1、 江苏省海门市江苏省海门市 20182018- -20192019 学年高二上学期期末联考数学（理）试题学年高二上学期期末联考数学（理）试题 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 1414 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 1.已知复数，为虚数单位 ，且为纯虚数，则实数a的值为_ 【答案】1 【解析】 【分析】 直接利用复数代数形式的加减运算化简，再由实部为 0 求解 【详解】， ， 由为纯虚数，得 故答案为：1 【点睛】本题考查复数代数形式的加减运算，考查复数的基本概念，是基础题 2.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线上点M到焦点的距离为 8，则点M到y轴的距离 为_ 【答案
2、】7 【解析】 【分析】 利用抛物线的定义转化求解即可 【详解】抛物线，可得， 因为抛物线上的点与焦点的距离等于到准线的距离， 抛物线上的点到焦点距离为 8，那么该点到 y 轴的距离为： 故答案为：7 【点睛】本题考查抛物线的定义及简单性质的应用，是基本知识的考查 3.已知复数z满足为虚数单位 ，则复数z的模_ 【答案】 【解析】 分析：先求出，在结合模长公式即可. 详解：由题得： 故答案为： 点睛：考查复数的除法运算，复数的模长，属于基础题. 4.已知命题p：，q：， 则在命题； ；中，真命题的个数为_ 【答案】2 【解析】 【分析】 分别判断命题 p，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判
3、断即可 【详解】当时，成立，即命题 p 是真命题， ， ，是假命题，即 q 是假命题， 则是真命题；是假命题；是假命题；是真命题，则真命题 的个数是 2 个， 故答案为：2 【点睛】本题主要考查复合命题真假判断，根据条件判断命题 p，q 的真假是解决本题的关键 5.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的右焦点到其渐近线的 距离为 1，则该双曲线的标准方程是_ 【答案】 【解析】 【分析】 设右焦点为，一条渐近线为，根据点到直线的距离公式，求出 b，再根据离心 率以及，求出 a，即可求出结果 【详解】设右焦点为，一条渐近线为， 根据点到直线的距离公式，可得， 所以双曲线的方程为， 故答案为： 【
4、点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，由，求出 b 值是解题的关键 6.已知正四棱锥中，底面边长为 2，高为，则此正四棱锥的侧面积为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意由勾股定理计算正四棱的斜高，即可求出它的侧面积. 【详解】正四棱锥底面边长为 ，高为， 则侧面的高为， 正四棱锥的侧面积为 故答案为： 【点睛】本题考查正四棱锥的结构特征应用问题，是基础题 7.已知函数其中，e为自然对数的底数 ，若函数在处取 得极值，则实数a的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 求出函数的导数，根据，求出 a 的值即可 【详解】， 若在处取得极值， 则， 解得：， 经检验，符合题
5、意， 故答案为： 【点睛】本题考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是一道常规题 8.如图，在正三棱柱中，D为棱上的点，且，若四棱锥的 体积为 4，则正三棱柱的体积为_ 【答案】9 【解析】 【分析】 设正三棱柱中，可得四棱锥的体积，即可得 正三棱柱的体积 【详解】设正三棱柱中， 四棱锥的体积为 4， ， 正三棱柱的体积为 故答案为：9 【点睛】本题考查了几何体的体积公式的应用，属于基础题 9.下列结论： “直线l与平面 平行”是“直线l在平面 外”的充分不必要条件； 若p：，则：，； 命题“设a，若，则或”为真命题； “”是“函数在上单调递增”的充要条件 其中所有正确结论的序号为_ 【
