1、微专题9导数中函数的构造问题考情分析导数问题中已知某个含f(x)的不等式，往往可以转化为函数的单调性问题，我们可以根据不等式的形式构造适当的函数求解问题这一部分内容在近几年中高考频频出现，成为高考热点，难度中等，有时较大考点一构造F(x)xnf(x)或F(x)(nZ，且n0)型典例1(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)xf(x)0的解集为_答案(，4)(0,4)解析构造F(x)xf(x)，则F(x)f(x)xf(x)，当x0时，f(x)xf(x)0，即F(x)0的解集为(，4)(0,4)(2)已知偶函数f(x)(x0)的导函数为f(x)，且满足f(1)0，当x0时，2f(
2、x)xf(x)，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_答案(1,0)(0,1)解析构造F(x)，则F(x)，当x0时，xf(x)2f(x)0，则F(x)0的解集，即f(x)0的解集为(1,0)(0,1)跟踪训练1(1)已知定义在R上的偶函数f(x)满足当x0时，恒有xf(x)2f(x)0.若a2f()，b9f(3)，cf(1)，则a，b，c的大小关系为()Abac BbcaCabc Dac0时，恒有xf(x)2f(x)0，可得x2f(x)2xf(x)0，即g(x)0，则函数g(x)x2f(x)在(0，)上单调递减，函数f(x)为偶函数，g(x)x2f(x)(x)2f(x)g(x)，函数g(x)
3、x2f(x)为偶函数，a2f()g()，b9f(3)g(3)g(3)，cf(1)g(1)，由g(x)的单调性可得ba0恒成立，则a2f，b3f，cef的大小关系为()Aacb BabcCbca Dbac答案A解析令g(x)，x0，则g(x).因为xf(x)f(x)0对于x(0，)恒成立，所以g(x)0，即g(x)是(0，)上的增函数，又ag，bg，cg，且，所以ggg，即acb.考点二 构造F(x)enxf(x)或F(x)(nZ，且n0)型典例2(1)已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f(x)，且对于任意的xR，均有f(x)f(x)0，则()Ae2 024f(2 024)f(0)，e2
4、024f(2 024)f(0)Be2 024f(2 024)f(0)，e2 024f(2 024)f(0)，e2 024f(2 024)f(0)De2 024f(2 024)f(0)答案D解析构造函数F(x)exf(x)，则F(x)f(x)f(x)ex0，所以F(x)在R上是增函数，所以F(2 024)F(0)，F(0)F(2 024)，即e2 024f(2 024)f(0)，f(0)e2 024f(2 024)(2)已知定义域为R的函数f(x)的导函数为f(x)，且f(x)1，则下列不等式恒成立的是()A(m1)f(ln(m1)emf(m)B(m1)f(ln(m1)emf(m)Cemf(ln
5、(m1)(m1)f(m)Demf(ln(m1)(m1)f(m)答案C解析令g(x)，则g(x)，因为f(x)f(x)，所以g(x)1，则h(m)1，所以当m(1,0)时，h(m)0，h(m)单调递增，所以h(m)h(0)0，即mln(m1)，所以g(m)g(ln(m1)，即，即emf(ln(m1)(m1)f(m)跟踪训练2(1)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，且满足2f(x)f(x)0，h(x)0，e3，即的取值范围是(e3，e2)(2)已知f(x)的定义域是(0，)，f(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)的解集是_答案x0)，因为f(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递
6、增，由e2xf(x22x)，得，即g(x22x)g(3)，所以x22x3，解得x1.又因为x22x0，所以x0，所以x1.考点三构造函数比较大小典例3(2022新高考全国)设a0.1e0.1，b，cln 0.9，则()Aabc BcbaCcab Dacb答案C解析设u(x)xex(0x0.1)，v(x)(0x0.1)，w(x)ln(1x)(0x0.1)则当00，v(x)0，w(x)0.设f(x)lnu(x)lnv(x)ln xxln xln(1x)xln(1x)(0x0.1)，则f(x)10在(0,0.1上恒成立，所以f(x)在(0,0.1上单调递减，所以f(0.1)f(0)0ln(10)0，
7、即lnu(0.1)lnv(0.1)0，所以lnu(0.1)lnv(0.1)又函数yln x在(0，)上单调递增，所以u(0.1)v(0.1)，即0.1e0.1，所以ab.设g(x)u(x)w(x)xexln(1x)(0x0.1)，则g(x)(x1)ex(0x0.1)设h(x)(1x2)ex1(00在(0,0.1上恒成立，所以h(x)在(0,0.1上单调递增，所以h(x)h(0)(102)e010，即g(x)0在(0,0.1上恒成立，所以g(x)在(0,0.1上单调递增，所以g(0.1)g(0)0e0ln(10)0，即g(0.1)u(0.1)w(0.1)0，所以0.1e0.1ln 0.9，即ac
