1、 河南省洛阳市河南省洛阳市 20182018- -20192019 学年第一学期期末考试学年第一学期期末考试 高二数学试卷（文）高二数学试卷（文） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.已知 p：x 2-x-20，q：log 2x1，则 p 是 q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 通过求解不等式求解 p，解对数不等式求解 q，然后利用充要条件的判断方法判断即可 【详解】解：由题意可知 p：x 2-x-20，即（x+1） （x-2）0，
2、可得 p：-1x2； q：log2x1，可得 0 x2， 则 p 是 q 的必要不充分条件 故选：B 【点睛】本题考查二次不等式的解法，对数不等式的求解，充要条件的判断，基本知识的应 用 2.已知变量 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值是（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 画出约束条件对应的平面区域，然后通过平移得到结果。 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由得， 由图象知，当直线经过点 C 时， 直线的截距最大，此时 z 最大， 由，得，即， 此时， 故选 C 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，准确作出不等式对应的区域是前提，准
3、确解析出目 标函数的几何意义是解题的关键 3.已知ABC 三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若=1，则 B 的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 将条件化简整理得，再通过余弦定理便可求得角 B 的大小。 【详解】解： 两边同时除以得 ，故选 B 【点睛】本题考查了余弦定理的知识，解题的关键是要将题中的条件进行转化变形，变成余 弦定理的形式，进而解决问题。 4.已知椭圆的两个焦点分别为, 是椭圆上一点,且, 则的面积等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由 与是 椭 圆 上 一 点 ， ， 两 边 平 方 可 得 ，即，由于， ，根据余
4、弦定理可得，综上可解得， 的面积等于，故选 B. 5.等差数列an中，a3+a10=5，a7=1，Sn是数列an的前 n 项和，则 Sn的最大值为（ ） A. 1 B. 19 C. 60 D. 70 【答案】D 【解析】 【分析】 利用基本量表示条件，求解出，进而求解出，得出的最大值。 【详解】解：设等差数列的首项与公差为 则，解得， 所以， 二次函数的对称轴为， 因为， 所以当时， 故答案选 D。 【点睛】本题考查了等差数列的通项知识，等差数列常见的解题方法是基本量法，即将条件 与目标用基本量来表示，进而求解问题。 6.点 P 是抛物线 y=x 2上任意一点，则点 P 到直线 y=x-2 的
5、距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设出点，表示出点 到直线的距离，然后通过减元将距离变为单变量形式 ，然后借助函数思想解决问题。 【详解】解：设点，则 点 到直线的距离， 所以， 因为 所以点 到直线的距离的最小值为 故选 C。 【点睛】本题考查了点到直线的距离问题，常见的解题方法是将点到直线的距离转化为代数 的形式，然后通过减元将多变量问题转化为少变量（单变量）问题，进而利用函数思想解决 最值。 7.已知函数 f（x）的导函数为 f（x） ，若 f（x）=x 3+f（1）x2-2，则 f（1）的值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【
6、解析】 【分析】 求出原函数的导函数，在导函数解析式中取 x=1 即可得到答案 【详解】解：由 f（x）=x 3+f（1）x2-2， 得 f（x）=3x 2+2xf（1） ， f（1）=3+2f（1） ，解得 f（1）=-3， 故选：B 【点睛】本题考查了导数的加法法则与减法法则，考查了基本初等函数的导函数，是基础的 计算题 8.等比数列an的前 n 项和为 Sn，公比 q1，若 a1=1，且对任意的 nN*都有 an+2+an+1=2an，则 S5等于（ ） A. 12 B. 20 C. 11 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】 等价于，即，由此可解得 的值，进而求得 【详解】解：设
7、等比数列的公比为 则等价于 因为 故，即 因为 所以 故 故选 C。 【点睛】本题考查了等比数列的通项知识，等比数列问题的常见解法是借助于基本量进行解 题；求等比数列的前 n 项和时，要对 的范围进行讨论。 9.ABC 中，B=30，BC 边上的高与 BC 的比为 1：3，则 cosA 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设边上的高为 ，则，在中可得，由勾股定理可得，故 ，在中，再由余弦定理可得的值。 【详解】解：设过 A 点作的高，交边于点 ，设， 因为 BC 边上的高与 BC 的比为 1：3， 所以， 在中，即故， 由勾股定理可得， 故， 在中， 故选 D。
