1、第二章2.7指数与指数函数1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.课标要求课标要求内容索引内容索引第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识知识梳理1.根式(1)一般地，如果xna，那么 叫做a的n次方根，其中n1，且nN*.(2)式子 叫做 ，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.(3).当n为奇数时，x根式aa知识梳理2.分数指数幂正数的正分数指数幂：(a0，m，nN*，n1).正数的负分数指数幂：(a0，m，nN*，n1
2、).0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂没有意义.mnamna1mna0知识梳理3.指数幂的运算性质aras ；(ar)s ；(ab)r (a0，b0，r，sR).4.指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是 .arsarsarbrR知识梳理(2)指数函数的图象与性质 a1 0a10a0时，；当x0时，_当x0时，_ 函数_函数(0,1)y10y10yd1ab0，即在第一象限内，指数函数yax(a0，且a1)的图象越高，底数越大.自主诊断1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“”或“”)(1)4.()(2)2a2b2ab.(
3、)(3)指数函数yax与yax(a0，且a1)的图象关于y轴对称.()(4)若am0，且a1)，则mn.()自主诊断2.已知函数ya2x和y2xb都是指数函数，则ab等于A.不确定 B.0 C.1 D.2由函数ya2x是指数函数，得a1，由y2xb是指数函数，得b0，所以ab1.自主诊断3.已知关于x的不等式 32x，则该不等式的解集为A.4，)B.(4，)C.(，4)D.(4,1不等式 32x，即34x32x，由于y3x是增函数，所以4x2x，解得x4，所以原不等式的解集为4，).自主诊断返回410.5165.120.255120.25第二部分探究核心题型例1计算：题型一指数幂的运算2310
4、227原式12223816432216274 124323339222416 原式111 11 1 113263 32 3 6232 33(23)6 232 6318.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加.运算的先后顺序.(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.2115113366221()(3)9(0)3a ba ba ba ab 0，跟踪训练1(多选)下列计算正确的是B.D.已知x2x22，则xx12143123321152 1 11 1 511336632 6
5、2 3 6221()(3)99(0),3a ba ba baba ab 0，对于B，所以B正确；111363993对于D，因为(xx1)2x22x24，所以xx12，所以D错误.例2(1)(多选)已知实数a，b满足等式3a6b，则下列可能成立的关系式为A.ab B.0baC.ab0 D.0a1时，若3a6bk，则0ba，故选项B正确；作出直线ym，当0m1时，若3a6bm，则ab0，故选项C正确；当0a1，则3a3b2b3b6b，故选项D错误.(2)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_.(0,2)在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示.当0b0，且
6、a1，b0)的图象如图所示，则A.a1 B.0a1 D.0b1观察图象得，函数f(x)axb是减函数，因此0a1，设图象与y轴交点的纵坐标为y0，则0y01，当x0时，y1b，于是得01b1，解得0b1，所以0a1,0b1.题型三指数函数的性质及应用例3(2024海口模拟)已知a1.30.6，则A.cba B.abcC.cab D.bca命题点命题点1 1比较指数式的大小比较指数式的大小所以bc1，所以bc0，00，所以ex10，所以函数f(x)的定义域为R，故A正确；所以函数f(x)的值域为(1,1)，故B正确；所以函数f(x)是奇函数，故C正确；因为函数yex1是增函数，所以yex11，(
7、2)(2023银川模拟)函数f(x)ax(a0，且a1)在区间1,2上的最大值比最小值大 ，则a的值为_.当a1时，函数f(x)在区间1,2上单调递增，返回当 0a0，则 a4334aa1122aa12345678910111213141234567891011121314对于A，根据分数指数幂的运算法则，可得当a1时，a；当a1时，a，故A错误；443325334412aaaa，2512a2512a对于C，aa13，则 aa12325，因为a0，所以 ，故C错误；11222()aa1122aa2.已知函数f(x)axa(a1)，则函数f(x)的图象不经过A.第一象限 B.第二象限C.第三象限
