1、 河南省濮阳市河南省濮阳市 20182018- -20192019 学年高二数学上学期期末考试试题学年高二数学上学期期末考试试题 理 （含解理 （含解 析）析） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则该双曲线的离心 率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得双曲线的渐近线方程，由平行得斜率，进而可求离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为：. 由双曲线的一条渐近线平行于直线，可得：. 则该双曲线的离心率为. 故选 A. 【点睛】
2、本题主要考查了双曲线的渐近线方程及离心率的求解，属于基础题. 2.设是等比数列，若，则（ ） A. B. 64 C. D. 128 【答案】B 【解析】 【分析】 设公比为 ，可得，利用可得解. 【详解】是等比数列，设公比为 ，所以，得. . 故选 B. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，属于基础题. 3.命题 ：，若是真命题，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：若是真命题，即，当时显然满足题意，当时， 不满足题意，当时，解得，综上有，故选 D 考点：二次函数的性质，一元二次不等式问题 4.已知点，若动点的坐标满足，则的最小值为（ ） A
3、. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，结合题中的意思，能够得到表 示区域内的点 到点 的距离，可以得到其最小距离为点 A 到直线的距离，应用点 到直线的距离公式求得结果. 详解：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域， 表示区域内的点 到点 的距离， 由图可知，其最小距离为点 A 到直线的距离， 即，故选 A. 点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对 应的可行域，之后根据目标函数的形式，分析其几何意义，表示的是两点之间的距离，应用 点到直线的距离公式求得结果.要明确目标函数的形式大体上有三
4、种：斜率型、截距型、距离 型；根据不同的形式，应用相应的方法求解. 5.在中，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由三角形面积公式可得 ，进而可得解. 【详解】在中，, ，可得，所以， 所以 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，属于基础题. 6.下列说法正确的是（ ） A. “函数为奇函数”是“”的充分不必要条件 B. 在中，“”是“”的既不充分也不必要条件 C. 若命题为假命题，则都是假命题 D. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则” 【答案】D 【解析】 函数为奇函数，函数的定义域为 时，才成立，故选项 A 错误；因为是在三角 形中，所以“”是“”成立
5、的充要条件，故选项 B 错误；若命题为假命 题，则至少有一个为假命题，故选项 C 错误；故选 D 7.如图，F是正方体的棱CD的中点E是上一点，若，则有 A. B. C. D. E与B重合 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意，分别以 DA，DC，DD1为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求得，的坐标，根据 向量的数量积等于 0，求得，即可求解. 【详解】由题意，分别以 DA，DC，DD1为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为 2，则 D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)， 设 E(2，2，z)，(0，1，2)，(2，2，z)， ， ，故选 A. 【点睛
6、】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐 标系，利用向量的数量积求解 的值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基 础题. 8.已知满足，且，那么下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 a，b，c 满足 cba 且 ac0，可得 a0，c0，进而利用作差法或特殊值法可得解. 【详解】a，b，c 满足 cba 且 ac0，a0，c0，可得： Aabaca（bc）0，正确 Bc（ba）0，不正确 C取 b0 时，不正确； D D 不正确 故选：A 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题 9.如图，
7、是三棱锥的底面的重心.若（ 、 、） ，则 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据重心的性质及向量加法的平行四边形法则，（） ，从而便可得到 ，由此可求出x+y+z 【详解】 如图，连结PM，AM, M是三棱锥PABC的底面ABC的重心， ， ， （x、y、xR R） ， x1，yz， x+y+z 故选：C 【点睛】本题考查代数和的求法，考查重心定理、向量加法法则等基础知识，考查运算求 解能力，考查函数与方程思想，是基础题 10.为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路两点进行测量.在 点测得塔底 在南偏西 ，塔顶仰角为，此人沿着南偏东方向前进 10 米到