8、 【点睛】本题考查了解三角形中某个角的问题，当三角形的三条边的比例关系确定时，就可 利用余弦定理解得角的大小 ，这也是解决本题的关键。 10.已知双曲线 ：（，） ，过左焦点的直线切圆于点 ，交双 曲线 右支于点 ，若，则双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：连接,由知 为的中点，又 为的中点， ,且,利用双曲线定义结合切线性质可得，从而可得结果. 详解：连接,由知 为的中点， 又 为的中点， 所以,且 ,因为点 为切点， 则 ，又因为 在双曲线右支上， 则，即， 在中， 则，则， 则双曲线的渐近线方程为，故选 B. 点睛：本题主要考查利用双曲线的简
9、单性质及双曲线定义求双曲线的渐近线方程，属于中档 题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想 到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的 关系，挖掘出它们之间的内在联系.求渐近线方程问题，主要是找到关于的关系式. 11.定义在 R 上的可导函数 f（x）满足 f（x）+f（x）0，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 可导函数 f（x）满足 f（x）+f（x）0，等价于，故函数在 R 上 单调递减，由此可以得出正确选项。 【详解】解：可导函数满足 等价于 故 令 所以在
10、 R 上单调递减， 所以 即 即 故选 A 【点睛】本题考查了导数在函数中的应用，构造新的函数是解决本题的关键，再利用导数工 具得出新函数的单调性解决问题。 12.过原点的一条直线与椭圆=1（ab0）交于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆过该 椭圆的右焦点 F2，若ABF2，则该椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 以 AB 为直径的圆的圆周角ABF2，故圆心角，所以当斜率存在时，斜 率，然后将斜率 转化为的关系式，求解离心率的取值范围；当斜率不存在时，易得 ，易解离心率的值，综上便可得出答案。 【详解】解：当过原点的直线斜率不存在时， 因
11、为以 AB 为直径的圆经过右焦点， 所以有，此时； 当过原点的直线斜率存在时，设过原点的直线为， 因为ABF2 所以圆心角， 所以，即， 直线与椭圆联立方程组，解得， 因为以 AB 为直径的圆经过右焦点， 所以，以 AB 为直径的圆方程为， 所以有， 即， 故，即， 所以，解得 故得到 综上：，故选 B 【点睛】本题考查了椭圆离心率的取值范围问题，离心率的取值范围问题关键是要建立出关 于的等式（不等式） ，进而再结合求解出椭圆离心率的取值范围。 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.抛物线 y=4x 2的焦点坐标是_ 【答案】 【
12、解析】 【分析】 将抛物线转化为标准形式，进而解决问题。 【详解】解：抛物线可转化为 故，即 所以抛物线的焦点坐标为 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程知识，解题的关键是要将抛物线的方程转化为标准形 式，然后得出抛物线的焦点坐标。 14.曲线 y=sin2x 在点（0，0）处的切线方程为_ 【答案】 【解析】 【分析】 欲求曲线 y=sin2x 在点（0，0）处的切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x=2 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而解决问题 【详解】解：y=sin2x， f（x）=2cos2x， 当 x=0 时，f（0）=2，得切线的斜率为 2， 所
13、以 k=2； 所以曲线在点（0，0）处的切线方程为： y-0=2（x-0） ，即 y=2x 故答案为： 【点睛】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程 等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题 15.若函数 f（x）=lnx-ax 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 函数有两个不同的零点，转化为函数与函数有两个不同的交点，根 据图像求解临界情况，得出结果。 【详解】解：函数有两个不同的零点， 即有两个不同的解， 等价于函数与函数的图像有两个不同的交点， 当直线与曲线相切时，只有一个交点，此时为临界情况， 设切点为，则可得
14、，解得 ， 根据图像可以得到，当时，直线与曲线有两个交点， 故答案是。 【点睛】本题考查了函数的零点问题，函数的零点问题可以转化为两个函数的交点问题，然 后通过对临界情况的分析，得出参数的取值范围。 16.化简： +=_ 【答案】 【解析】 【分析】 求和形式中的通项公式为，可裂项为，然后逐项分解求其和。 【详解】解： 故原式+ = 答案是 【点睛】本题考查了数列的求和知识，数列求和常见的方法有公式法、倒序相加法、错位相 消法、裂项相消法等等，对通项进行裂项是裂项相消法解决数列求和问题的关键。 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17