8、 D.第四象限12345678910111213141234567891011121314yax(a1)是增函数，经过点(0,1)，因为a1，所以函数f(x)的图象需由函数yax(a1)的图象向下平移超过1个单位长度得到，所以函数f(x)axa的图象如图所示.故函数f(x)的图象不经过第二象限.3.(2023宜昌模拟)设a30.8，b90.5，c ，则A.abc B.cbaC.bac D.bca12345678910111213141213因为a30.8，b90.5(32)0.531，c又函数y3x是增函数，且10.80.5，所以3130.830.5，所以bac.111210.5221(3)3
9、3,34.(2023新高考全国)设函数f(x)2x(xa)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是A.(，2 B.2,0)C.(0,2 D.2，)1234567891011121314函数y2x在R上是增函数，而函数f(x)2x(xa)在区间(0,1)上单调递减，1234567891011121314所以a的取值范围是2，).5.(2023广州模拟)已知正数a，b满足 3，则3a2b的最小值为A.10 B.12 C.18 D.241234567891011121314 123456789101112131423233333,abab因为a，b为正数，所以3a2b的最小值为24.123456
10、78910111213146.(2023潍坊模拟)“关于x的方程a(2|x|1)2|x|没有实数解”的一个必要不充分条件是1234567891011121314a(2|x|1)2|x|，因为2|x|10，因为2|x|201，要使a(2|x|1)2|x|没有实数解，1234567891011121314D为充要条件，不符合要求.二、多项选择题二、多项选择题7.(2023重庆模拟)已知函数y ，则下列说法正确的是A.定义域为RB.值域为(0,2C.在2，)上单调递增D.在2，)上单调递减123456789101112131424312xx由函数y ，可得函数的定义域为R，故A正确；设tx24x3(
11、x2)211，)，由指数函数的单调性，可得函数的值域为(0,2，故B正确；tx24x3在2，)上单调递增，根据复合函数单调性法则，可得函数在2，)上单调递减，故C错误，D正确.24312xx12345678910111213148.已知函数f(x)|2x1|，实数a，b满足f(a)f(b)(a2B.a，bR，使得0ab1C.2a2b2D.ab012345678910111213141234567891011121314画出函数f(x)|2x1|的图象，如图所示.由图知12a2b1，则2a2b2，故A错误，C正确；所以2ab1，则ab2，则实数a的取值范围是_.12345678910111213
12、14(，2)(1，)令g(x)2x2x，定义域为R，且g(x)g(x)，所以函数g(x)是奇函数，且是增函数，因为f(x)g(x)1，f(a2)f(a2)2，则g(a2)g(a2)0，即g(a2)g(a2)，又因为g(x)是奇函数，所以g(a2)g(2a)，又因为g(x)是增函数，所以a22a，解得a1，故实数a的取值范围是(，2)(1，).1234567891011121314四、解答题四、解答题11.如果函数ya2x2ax1(a0，且a1)在区间1,1上的最大值是14，求a的值.12345678910111213141234567891011121314令axt，则ya2x2ax1t22t
13、1(t1)22.当a1时，因为x1,1，所以ymax(a1)2214，解得a3或a5(舍去)；当0a1时，因为x1,1，1234567891011121314123456789101112131412.已知函数f(x)2x .(1)若f(0)7，解关于x的方程f(x)5；1234567891011121314由题意得f(0)1a7，整理得(2x)252x60，可得2x2或2x3，x1或xlog23.1234567891011121314(2)讨论f(x)的奇偶性，并说明理由；1234567891011121314由题意可知，函数f(x)的定义域为R，当f(x)为奇函数时，f(x)f(x)，经检
14、验，当a1时，f(x)为奇函数；当f(x)为偶函数时，f(x)f(x)，1234567891011121314a1，经检验，当a1时，f(x)为偶函数；当a1时，f(x)为非奇非偶函数，综上，当a1时，f(x)为奇函数；当a1时，f(x)为偶函数；当a1时，f(x)为非奇非偶函数.1234567891011121314(3)若f(x)3在1,3上恒成立，求实数a的取值范围.1234567891011121314若f(x)3在1,3上恒成立，即a(2x)232x在1,3上恒成立.令t2x，由x1,3，得t2,8，h(t)在2,8上单调递减，h(t)minh(8)823840，aca B.cbaC
15、.cab D.abc1234567891011121314因为y(cos)x在(0,1)上单调递减，故c(cos)cos(cos)sin a；因为幂函数yxcos 在(0,1)上单调递增，故c(cos)cos ca.123456789101112131414.(2024徐州模拟)正实数m，n满足e12m22men1n，则的最小值为_.1234567891011121314由e12m22men1n，得e12m(12m)en1(n1)，令f(x)exx，则原等式为f(12m)f(n1)，显然函数f(x)为增函数，于是12mn1，即2mn2，而m0，n0，1234567891011121314返回本课结束
