1、第二章2.8对数与对数函数1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数.课标要求课标要求内容索引内容索引第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识知识梳理1.对数的概念一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数，叫做真数.以10为底的对数叫做常用对数，记作 .以e为底的对数叫做自然对数，记作 .xlogaNaNl
2、g Nln N知识梳理2.对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1 ，logaa ，(a0，且a1，N0).(2)对数的运算性质如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)；logaMn (nR).(3)对数换底公式：logab (a0，且a1；b0；c0，且c1).01NlogaMlogaNlogaMlogaNnlogaMlogaNa知识梳理3.对数函数的图象与性质 a10a10a1时，；当0 x1时，；当0 x0y0y0增减知识梳理4.反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数 (a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称.ylogaxyx常用结论1.logab
3、logba1(a0，且a1，b0，且b1)，logab(a0，且a1，b0).2.如图，给出4个对数函数的图象.则ba1dc0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大.logmnab自主诊断1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“”或“”)(1)若MN，则logaMlogaN.()(2)函数yloga2x(a0，且a1)是对数函数.()(3)对数函数ylogax(a0，且a1)是增函数.()(4)函数ylog2x与y 的图象关于x轴对称.()12log x自主诊断2.(2023雅安模拟)已知xlog321，则4x等于xlog321，222log 32log 3log 9442
4、29.x所以自主诊断3.函数f(x)loga|x|1(a1)的图象大致为自主诊断f(x)loga|x|1的定义域为x|x0，因为f(x)loga|x|1loga|x|1f(x)，所以f(x)是偶函数，当x(0，)时，f(x)logax1(a1)单调递增.结合选项可知选A.自主诊断返回对于函数yloga(x1)4，令x11，解得x2，则y4，所以函数yloga(x1)4的图象恒过定点(2,4)，即点P的坐标是(2,4).4.已知函数yloga(x1)4的图象恒过定点P，则点P的坐标是_.(2,4)第二部分探究核心题型例1(1)(2024洛阳模拟)已知3a5bm，且 1，则实数m的值为_.题型一对
5、数式的运算45由3a5bm，可知m0，显然m1.所以m45.log51251log5531312.122log22212log(2)12log 2思维升华解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.(2)将同底对数的和、差、倍合并.(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.跟踪训练1(1)若a0，则 等于A.2 B.3 C.4 D.523a23log a所以23a322332loglog3.3a(2)计算：lg 25lg 2lg 50(lg 2)2_.2原式2lg 5lg 2(1lg 5)(lg 2)22lg 5lg
6、2lg 2lg 5(lg 2)21lg 5lg 2(lg 5lg 2)1lg 5lg 21lg 102.例2(1)已知函数f(x)loga(2xb1)(a0且a1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是A.0a1b1B.0ba11C.0b1a1D.0a1b11.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知1logab0，综上，0a1b1.(2)已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是A.10,12 B.(10,12C.(10,12)D.10,12)不妨设abc，作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象可知0a1b10c12，由f(a)
7、f(b)，得|lg a|lg b|，即lg alg b，lg ab0，则ab1，abcc，又10c0且a1)在同一坐标系中的大致图象是1logax对于A，由指数函数的图象，可得a1，则0 1，即函数g(x)在(0，)上单调递减，故A错误；对于B，由指数函数的图象，可得0a1，即函数g(x)在(0，)上单调递增，故B错误；对于C，由指数函数的图象，可得a1，则0 1，则0 0且a1，函数yax的图象如图所示，则函数f(x)loga(x1)的部分图象大致为由函数yax的图象可得a1.当a1时，ylogax经过定点(1,0)，为增函数.因为ylogax与yloga(x)的图象关于y轴对称，所以ylo
8、ga(x)经过定点(1,0)，为减函数.而f(x)loga(x1)可以看作yloga(x)的图象向右平移一个单位长度得到的，所以f(x)loga(x1)的图象经过定点(0,0),为减函数.结合选项可知选D.题型三对数函数的性质及应用例3已知alog20.3，bln 3，clog32，则a，b，c的大小关系为A.abc B.bcaC.bac D.cab命题点命题点1 1比较对数式的大小比较对数式的大小alog20.3ln e1，0log31log32log331，即0cca.命题点命题点2 2解对数方程、不等式解对数方程、不等式例5(2023郑州模拟)设函数f(x)ln|2x1|ln|2x1|，
