1、12.3 乘法公式乘法公式华东师大版华东师大版 八年级数学上册八年级数学上册1.两数和乘以这两数的差两数和乘以这两数的差新课导入新课导入做做 一一 做做用多项式乘法法则计算用多项式乘法法则计算：(a+b)(a-b).(a+b)(a b)=aa+ab-ab-bb=a2-b2(a+b)(a-b)=a2-b2两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式时也简称为平方差公式.利用这个公式，可利用这个公式，可以直接计算两数和以直接计算两数和乘以这两数的差乘以这两数
2、的差.试试 一一 试试观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：(a-b)(a+b)a2ababb(a-b)(a+b)=-b2a2b2=-探究新知探究新知计算：计算：（1）(a+3)(a-3)（2）(2a+3b)(2a-3b)（3）(1+2c)(1-2c)=a2-9=4a2-9b2=1-4c2例例1=a2-32=(2a)2-(3b)2=12-(2c)2（4）(-2x-y)(2x-y)=-(2x+y)(2x-y)=-(4x2-y2)=-4x2+y2-(2x+y)或或（4）(-2x-y)(2x-y)=(-y-2x)(-y+2x)=(-y)2-(2x)2=y
3、2-4x2(-y-2x)计算：计算：19982002.19982002=(2000-2)(2000+2)=4000000-4=3999996例例2=20002-22写成两数和乘以写成两数和乘以这两数差的形式，这两数差的形式，可使计算简便可使计算简便.1998=(2000-2)(2000+2)2002 街心花园有一块边长为街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加划后，南北向增加2米，东西向减少米，东西向减少2米米.改造后得到一块改造后得到一块长方形的草坪长方形的草坪.求这块长方形草坪的面积求这块长方形草坪的面积.(a+2)(a-2)答：改造后的长方形
4、草坪的面积是答：改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米平方米.例例3a2=a2-4计算：计算：(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1).(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)=(x2-1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)=(x4-1)(x4+1)(x8+1)=(x8-1)(x8+1)=x16-1解解补充例题补充例题先化简，再求值：先化简，再求值：(y+3x)(3x-y)-(3y+x)(3y-x).其中其中x=-2，y=3.(y+3x)(3x-y)-(3y+x)(3y-x)=(3x)2-y2-(3y)2-x2=9x2-y2-9y2+x2=10 x2-1
5、0y2当当x=-2，y=3.原式原式=10(-2)2-1032=40-90=-50补充例题补充例题1.计算：计算：（1）(2x+)(2x-)12（2）(-x+2)(-x-2)解解 (2x+)(2x-)1212=4x2-14解解 (-x+2)(-x-2)=-(-x+2)(x+2)=-(4-x2)=x2-4随堂练习随堂练习（3）(-2x+y)(2x+y)（4）(y-x)(-x-y)解解 (-2x+y)(2x+y)=y2-4x2解解 (y-x)(-x-y)=-(y-x)(x+y)=-(y2-x2)=x2-y2随堂练习随堂练习2.计算：计算：（1）498502（2）9991001解解 498502=(
6、500-2)(500+2)=250000-4=249996解解 9991001=(1000-1)(1000+1)=1000000-1=9999993.用一定长度的篱笆围成一个长方形区域，小明认为围成用一定长度的篱笆围成一个长方形区域，小明认为围成一个正方形区域可使面积最大，而小亮认为不一定一个正方形区域可使面积最大，而小亮认为不一定.你认你认为如何？说说你的道理为如何？说说你的道理.解：长方形区域的周长是一定的，设为解：长方形区域的周长是一定的，设为4a，如果围成正方，如果围成正方形，那么其边长为形，那么其边长为a，面积为，面积为a2；如果围成一般的长方形，；如果围成一般的长方形，设其长为设其
7、长为b(ba0)，则宽必为，则宽必为(2a-b)，因而其面积为，因而其面积为(2a-b)b=2ab-b2而而a2-(2ab-b2)=(a-b)20(ab0)，因此围成一般，因此围成一般的长方形比围成正方形面积要小的长方形比围成正方形面积要小.课堂小结课堂小结(a+b)(a-b)=a2-b2两数和与这两数差的积，等于这两数的两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差平方差.这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为时也简称为平方差公式平方差公式.2.两数和（差）的平方两数和（差）的平方华东师大版华东师大版 八年级数学上册八年级数学上册新课导入新课
8、导入做做 一一 做做用多项式乘法法则计算用多项式乘法法则计算：(a+b)2.(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2利用这个公式，利用这个公式，可以直接计算可以直接计算两数和的平方两数和的平方.(a+b)2=a2+2ab+b2 这就是说，两数和的平方，等于这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方这两数的平方和加上它们的积的和加上它们的积的2倍倍.这个公式叫做这个公式叫做两数和的平方公式两数和的平方公式.探究新知探究新知试试 一一 试试观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：aabbaabba2abab
9、b2=+(a+b)2a22ab=+b2计算：计算：例例4（1）(2x+3y)2（2）(2a+)22b解解=(2x)2+22x3y+(3y)2=4x2+12xy+9y2=(2a)2+22a +()22b2b=4a2+2ab+24b把把2x和和3y分分别看成别看成a和和b试试 一一 试试推导两数差的平方公式推导两数差的平方公式.(a-b)2=a+(-b)2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2两数差的平方，等于两数差的平方，等于这两数的平方和减去这两数的平方和减去它们的积的它们的积的2倍倍.观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：观察下图，用等式表示
10、下图中图形面积的运算：ababa2ababb2=-+(a-b)2a22ab=-+b2计算：计算：例例5（1）(3x-2y)2=(3x)2-2(3x)(2y)+(2y)2=9x2-12xy+4y221212m（）2112m=221121 122mmgg=2114mm=221112 122m+mg g=22114m+m=2112m=2112m=2112m=221121 122mmgg=2114mm解解法法一一解解法法二二解解法法三三已知已知x+y=4，xy=2，求（求（1）x2+y2；（；（2）3x2-xy+3y2；（；（3）x-y补充例题补充例题(1)x2+y2=(x+y)2-2xy=42-22
11、=16-4=12(2)3x2-xy+3y2=3(x+y)2-7xy=342-74=316-28=20解解(3)(x-y)2(x+y)2-4xy=42-42=8所以所以 x-y=22x-y82 2随堂练习随堂练习1.计算：计算：（1）(x+3)2（2）(2x+y)2解解 (x+3)2=x2+2x3+32=x2+6x+9(2x+y)2=(2x)2+22xy+y2=4x2+4xy+y22.计算：计算：（1）(x-3)2（2）(2m-3n)2解解 (x-3)2=x2-2x3+32=x2-6x+9(2m-3n)2=(2m)2-22m3n+(3n)2=4m-12mn+9n23.计算：计算：（1）(-2m+n)2（2）(-2m-n)2解解 (-2m+n)2=(-2m)2+2(-2m)n+n2=4m2-4mn+n2 (-2m-n)2=(2m)2+22mn+n2=4m2+4mn+n2 =-(2m+n)2 =(2m+n)2课堂小结课堂小结(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2两数差的平方，等于两数差的平方，等于这两数的平方和减去这两数的平方和减去它们的积的它们的积的2倍倍.这就是说，两数和的平这就是说，两数和的平方，等于方，等于这两数的平方这两数的平方和加上它们的积的和加上它们的积的2倍倍.
