1、微专题微专题 二次函数与直角三角形问题二次函数与直角三角形问题例1题图微技能微技能分类讨论思想确定动点位置分类讨论思想确定动点位置一阶一阶例例1 如图，已知抛物线交如图，已知抛物线交x轴于轴于A、B两点两点(点点A在点在点B左侧左侧)，与，与y轴交于点轴交于点C.连接连接AC.一题多设问一题多设问探究探究1：在抛物线对称轴上找一点：在抛物线对称轴上找一点P使得使得ACP为直角三为直角三角形角形例1题图(1)若若AC为斜边时，为斜边时，APC90；在图；在图中画出所有满足条件的点中画出所有满足条件的点P的示意图的示意图(保留作图痕迹保留作图痕迹)；例例1 探究探究1：(1)满足条件的点满足条件的
2、点P如解图如解图例1题解图【作图依据】【作图依据】_直径所对圆周角等于直径所对圆周角等于90.例1题图(2)若若AC为直角边时，为直角边时，CAP_或或ACP_；在图；在图中画中画出所有满足条件的点出所有满足条件的点P的示意图的示意图(保留作图痕迹保留作图痕迹)；9090(2)满足条件的点满足条件的点P如解图如解图；例1题解图例1题图探究探究2：在抛物线上找一点：在抛物线上找一点E使得使得ACE为直角三角形在图为直角三角形在图中画中画出所有满足条件的点出所有满足条件的点E的示意图的示意图(保留作图痕迹保留作图痕迹).探究探究2:满足条件的点满足条件的点E如解图如解图、.例1题解图例1题解图【方
3、法总结】二次函数中直角三角形的存在性一般要分情况讨论：常【方法总结】二次函数中直角三角形的存在性一般要分情况讨论：常以已知边为以已知边为_或或_讨论；以自主探究讨论；以自主探究1为例，已知边为例，已知边AC为斜为斜边时，可以作以斜边边时，可以作以斜边AC为直径的圆，作图方法为：为直径的圆，作图方法为：_，所找点即为所找点即为_的交点；若已知边的交点；若已知边AC为直角边时，作图方法为：为直角边时，作图方法为：_，所找点即为，所找点即为_的交的交点点斜边斜边直角边直角边以以AC为直径画圆为直径画圆圆与对称轴圆与对称轴分别过点分别过点A，C作线段作线段AC的垂线的垂线垂线与对称轴垂线与对称轴【思考
4、】若动点在【思考】若动点在y轴上、轴上、x轴上时，确定动点位置有什么不同呢？轴上时，确定动点位置有什么不同呢？一题多设问一题多设问二阶二阶一题多设问一题多设问例例2 如图，已知抛物线如图，已知抛物线y x2 x2与与x轴交于轴交于A，B两点两点(点点A在点在点B的左侧的左侧)，与，与y轴交于点轴交于点C，连接，连接BC，对称，对称轴为直线轴为直线l，顶点为，顶点为M.例2题图(1)求点求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；的坐标及抛物线的对称轴；1232例例2 解：解：(1)令令y x2 x20，解得，解得x11，x24，点点A在点在点B的左侧，的左侧，点点A的坐标为的坐标为(1，0)，点，点B的
5、坐标为的坐标为(4，0)抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x ；12321+43=22 例2题图例2题图(2)若点若点G是是x轴上一点，当轴上一点，当OCG为等腰直角三角形时，请直接写出为等腰直角三角形时，请直接写出点点G的坐标；的坐标；【思维教练】由于点【思维教练】由于点G在在x轴上，可知轴上，可知COG90，要让它为等腰，要让它为等腰直角三角形，则需要分为当点直角三角形，则需要分为当点G在在x正半轴和负半轴两种情况讨论正半轴和负半轴两种情况讨论【解法提示】由题意知，点【解法提示】由题意知，点C的坐标为的坐标为(0，2)OC2.点点G在在x轴上，轴上，当当OCG为等腰直角三角形时，为等