8、 点，测得塔顶的仰角为，则 塔的高度为（ ） A. 5 米 B. 10 米 C. 15 米 D. 20 米 【答案】B 【解析】 【分析】 设出塔高为h，画出几何图形，根据直角三角形的边角关系和余弦定理，即可求出h的值 【详解】如图所示： 设塔高为ABh， 在 RtABC中，ACB45， 则BCABh； 在 RtABD中，ADB30，则BDh； 在BCD中，BCD120，CD10， 由余弦定理得：BD 2BC2+CD22BCCDcosBCD， 即（h） 2h2+1022h10cos120， h 25h500，解得 h10 或h5（舍去） ； 故选：B 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问
9、题，也考查了将实际问题转化为解三角形 的应用问题，是中档题 11.已知、分别为双曲线的左右焦点，左右顶点为、， 是双曲线上任 意一点，则分别以线段、为直径的两圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上情况 均有可能 【答案】B 【解析】 【分析】 设|PF1|m，|PF2|n，讨论若P在双曲线的右支上和P在双曲线的左支上，结合双曲线的定 义和中位线定理，以及两圆位置关系的判断方法，计算可得所求结论 【详解】设|PF1|m，|PF2|n， 若P在双曲线的右支上，可得mn2a， 设PF1的中点为H，由中位线定理可得 可得|OH|n（m2a）ma， 即有以线段PF1、A1A
10、2为直径的两圆相内切； 若P在双曲线的左支上，可得nm2a， 设PF1的中点为H，由中位线定理可得 可得|OH|n（m+2a）m+a， 即有以线段PF1、A1A2为直径的两圆相外切 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的定义和两圆的位置关系，注意运用定义法和三角形的中位线定理， 属于中档题 12.已知函数的定义域为 ，当时，且对任意的实数 ， 恒成立，若数列满足（）且，则下 列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 取xy0，可得f（0）f（0）f（0） ，分析可得f（0）1取yx0，f（x）f（ x）1，可得f（x）1，设x1x2，则f（x1x2）f（x1）f
11、（x2）1， 可得函数f（x）在 R R 上单调递减根据数列an满足f（an+1）f（）1f（0） 可得 an+10，a1f（0）1，可得：an+3an进而得出结论 【详解】对任意的实数x，yR R，f（x）f（y）f（x+y）恒成立， 取xy0，则f（0）f（0）f（0） ，解得f（0）0 或f（0）1 当f（0）0 时，得余题意不符，故舍去. 所以f（0）1 取yx0，则f（x）f（x）1，f（x）， 设x1x2，则f（x1x2）f（x1）f（x2）1，f（x1）f（x2） 函数f（x）在 R R 上单调递减 数列满足f（an+1）f（）1f（0） 0，a1f（0）1， ，2，1， ，1，
12、2 f（）1，f（）f（1）1 f（）f（） 而f（）f（） ，f（）1f（） ， f（）f（）f（）f（2） ， 因此只有：C正确 故选：C 【点睛】本题考查了抽象函数的单调性与求值、数列递推关系、数列的周期性，考查了推理 能力与计算能力，属于难题 二、填空题（将答案填在答题纸上）二、填空题（将答案填在答题纸上） 13.若，则的最小值为_ 【答案】19 【解析】 【分析】 由，可得，进而可由展开，利用基本不等式 即可得解. 【详解】由，可得. . 当且仅当，即时，取得最小值 19. 故答案为：19. 【点睛】本题主要考查了灵活利用基本不等式求和的最值，属于基础题. 14.在空间直角坐标系中，
13、已知三点，若向量 与平面垂 直，且，则 的坐标为_ 【答案】或 【解析】 【分析】 设，根据题意可得：，列方程求解即可. 【详解】由，可得 设，根据题意可得：，可得. 解得或. 所以或. 故答案为：或. 【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题. 15.已知椭圆的上下顶点分别为，右焦点为，右顶点为，若直 线与直线交于点 ，且为钝角，则此椭圆的离心率 的取值范围为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可知，由，结合坐标运算即可得解. 【详解】由题意可知，且. 当为钝角时， 此时，即，有，又解得， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了利用向量的坐标运算解决夹角问题，属于中档题. 16
14、.已知数列，满足，且，是函数的两个零点，则 _ 【答案】64 【解析】 【分析】 由，是函数的两个零点，可得，进而由 递推关系依次求解数列的项结合即可得解. 【详解】 由，是函数的两个零点， 可得. 由，得， . . 故答案为：64. 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，采用的方法数一一列举的方式呈现规律，属于中 档题. 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.已知不等式的解集为集合 ，的解集为集合 . （1）求集合 和 ； （2）当时，若“”是“”的必要条件，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）,B=； （2）.