15、.已知命题 p： x0R，x0 2-ax 0+a=0；命题 q：不等式 x+a 对 x（1，+）恒成立， 若（p）q 真，求实数 a 的取值范围 【答案】 【解析】 【分析】 求出命题 p 对应的 a 的范围，命题 q 对应的 a 的范围，再根据（p）q 为真命题求解 a 的 范围。 【详解】解：p真，即关于x的方程x 2-ax+a=0 有解，则0，即 a 2-4a0， 解得a 0 或a4 那么p真，则 0a4， 当x（1，+）时，x+=x-1+12+1=3， q真，则a（x+）min=3，即a3， 若（p）q真，实数a的取值范围是（ 0，3 【点睛】本题考查了建议逻辑的有关知识、函数的性质、
16、方程的解等知识与基本技能方法， 考查了推理能力与运算能力，属于中档题。 18.数列an是等差数列，a1=f（x+1） ，a2=0，a3=f（x-1） ，其中 f（x）=x 2-4x+2 （1）求通项公式 an； （2）若数列an为递增数列，令 bn=an+1+an+2+an+3+an+4，求数列的前 n 项和 Sn 【答案】 （1）当 x=1 时，an =2n-4，当 x=3 时， an=4-2n； ； （2） 【解析】 【分析】 （1）题目给出了一个等差数列的前 3 项，根据等差中项概念列式 a1+a3=2a2，然后把 a1和 a3 代入得到关于 x 的方程，解方程，求出 x 后再分别代回
17、a1=f（x+1）求 a1，则 d 也可求，所以 通项公式可求 （2）利用数列是递增数列求出通项公式，化简数列的通项公式，通过裂项消项法求解数列的 和即可 【详解】解： （1）数列an为等差数列，所以 a1+a3=2a2， 即 f（x+1）+f（x-1）=0，又 f（x）=x 2-4x+2， 所以（x+1） 2-4（x+1）+2+（x-1）2-4（x-1）+2=0，整理得 x2-4x+3=0，解得 x=1 或 x=3 当 x=1 时，a1=f（x+1）=f（2）=2 2-42+2=-2，d=a 2-a1=0-（-2）=2， an=a1+（n-1）d=-2+2（n-1）=2n-4 当 x=3 时
18、，a1=f（x+1）=f（4）=4 2-44+2=2，d=0-2=-2所以 a n=4-2n 综上：当 x=1 时，an =2n-4；当 x=3 时， an=4-2n （2）数列an为递增数列，d0， 所以数列an的通项公式为 an=2n-4 bn=an+1+an+2+an+3+an+4=8n+4， =， 数列的前 n 项和 Sn= 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差中项的概念、裂项求和等知识与方法，题目 体现的解题思想是数学转化思想和方程思想 19.动圆 P 与圆 F： （x-2） 2+y2=1 外切，且与直线 x=-1 相切 （1）求动圆的圆心 P 的轨迹 C 的方程； （2）轨迹
19、 C 上是否存在两点 A，B 关于直线 y=x-1 对称？若有，请求出两点的坐标，若没有， 请说明理由 【答案】 （1）； （2）不存在，详见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意知，点 P 到点 F 的距离与到直线 x=-2 的距离相等，并根据抛物线的定义知点 P 的轨迹是抛物线，找出焦点和准线，即可得出轨迹 C 的方程； （2）根据题意得知直线 AB 与直线 y=x-1 垂直，可知直线 AB 的斜率为-1，然后设直线 AB 的 方程为 y=-x+m，并设点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立，计 算0，求出 m 的取值范围，列出韦达定理，求出线
20、段 AB 的中点 M 的坐标，再将点 M 的坐 标代入直线 y=x-1 的方程，可得出 m 的值，再对 m 的值进行检验，从而可对问题进行解答 【详解】解： （1）设动圆 P 的半径为 r，点 P 到直线 x=-1 的距离为 d， 则，即|PF|=d+1 则点 P 到点 F 的距离与到直线 x=-2 的距离相等， 点 P 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 x=-2 为准线的抛物线， 故其轨迹方程为 y 2=8x； （2）设存在满足条件的两点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ， 因为两点 A，B 关于直线 y=x-1 对称， 所以设直线 AB 的方程为 y=-x+m， 将直线 AB 与抛物线
21、的方程联立， 消去 y 并整理得 x 2-（2m+8）x+m2=0， =（2m+8） 2-4m2=32m+640，即 m-2 由韦达定理得，x1+x2=2m+8， 设线段 AB 的中点为点 M（x0，y0） ，则 x0=m+4，y0=-（m+4）+m=-4， A、B 两点关于直线 y=x-1 对称， 所以，点 M 在直线 y=x-1 上， 即 m+4-1=-4，解得 m=-7 m=-7 与 m-2 矛盾！ 所以，轨迹 C 上不存在两点 A、B 关于直线 y=x-1 对称 【点睛】本题考查动点的轨迹方程、抛物线的定义，考查直线与抛物线的综合问题，求解直 线与抛物线的位置关系问题时，常用方法是设而