6、腰直角三角形时，分点分点G在在x轴正半轴和负半轴两种情况讨论：轴正半轴和负半轴两种情况讨论：当点当点G在在x轴正半轴时，轴正半轴时，OCOG，OG2.点点G的坐标为的坐标为(2，0)；当点当点G在在x轴负半轴时，轴负半轴时，OCOG，OG2.点点G的坐标为的坐标为(2，0)综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点G的坐标为的坐标为(2，0)或或(2，0)；(2)点点G的坐标为的坐标为(2，0)或或(2，0)；例2题图例2题解图(3)抛物线对称轴上是否存在点抛物线对称轴上是否存在点Q，使得，使得OCQ是以是以OC为直角边的直为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点角三角形，若存在，请直接写
7、出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】【思维教练】OCQ是以是以OC为直角边的直角三角形，所以需分点为直角边的直角三角形，所以需分点O为为直角顶点和点直角顶点和点C为直角顶点两种情况讨论，进而求解为直角顶点两种情况讨论，进而求解【解法提示】如解图，【解法提示】如解图，点点Q在抛物线的对称轴上，在抛物线的对称轴上，设点设点Q的坐标为的坐标为(，q)，COQ是以是以CO为直角边的直角三角形，为直角边的直角三角形，当当COQ90时，点时，点Q是对称轴与是对称轴与x轴的交点，轴的交点，32此时点此时点Q的坐标为的坐标为(，0)；当；当OCQ90时，时，CQx轴，
8、轴，点点Q的坐标为的坐标为(，2)综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点Q的坐标为的坐标为(，0)或或(，2)；32323232(3)存在，点存在，点Q的坐标为的坐标为(，0)或或(，2)；3232例2题解图例2题图(4)若点若点N是对称轴上一点，是否存在点是对称轴上一点，是否存在点N使得使得NBC是直角三角形，是直角三角形，若存在，请直接写出点若存在，请直接写出点N的纵坐标；若不存在，请说明理由；的纵坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】点【思维教练】点N是对称轴是对称轴l上一点，当上一点，当NBC是直角三角形时，需分是直角三角形时，需分NCB，NBC，BNC为直角时三种情况进行讨论
9、，进而求解为直角时三种情况进行讨论，进而求解【解法提示】设点【解法提示】设点N的坐标为的坐标为(，t)，则则CN2()2(2t)2，BN2(4 )2t2，BC220，当当NBC是直角三角形时，分以下三种情况：是直角三角形时，分以下三种情况：当当NCB90时，时，NC2BC2NB2，即即()2(2t)220(4 )2t2，解得，解得t5；3232323232当当NBC90时，时，NB2BC2NC2，即即(4 )2t220()2(2t)2，解得解得t5；当当BNC90时，时，NB2NC2BC2，即即(4 )2t2()2(2t)220，解得解得t 或或 .综上所述综上所述,当当NBC是直角三角形时是
10、直角三角形时,点点N的纵坐标为的纵坐标为5或或5或或 或或 ；32323232-2+192-2192-2+192-2192(4)存在点存在点N的纵坐标为的纵坐标为5或或5或或 或或 ；-+2192-2192例2题图【拓展设问】点【拓展设问】点N是对称轴上一点，若是对称轴上一点，若NBC是锐角三角形时，请直是锐角三角形时，请直接写出点接写出点N的纵坐标的纵坐标n的取值范围的取值范围【思考】若【思考】若NBC是钝角三角形时，点是钝角三角形时，点N的纵坐标的纵坐标n的取值范围是什么的取值范围是什么【拓展设问拓展设问】由由(4)知，当知，当NCB90时，时，t5，当，当NBC90时，时，t5，当，当B
11、NC90时，时，t 或或t ，结合图象可知，当结合图象可知，当NBC是锐角三角形时，点是锐角三角形时，点N的纵坐标的纵坐标n的取值范的取值范围是围是5n 或或 n5；【思考】【思考】同理可得当同理可得当NBC是钝角三角形时，点是钝角三角形时，点N的纵坐标的纵坐标n的取值的取值范围是范围是n5或或 n 或或n5.-+2192-21922192 -+21922192 -+2192例2题图(5)点点D是是y轴上一点，其坐标为轴上一点，其坐标为(0，4)动点动点E是直线是直线BD上一点，过点上一点，过点E作作EFBD，交，交y轴于点轴于点F，连接，连接AF，BF，若若ABF是直角三角形，是直角三角形，