15、 【解析】 【分析】 直接利用一元二次不等式的解法解不等式可求出集合； “”是“”的必要 条件，则，根据集合的包含关系得到关于 的不等式组，解出即可 【详解】的解集为集合A， ； 的解集为集合B， ； 当时： ， 若“”是“”的必要条件， 则， 则，解得： 【点睛】本题考查了不等式的解法，考查集合的包含关系，是一道常规题集合的基本运算 的关注点： （1）看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题 的前提； （2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解 决； （3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图
16、18.在平面直角坐标系中，直线 与抛物线相交于不同的两点. （1）如果直线 的方程为，求弦的长； （2）如果直线 过抛物线的焦点，求的值. 【答案】 （1）8（2）-3 【解析】 【分析】 （1）直线与抛物线联立，由两点间距离公式结合韦达定理求解即可； （2）设直线方程为：，与抛物线联立，由，结合韦达定理代 入求解即可. 【详解】设，. （1）联立得：. 由韦达定理得：，. . （2）由直线 过抛物线焦点且与抛物线有两个不同交点， 故可设方程为：， 联立得：， 由韦达定理：， . 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，属于基础题. 19.已知的三内角所对的边分别是
17、，向量，且 . （1）求角 的大小； （2）若，求的取值范围. 【答案】 （1）（2） 【解析】 试题分析： （1）由两向量的坐标，及两向量垂直，利用平面向量的数量积运算法则列出关系 式，利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出的 值，即可确定出 B 的度数； （2）由 b 及的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出的最大值，最 后利用三角形两边之和大于第三边求出的范围即可 （1），且， 利用正弦定理化简得：，整理得 ，即 又 （2），所以由余弦定理，即 ，当且仅当时取 等号，即，又 考点：正弦、余弦定理，基本不等式的运用 20.已知等差数列的各项均为
18、正数，前 项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且，求数列的前 项和. 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）设数列的首项为，公差为 ，且，由题意，得，解方 程求解即可； （2）利用累加法得到，从而得，进而利用裂项 相消法求和即可. 【详解】 （1）设数列的首项为，公差为 ，且. 则由题意，得 解之得或（舍） . （2）由得 以上等式左右相加得，又， ， . . 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算及累加法求通项公式，裂项相消法求数列的 和，属于中档题. 21.（1）在圆内直径所对的圆周角是直角.此定理在椭圆内（以焦点在 轴上的标准形式为例） 可表述
19、为“过椭圆的中心 的直线交椭圆于两点，点 是椭圆上异于 的任意一点，当直线，斜率存在时，它们之积为定值.”试求此定值； （2）在圆内垂直于弦的直径平分弦.类比（1）将此定理推广至椭圆，不要求证明. 【答案】 （1）定值为 (2)见证明 【解析】 【分析】 （1）设，由椭圆的对称性可知，由两点间的斜率坐标表示及点 在椭圆上的等量关系化简可得解； （2）类比第一问，利用坐标运算求解即可. 【详解】 （1）设，由椭圆的对称性可知 直线，的斜率存在， 又在椭圆上 ， 将代入得 故此定值为. （2）此定理在椭圆内可表述为： 为椭圆的任意一条存在斜率的弦，的中点为 ， 为坐标原点.当直 线的斜率存在时，直
20、线与直线的斜率之积为定值. 设，则 又在椭圆上 ， 将代入得 故此定值为. 【点睛】本题以类比的形式考查椭圆中的几何关系坐标化的运算求解，涉及斜率的坐标表示， 属于中档题. 22.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，已知， ，于 . （1）求证：； （2）若平面平面，且，求二面角的余弦值. 【答案】 （1）见证明； （2） 【解析】 【分析】 （1）连接，证明，可得，由，得，由线面垂直的 判定可得平面，从而得到； （2）由平面，平面平面，可得，两两垂直，以 为原点， ，分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向 量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值 【详解】 （1）连接， ，是公共边， ， ， ， 又平面，平面， 平面， 又平面， . （2）由平面，平面平面， 所以，两两垂直，以 为原点，分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐 标系，如图所示 所以， 则，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 又平面的一个法向量为， 设二面角所成的平面角为 ， 则， 显然二面角是锐角，故二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查空间中线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间 向量求解二面角的大小，是中档题
