHCECDC 解图6.如图，点如图，点C为线段为线段BD上一点，上一点，ABC、CDE都是等边三角
19、都是等边三角形形AD与与CE交于点交于点F，BE与与AC交于点交于点G.(1)求证：求证：ACDBCE；(1)证明：证明：ABC，CDE是等边三角形，是等边三角形，ACBC，CDCE，ACBDCE60，ACBACEDCEACE，即即BCEACD，ACDBCE；第6题图(2)若若CFCG8，BD18，求，求ACD的面积的面积(2)解：由解：由(1)得得ACDBCE，CBGCAF，又又ACFBCG60，BCAC，BCGACF，SACFSBCG，CGCF，而，而CFCG8，CGCF4，第6题图第6题图MN如解图，过点如解图，过点G作作GMBD于点于点M，过点，过点F作作FNBD于点于点N，又又ACB
20、DCE60，GM CG ，FN CF ，SACDSACFSCDFSBCGSCDF BCGM CDFN (BCCD)BD18 .3232121212 2 3 2 3 2 333第7题图 7.如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，ABBC.点点D在边在边BC上，点上，点E、F在在线段线段AD上，上，12BAC.(1)求证：求证：BEAF；(1)证明：证明：1BAEABE，1BAC，BACBAEABE，BACBAECAF，ABECAF，1BAEABE，2CAFACF，12，BAEACF，ABAC，在在BAE和和ACF中，中，BAEACF，BEAF；,ABECAFABCABAEACF 第7题图(2)若若CD2BD，ABC的面积为的面积为15，求，求ACF与与BDE的面积之和的面积之和(2)解：由解：由(1)知知BAEACF，SBAESACF，CD2BD，SABC15，SABD 155，SACFSBDESBAESBDESABD5.ACF与与BDE的面积之和为的面积之和为5.13第7题图