12、试求点试求点E的坐标的坐标【思维教练】点【思维教练】点F在在y轴上，所以当轴上，所以当ABF是直角三角形时，是直角三角形时，FAB和和FBA不可能是直角，所以只能是不可能是直角，所以只能是AFB为为直角，直角，当当AFB为直角时，注意要分点为直角时，注意要分点F在在y轴的正、负半轴轴的正、负半轴两种情况讨论两种情况讨论(5)点点D在在y轴上，且点轴上，且点D的坐标为的坐标为(0，4)，点，点B的坐标为的坐标为(4，0)，直线直线BD的函数表达式为的函数表达式为yx4，点点E是直线是直线yx4上一点，上一点，设点设点E的坐标为的坐标为(m，m4)，EFBD，易得直线易得直线EF的函数表达式为的函
13、数表达式为yx2m4.点点F的坐标为的坐标为(0，2m4)AF212(2m4)2，BF242(2m4)2，AB25225.例2题图点点F在在y轴上，轴上，只能有只能有AFB90.即即AF2BF2AB2.即即12(2m4)242(2m4)225.解得解得m1或或3.当当m1时，点时，点E的坐标为的坐标为(1，3)；当当m3时，点时，点E的坐标为的坐标为(3，1)综上所述，当综上所述，当ABF是直角三角形时，点是直角三角形时，点E的坐标为的坐标为(1，3)或或(3，1)例2题图综合训练综合训练三阶三阶第1题图1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc的图象与坐
14、标的图象与坐标轴相交于轴相交于A、B、C三点，其中三点，其中A点坐标为点坐标为(3，0)，B点坐标为点坐标为(1，0)，连接连接AC、BC.动点动点P从点从点A出发，在线段出发，在线段AC上以每上以每 秒个单位长度向秒个单位长度向点点C做匀速运动；同时，动点做匀速运动；同时，动点Q从点从点B出发，在线段出发，在线段BA上以每秒上以每秒1个单个单位长度向点位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接运动，连接PQ，设运动时间为设运动时间为t秒秒2(1)求求b、c的值的值解解:(1)抛物线抛物线yx2bxc经过点经过点A(3
15、，0)，B(1，0)，则则 ，解得解得bcbc=-+=-+09301bc=23第1题图第1题图(2)在在P、Q运动的过程中，当运动的过程中，当t为何值时，四边形为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最的面积最小，最小值为多少？小值为多少？(2)由由(1)得，抛物线表达式为得，抛物线表达式为yx22x3，C(0，3)，A(3，0)，OAC是等腰直角三角形，由点是等腰直角三角形，由点P的运动可知的运动可知AP t，2如解图，过点如解图，过点P作作PEx轴，垂足为轴，垂足为E，22tAEPE t，即，即E(3t，0)，E 43 3(1t)t t22t6，当其中一点到达终点时当其中一点到达终点时,另一点
16、随之停止运动另一点随之停止运动,AC ，AB4，0t3，0，当当t2时，四边形时，四边形BCPQ的面积最小，的面积最小，最小值为最小值为 222264；121212+=22333 21212E又又Q(1t，0)，S四边形四边形BCPQSABCSAPQ第1题图(3)在线段在线段AC上方的抛物线上是否存在点上方的抛物线上是否存在点M，使，使MPQ是以点是以点P为直为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，的坐标；若不存在，请说明理由请说明理由(3)存在点存在点M，使，使MPQ是以点是以点P为直角顶点的等腰直角三角形为直角顶点的等腰直角三