22、不求法，借助韦达定理等手段，将多变量问 题逐步转化为单变量问题，进而解决问题，本题还考查了计算能力、推理能力等 20.在ABC 中，tanA= ，tanB= （1）求 C 的大小； （2）若ABC 的最小边长为，求ABC 的面积 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】 （1）利用诱导公式、两角和的正切公式，求得 tanC=-tan（A+B）的值，可得 C 的值 （2）根据三个角的正切值，可以得到 a 最小，利用同角三角函数的基本关系求出 sinA、sinB 的值，再利用正弦定理求出 c 的值，进而可得ABC 的面积 【详解】解： （1）ABC 中，tanA= ，tanB= ， tanC
23、=-tan（A+B）=-=-1， C= （2）tanAtanB， ABC， a 为最小边，a= 由 tanA= =，tanB= =， sin 2A+cos2A=1，sin2B+cos2B=1， sinA=，sinB=， 由正弦定理，=，可得 c=， ABC 的面积为 acsinB= 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和差的三角公式等三角变 换的知识，同时也考查了正弦定理、三角形面积公式等知识，属于中档题。 21.已知椭圆 C：+=1（ab0）经过点（1，） ，且焦距为 2 （1）求椭圆 C 方程； （2）椭圆 C 的左，右焦点分别为 F1，F2，过点 F2的直线 l 与
24、椭圆 C 交于 A，B 两点，求F2AB 面积 S 的最大值并求出相应直线 l 的方程 【答案】 （1）； （2）， 【解析】 【分析】 （1） 将点代入椭圆方程得， 又焦距为， 故得， 进而根据 得的值； （2）设直线 l 的方程为 x=my+，借助韦达定理，用 m 表示出三角形F2AB 面积，利用基本 不等式求出最大值，进而得出直线方程。 【详解】解： （1）由已知可得，解得 a 2=4，b2=1， 椭圆 C 方程为+y 2=1， （2）由题中左、右焦点易知 F1（-，0） ，F2（-，0） ， 若直线 l 的倾斜角为 0，显然 F，A，B 三点不构成三角形， 故直线 l 的倾斜角不为 0
25、，可设直线 l 的方程为 x=my+， 由， 消 x 可得（m 2+4）y2+2 my-1=0 设 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ， 则 y1+y2= -，y1y2= - |y1-y2|= F2AB 的面积 S= |F1F2|y1-y2|=4=4 =44=2 当且仅当 m 2+1=3，即 m= 时，等号成立，S 取得最大值 2， 此时直线 l 的方程为 x+y-=0，或 x-y-=0 【点睛】本题考查了椭圆的方程，求解直线与椭圆的位置关系问题，常用方法是设而不求法， 借助韦达定理等手段，将多变量问题逐步转化为单变量问题，进而转化为函数问题或基本不 等式问题研究其最值 22.已知定义在
26、R 上的函数 f（x）=x 3+（k-1）x2+（k+5）x-1 （1）若 k=-5，求 f（x）的极值； （2）若 f（x）在区间（0，3）内单调，求实数 k 的取值范围 【答案】 （1）f（x）极大值是 f（0）=-1，f（x）极小值是 f（4）=-33； （2） 【解析】 【分析】 （1）代入 k 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，即可求 出函数的极值； （2）求出函数的导数，通过讨论对称轴的范围，得到函数的单调区间，从而确定 k 的范围即 可 【详解】解： （1）k=-5 时，f（x）=x 3-6x2-1， f（x）=3x 2-12x， 令 f（x）0，解
27、得：x4 或 x0， 令 f（x）0，解得：0 x4， 故 f（x）在（-，0）递增，在（0，4）递减，在（4，+）递增， 故 x=0 时，f（x）取极大值，且极大值是 f（0）=-1， x=4 时，f（x）取极小值，且极小值是 f（4）=-33； （2）f（x）=3x 2+2（k-1）x+k+5=3 -+k+5， f（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线 x=， 当0 即 k1 时，f（0）=k+50 且 f（x）在（0，3）递增， 故 f（x）0 在（0，3）内恒成立， 故 f（x）在（0，3）递增，即 k1 时满足题意； 当3 即 k-8 时，f（0）=k+50 且 f（x）在（0
28、，3）递减， 故 f（x）0 在（0，3）内恒成立， 故 f（x）在（0，3）内递减，即 k-8 满足题意； 当 03 即-8k1 时， （）若-8k-5，则 f（0）=k+50， 只需 f（3）=7k+260 即 k -， 此时 f（x）0 在（0，3）内恒成立， 即 f（x）在（0，3）递减， （）若-5k1，则 f（0）=k+50， 此时只需 f（）=-+k+50， 解得： 即-2k1 时，f（x）0 在（0，3）内恒成立， 即-2k1 时，f（x）在（0，3）递增， 综上，若 f（x）在区间（0，3）内单调，实数 k 的范围是（-，-5-2，+） 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，对参数 进行分类讨论时要做到“不重不漏”，还考查了转化与化归的意识