6、答案】 【解析】 【分析】 由线面的位置关系，结合充分必要条件的定义可判断；由特称命题的否定为全称命题，可 判断；由原命题和逆否命题互为等价命题，可判断；由导数大于等于 0 恒成立，结合充 分必要条件的定义，可判断 【详解】“直线 l 与平面 平行”可推得“直线 l 在平面 外”，反之，不成立，直线 l 可 能与平面 相交，故“直线 l 与平面 平行”是“直线 l 在平面 外”的充分不必要条件，故 正确； 若 p：，则：，故错误； 命题“设 a，若，则或”的逆否命题为 “设 a，若且，则”，即为真命题，故正确； 函数在上单调递增，可得在恒成立，即有 的最小值，可得，“”是“函数在上单调递增”的
7、充分 不必要条件，故错误 故答案为： 【点睛】本题考查命题的否定和四种命题的真假判断，考查充分必要条件的判断，属于基础 题 10.设球O与圆锥的体积分别为，若圆锥的母线长是其底面半径的 2 倍，且球O的 表面积与圆锥的侧面积相等，则的值是_ 【答案】 【解析】 【分析】 设圆锥的底面半径为 r，球的半径为 R，计算出圆锥的侧面积，结合球体公式得出 R，然后分 别计算出和，即可得出答案 【详解】设圆锥的底面半径为 r，则该圆锥的母线长为 2r，高为，所以，圆锥的体积为 ，圆锥的侧面积为 设球 O 的半径为 R，由题意可得，得， 所以， 因此， 故答案为： 【点睛】本题考查球体的表面积与体积的计算
8、，解决本题的关键在于确定球体半径与圆锥底 面半径之间的关系，考查了计算能力，属于中等题 11.在平面直角坐标系xOy中， 设直线与圆交于不同的两点A， B，若圆上存在点C，使得为等边三角形，则正数m的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 先由圆心角与圆周角的关系得到，再利用余弦定理得到 BD，最后借助于点到直 线的距离公式可解得 m 即可 【详解】根据题意画出图形，连接 OA，OB，作 OD 垂直于 AB 于 D 点， 为等边三角形， 由余弦定理知：， 故 BD， 到直线的距离，解得， 又， 故答案为： 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查余弦定理，考查点到直线的距离公式，属于中 档题 1
9、2.若函数的图象上有且只有 2 对关于原点对称的点，则实数a的取值 范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数关于原点对称的函数，原题可转化为 ，有两个交点，构造函数，利用导数求出函数的最值，结合图象即可求 出 a 的取值范围 【详解】函数关于原点对称的函数， 函数 的图象上有且只有 2 对关于原点对称的点， ，有两个解， 即， 设， ， 令，解得， 当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增， ， ，当时， ， 故答案为： 【点睛】本题考查分段函数的问题，考查利用导数研究函数的最值问题，属于中档题 13.如图，椭圆C：的顶点分别为，记四边形的 面积为， 四边形的内切圆面积为， 若， 则椭
10、圆C的离心率的最大值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用四边形的面积为 2ab， 利用四边形内切圆半径为圆心到直线的 距离，求出四边形的内切圆面积为，然后利用，求解椭圆离心率范 围 【详解】 四边形的面积为 2ab， 四边形内切圆半径 r 为圆心到直线： 的距离，则四边形的内切圆面积为，由， 可得， ，椭圆 C 的离心率的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键 就是确立一个关于 a,b, c 的方程或不等式，再根据 a,b, c 的关系消掉 b 得到 a, c 的关 系式，而建立关于 a,b, c 的方程或不等式，要充分利用椭
11、圆和双曲线的几何性质、点的坐 标的范围等. 14.已知函数， 若函数有五个零点， 则实数a的取值范围 是_ 【答案】 【解析】 【分析】 分段讨论：当时，解得：有 3 个根的条件，当 时，利用导数研究函数的单调性及最值，从而得到的图 象与 x 轴有两个交点的条件，再综合求解即可 【详解】当时，解得：， 此方程有三个不等实数解等价于有两不等负根， 即，即， 当时， ， 当时，即为增函数，其 图象与 x 轴最多有 1 个交点，显然不符合题意，即， 由时，时， 即在为增函数，在为减函数， 由题意有的图象与 x 轴有两个交点， 则需， 即， 解得， 综合得： 实数 a 的取值范围是， 故答案为： 【点