9、则f(x)命题点命题点3 3对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用由f(x)ln|2x1|ln|2x1|，又f(x)ln|12x|ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|f(x)，f(x)为定义域上的奇函数，故排除A，C；f(x)ln(2x1)ln(12x)，思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成.跟踪训练3(1)(2023宜宾模拟)已知函数f(x)log2(x22x)在(a，)上单调递增，则a的取值范围是A.2，)B.1，)C.(，1 D.(，0由题意得，x22x0 x(，0)(2，)，而函数yx
10、22x的对称轴为x1，所以函数yx22x在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，函数f(x)的单调递增区间为(2，)，又因为函数f(x)在(a，)上单调递增，所以a2，).可知0a0，且a1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(log28)等于A.1 B.1 C.2 D.3依题意，函数f(x)logax(a0，且a1)的反函数，即函数yax的图象过点(1,3)，则a3，所以f(x)log3x，于是得f(log28)log3(log28)log331.12345678910111213143.若 ，则x1与x2的关系正确的是A.0 x2x11 B.0 x
11、1x21C.1x1x2 D.1x2x11234567891011121314因为所以log0.8x2log0.8x10log0.81，又因为ylog0.8x在(0，)上单调递减，所以1x10，且a1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是A.a0，b0，1b0C.0a1，b1 D.0a1，1b01234567891011121314因为函数f(x)loga(xb)为减函数，所以0a0，即b1，又因为函数图象与y轴有交点，所以b0，所以1b0.12345678910111213145.(2024通化模拟)设alog0.14，blog504，则A.2ab2(ab)ab B.2abab4abC
12、.abab2ab D.2ababab1234567891011121314 1234567891011121314因为alog0.14，blog504，所以a0，所以ab0，所以2ababab.12345678910111213146.(2023银川模拟)当0 x 时，0，且a1)，则实数a的取值范围是1234567891011121314二、多项选择题二、多项选择题7.(2023西宁模拟)已知函数f(x)ln(x2)ln(4x)，则下列说法正确的是A.f(x)的定义域为(2,4)B.f(x)在区间(2,1)上单调递增C.f(x)在区间(1，)上单调递减D.f(x)的图象关于直线x1对称123
13、4567891011121314所以f(x)的定义域为(2,4)，故A正确；函数f(x)ln(x2)ln(4x)ln(x2)(4x)ln(x22x8)(2x4)，令tx22x8，则函数tx22x8在(2,1)上单调递增，在(1,4)上单调递减，又yln t是增函数，所以f(x)在(2,1)上单调递增，在(1,4)上单调递减，故B正确，C错误；1234567891011121314又tx22x8的图象关于直线x1对称，所以f(x)的图象关于直线x1对称，故D正确.12345678910111213148.(2023济宁模拟)若10a2,10b5，则下列结论中正确的是A.ab1 B.5a2bC.5
14、a212345678910111213141234567891011121314由题意可得alg 2，blg 5，所以ablg 2lg 5lg 101，故A正确；5a5lg 2lg 25lg 32,2b2lg 5lg 52lg 25，所以5a2b，故B不正确；因为5a2a10a2,2b2a2ab2，所以5a2a2b2a，所以5a2b，故C不正确；三、填空题三、填空题1234567891011121314原式2lg 52lg 23log23log3232(lg 5lg 2)332.22log 3210.设函数f(x)log2(4x)log2(2x)，x4，则f(x)的最大值为_.12f(x)lo
15、g2(4x)log2(2x)(log24log2x)(log22log2x)(2log2x)(1log2x)，当t2时，g(t)取得最大值12，即f(x)的最大值为12.1234567891011121314四、解四、解答题答题11.(2024武威模拟)已知函数f(x)的图象关于原点对称，其中a为常数.(1)求a的值；1234567891011121314121log1axx1234567891011121314因为f(x)的图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，所以其定义域也关于原点对称，即(1ax)(x1)0，要使定义域关于原点对称，显然a0，令(1ax)(x1)0，121log1axx1
16、234567891011121314由定义域关于原点对称可知x1x20，所以a1，经检验，a1成立.(2)若当x(1，)时，f(x)m恒成立，求实数m的取值范围.123456789101112131412log(1)x1234567891011121314由题可知f(x)因为x(1，)，所以又因为f(x)0，由73x10，解得xlog37；由3x3x73x1，得6(3x)23x10，得03x ，即xlog32，综上，不等式的解集为x|log37yzB.xy0时，g(k)kt在(0，)上单调递增，故2t3t5t，即xyz，当t3t5t，即xyz，故A，B不一定正确；假设x，y，z成等比数列，则y2xz(3t)22t5t9t10t，则t0，与已知矛盾，故C错误；1234567891011121314注意到f(1)0，故f(t)只有一个零点，1234567891011121314返回所以xyz只有一组解x2，y3，z5，故D正确.本课结束