17、角形.理由如下：理由如下：点点M是线段是线段AC上方的抛物线上的点，上方的抛物线上的点，第1题解图如解图如解图，过点，过点P作作x轴的垂线，交轴的垂线，交x轴于点轴于点E，过过M作作EP的垂线交的垂线交EP的延长线于点的延长线于点F，PMQ是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，PMPQ，MPQ90，MPFQPE90，又，又MPFPMF90，PMFQPE，在在PFM和和QEP中，中，PFMQEP(AAS)，FQEPPMFQPEPMPQ=第1题解图MFPEt，PFQE42t，EF42tt4t，点点M的坐标为的坐标为(32t，4t)，点点M在抛物线在抛物线yx22x3上，上，4t(32t)22(32t
18、)3，解得解得t 或或 (舍去舍去)，点点M的坐标为的坐标为(，)9178 9178 3174 23178 第1题解图第2题图2.已知抛物线已知抛物线yax2bxc与与x轴交于轴交于A(2，0)、B(6，0)两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C(0，3)(1)求抛物线的表达式；求抛物线的表达式；解解:(1)设抛物线的表达式为设抛物线的表达式为ya(x2)(x6)，把点把点C(0，3)代入，得代入，得3a(02)(06)，解得解得a ，抛物线的表达式为：抛物线的表达式为：y (x2)(x6)x2x3；141414第2题图(2)点点P在直线在直线BC下方的抛物线上，连接下方的抛物线上，连接AP交交
19、BC于点于点M，当当 最大最大时，求点时，求点P的坐标及的坐标及 的最大值；的最大值；PMAMPMAM设点设点P的坐标为的坐标为(n，n2n3)(0n6)，则，则OEn，设直线设直线AP的解析式为的解析式为ykxb(k0)，根据题意得根据题意得 解得解得14kbnkbnn-+=+=-220134knbn=-=-1(6)41(6)2(2)如解图，过点如解图，过点P作作PEx轴于点轴于点E，过点，过点M作作MFx轴于点轴于点F，则则MFPE，FE直线直线AP的解析式为的解析式为y (n6)x (n6)，设直线设直线BC的解析式为的解析式为ymxa(m0)，根据题意得根据题意得 解得解得 ，直线直线
20、BC的解析式为的解析式为y x3，联立直线联立直线AP和和BC的解析式的解析式得得 解得解得1412kbb+=-603kb=-12312yxynxn=-=-+-13211(6)(6)42nxnnyn=-=-284248第2题图FE即点即点M的坐标为的坐标为(，)，则，则OF ，EF =，AF ，又又MFPE，nn-28nn-4248nn-2828nnn 268nnn nnn-+=-216288268168nnPMEFnAMAFn 22261198=(6)(3)161616168nnPMnnnnAMn 第2题图FE 0，0n6，当当n3时，时，有最大值，最大值为有最大值，最大值为 ，此时点此时点
21、P的坐标为的坐标为(3，)，的最大值为的最大值为 .116 PMAM916154 PMAM916第2题图FE第2题图(3)在在(2)的条件下，过点的条件下，过点P作作x轴的垂线轴的垂线l，在，在l上是否存在点上是否存在点D，使，使BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标的坐标;若不存在，请若不存在，请说明理由说明理由【解法提示】设点【解法提示】设点D的坐标为的坐标为(3，m)，B(6，0)，C(0，3)，BD2m29，CD2(m3)29，BC245，当当BCD90时，有时，有BD2CD2BC2，m29(m3)2945，整理得：整理得：6m54，解得，解
22、得m9，点点D的坐标为的坐标为(3，9)；当当BDC90时，有时，有BC2BD2CD2，45m29(m3)29，整理得，整理得m23m90解得解得m1 ，m2 ，点点D的坐标为的坐标为(3，)或或(3，)；当当CBD90时，有时，有CD2BC2BD2，(m3)2945m29，解得解得m6，点点D的坐标为的坐标为(3，6)；33 52 33 52 33 52 33 52 第2题图综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点D坐标为坐标为(3，9)或或(3，6)或或(3，)或或(3，)33 52 33 52 (3)存在点存在点D，使，使BCD是直角三角形，点是直角三角形，点D的坐标为的坐标为(3，