8、.综上，cab.跟踪训练3(2021全国乙卷)设a2ln 1.01，bln 1.02，c1，则()Aabc BbcaCbac Dcab答案B解析bcln 1.021，设f(x)ln(x1)1，则bcf(0.02)，f(x)，当x0时，x1，故当x0时，f(x)0，所以f(x)在0，)上单调递减，所以f(0.02)f(0)0，即bc.ac2ln 1.011，设g(x)2ln(x1)1，则acg(0.01)，g(x)，当0x2时，x1，故当0xg(0)0，即ca，从而有bc0，则不等式(x2)f(x2)x2f(x2)的解集是()A(2,1)B(，2)(1，)C(，1)(2，)D(1,2)答案D解析
9、根据题意，构造函数g(x)xf(x)，则g(x)xf(x)f(x)0，所以函数g(x)在R上为增函数，又(x2)f(x2)x2f(x2)，即g(x2)g(x2)，所以x2x2，即x2x20，解得1x0(f(x)是函数f(x)的导函数)成立，且f(1)，则关于x的不等式2x2f(x)0，所以g(x)f(x)2x2xf(x)f(x)ln 20.则g(x)在R上是增函数又f(1)，则f(1)，所以g(1)f(1)221，g(1)f(1).因为2x2f(x)2x，所以f(x)2x1，即g(x)1，即g(1)g(x)g(1)，所以1xba BbacCabc Dbca答案C解析由aeea，be1.21.2
10、eb，ce1.61.6ec，得，令f(x)，则f(x)，当x0；当x1时，f(x)f(1.2)f(1.6)，即f(a)f(b)f(c)，又a，b，c0,1，所以abc.4(2023滁州模拟)已知ae0.41，b0.42ln 1.2，c0.2，则a，b，c的大小关系为()Aabc BacbCbac Dcba答案B解析令f(x)e2x1x，x(0,1)，则f(x)2e2x10恒成立，即f(x)在(0,1)上单调递增，且f(0)0，故f(x)f(0)0，取x0.2，则f(0.2)0，即e0.410.20，可得e0.410.2，即ac；令g(x)x2ln(1x)，x(0,1)，则g(x)10恒成立，即
11、g(x)在(0,1)上单调递减，且g(0)0，故g(x)g(0)0，取x0.2，则g(0.2)0，即0.22ln1.20，可得0.42ln 1.20.2，即bcb.5(多选)(2023南阳模拟)定义在(0，)上的函数f(x)满足f(x)fBffD.f0，f(x)，即f(x)sin xf(x)cos x0，等价于0，构造函数g(x)，则g(x)0，即g(x)在(0，)上单调递减，g，即，化简得ff，故A选项正确，B选项错误；g，即，化简得ff，故C选项正确，D选项错误6(多选)(2023益阳模拟)定义在(0，)上的函数g(x)的导函数为g(x)，xg(x)g(x)，x1，x2(0，)(x1x2)
12、，则下列不等式中一定成立的是()Ag(x1x2)g(x1)g(x2)Cgg(x1)g(x2)答案BD解析由题意可设F(x)，x0，则F(x)，F(x)0在(0，)上恒成立，则F(x)是(0，)上的增函数，因此有(x1x2)0.对于A，取g(x)x2，x0，满足xg(x)g(x)，但g(x1x2)g(x1)g(x2)，故A错误；对于B，x1x2x1，F(x1x2)F(x1)，即，g(x1x2)g(x1)，x1x2x2，F(x1x2)F(x2)，即，g(x1x2)g(x2)，由得g(x1x2)g(x1)g(x2)，故B正确；对于C，取g(x)x2，x0，则g2，gx1x2，gg0，故C错误；对于D
13、，g(x1)g(x1)g(x1)，g(x2)g(x2)g(x2)，由得g(x1)g(x1)g(x2)g(x2)g(x1)g(x2)(x1x2)0，g(x1)g(x2)g(x1)g(x2)，故D正确7(2023成都模拟)已知定义在(0，)上的函数f(x)满足对任意x0，xf(x)f(x)0恒成立，且f(1)2，则不等式f(x)0)，则h(x)0，所以h(x)是(0，)上的减函数，又h(1)f(1)20，由h(x)1，故不等式f(x)2，则f(x)2x4的解集为_答案(1，)解析设g(x)f(x)2x4，可得g(x)f(x)2，因为对任意xR，f(x)2，所以g(x)0，所以g(x)为增函数，又由
14、f(1)2，可得g(1)2240，所以当x1时，g(x)0，即不等式f(x)2x4的解集为(1，)9(2023淄博模拟)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)ex1的解集是_答案(，2)解析设g(x)，g(x)ex1，即g(x)g(2)，xex1的解集是(，2)10(2023临沂模拟)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)2f(x)，且f(3)0，则不等式f(x)0的解集为_答案(3,0)(3，)解析因为f(x)为奇函数，定义域为R，所以f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)，f(0)0，又因为当x0时，f(x)2f(x)，所以f(x)2f(x)，构造函数h(x)，所以h(x)，所以当x0时，h(x)0，h(x)在(0，)上单调递增，又因为f(3)0，所以h(3)0，h(x)在(3，)上大于零，在(0,3)上小于零，又因为e2x0，所以当x0时，f(x)在(3，)上大于零，在(0,3)上小于零，因为f(x)为奇函数，所以当x0的解集为(3,0)(3，)