23、9)或或(3，6)或或(3，)或或(3，)33 52 33 52 第2题图备用图3.如图，抛物线如图，抛物线y x2bxc与与x x轴交于点轴交于点A和点和点C(1，0)，与，与y轴交于点轴交于点B(0，3)，连接，连接AB，BC，点点P是抛物线第一象限上的一动点，是抛物线第一象限上的一动点，过点过点P作作PDx轴于点轴于点D，交，交AB于点于点E.第3题图34(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；解解:(1)抛物线抛物线y x2bxc经过经过C(1，0)，B(0，3)两点，两点，解得解得 抛物线的解析式为抛物线的解析式为:；343043bcc 943bc 239344yxx 第3题图(2
24、)如图如图，作，作PFPD于点于点P，使，使PF OA，以以PE，PF为邻边作矩为邻边作矩形形PEGF.当矩形当矩形PEGF的面积是的面积是BOC面积的面积的3倍时，求点倍时，求点P的坐标；的坐标；12(2)令令y0，解得解得x11，x24，A点坐标为点坐标为(4，0)，设直线设直线AB的解析式是的解析式是ykxm，把把A(4，0)，B(0，3)代入代入得得 ，解得解得 ，直线直线AB的解析式是的解析式是 ，xx-+=2393044403kmm km=-=343yx=-+334设点设点P坐标为坐标为(x，)，则点，则点E坐标为坐标为(x，)，PE ，S矩形矩形PEGFPFPE OAPE 4PE
25、2(x23x)，SBOC OCOB 13 ，S矩形矩形PEGF3SBOC3 ，解得解得x11，x23，点点P的坐标为的坐标为(1，)或或(3，3)；239344xx x-+334xxxxx-+-+=-+2239333(3)3444412123412123232922392(3)42xx 92第3题图(3)如图如图，当点，当点P运动到抛物线的顶点时，点运动到抛物线的顶点时，点Q在直线在直线PD上，若以点上，若以点Q，A，B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标纵坐标n的的取值范围取值范围【解法提示】抛物线【解法提示】抛物线 对称轴为直线对称轴为直
26、线x ，yxx=-+23934432如解图，过点如解图，过点B作作BQ1AB交对称轴于交对称轴于Q1，过点过点A作作AQ2AB交对称轴于交对称轴于Q2，334yx A(4，0)，B(0，3)，直线直线AB解析式为解析式为 ，第3题图Q1Q2BQ1AB，直线直线BQ1解析式为解析式为 ，令令 ，得，得 ，Q1(，5)；AQ2AB，直线直线AQ2解析式为解析式为 ，令，令x ，得，得 ，当当AQB90时，时，AQ2BQ2AB2，设此时点，设此时点Q的坐标为的坐标为(，n)，yx=+43332x 433532y 3241633yx 32y=-=-431610323332Q1Q2第3题图 ，解得：解得
27、：n1 ，t2 ，当当 t 时，时，AQC90，ABQ为锐角三角形，为锐角三角形，点点Q(，n)必须在线段必须在线段Q1Q2上上(不含端点不含端点Q1、Q2)，n 或或 n5.nn-+-+-=22222334(0)(3)522（）-32 6232 62 32 62 32 62 3210332 62 32 62(3)n 或或 n5.10332 62 32 62 第3题图Q1Q2第3题图【拓展设问】在【拓展设问】在(3)的条件下，若以点的条件下，若以点Q、A、B为顶点的三角形是钝为顶点的三角形是钝角三角形，请直接写出点角三角形，请直接写出点Q纵坐标纵坐标n的取值范围的取值范围由由(3)知，知，ABQ为钝角三角形，为钝角三角形，点点Q纵坐标纵坐标n的取值范围为的取值范围为n 或或 n 或或n5.-10333 62 33 62