12、睛】本题考查分段函数的解的个数、利用导数研究函数的单调性及最值，属难度较大的 题型. 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 1010 小题，共小题，共 138.0138.0 分）分） 15.在斜三棱柱中，D是BC的中点 求证：平面； 求证：平面平面 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 连结，交于点 E，连结 DE，推导出，由此能证明平面由已 知条件证明平面，由面面垂直的判定定理即可证明平面平面 【详解】连结，交于点 E，连结 DE， 在斜三棱柱中， 四边形是平行四边形， 是的中点， 是 BC 中点， 又平面，平面， 平面 由知，又， ， ，D 是 BC 的中点， ，
13、 又， 平面， 平面，平面平面 【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运用求解能力，考查数形结合思想，是中档题 16.已知椭圆C：的左，右顶点分别是，右焦点为F，直线l： 与以线段为直径的圆相切 求椭圆C的离心率； 设点在椭圆C上，且，求的值 【答案】 （1）； （2）1 【解析】 【分析】 由直线与圆相切可得再利用即可求得离心率；由可设椭圆方程为 然后根据点 P 在椭圆上和 PF=1 即可得到的值. 【详解】直线 l：与以线段为直径的圆相切， ，即 设，由于 ，故， 由可知， 椭圆方程可为： 点在椭圆 C 上， ，即 由，且，可得
14、解得 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法和椭圆简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题 17.已知海岛A到海岸公路BC的距离AB为 50km，B，C间的距离为从海岛A到C，先乘 船至海岸公路BC上的登陆点D， 船速为， 再乘汽车至C， 车速为， 设 用 表示从海岛A到C所用时间，并确定 的取值范围； 求当 为何值时，能使从海岛A到C所用时间最少 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 求出 AD，CD，从而可得出的解析式；利用导数判断函数单调性，根据单调性得出最 小值对应的夹角 【详解】在中， ， 设，则，则 的取值范围是 ， 当时，当时， 当时，取得最小值，即从海岛 A
15、到 C 所用时间最少 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，考查利用导数求函数最值，属于中档题 18.四棱锥中，已知平面PAD，E为棱PC上的一点，经过A， B，E三点的平面与棱PD相交于点F 求证：平面PAD； 求证：； 若平面平面PCD，求证： 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）见解析 【解析】 【分析】 推导出，从而平面 ABCD，进而，由，能证明平 面 PAD由平面 PAD，平面 PAD，得，从而平面 ABEF，由此能证明 由，得到平面 ABE，由此能证明 【详解】平面 PAD，平面 PAD， ，又， 平面 ABCD， 平面 ABCD， ，平面 PAD 由知平面 PAD
16、， 又平面 PAD， 平面 ABEF，平面 ABEF， 平面 ABEF， 平面 PCD，平面平面， 由知， 平面 PAD， 又， 平面平面 PCD，平面平面， 平面 PCD， 平面 ABE， 又平面 ABE， 【点睛】本题考查线面垂直、线线平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间 的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 19.已知椭圆C：的离心率为，经过点过点的直线l与椭 圆C相交于A，B两点，且与椭圆C的左准线交于点N 求椭圆C的标准方程； 当时，求直线l的方程； 设，求面积的最大值 【答案】 （1）； （2）； （3）9 【解析】 【分析】 由椭圆的离
17、心率为和经过点，列出方程组，求出 a,b,c 可得椭圆的标准方程设 直线 l 方程为，椭圆的左准线方程为,得到点 M 和 N 的 坐标，求出，将直线与椭圆联立利用根的判别式、韦达定理、弦长公式得到 AB，结合已知 条件求直线 l 方程设直线 l 方程为，存在 ，求出点 到直线 l 的距离 和弦 长，计算的面积利用导数可求得最大值. 【详解】椭圆 C：的离心率为，经过点 由题意得，解得， 椭圆 C 的标准方程为 设直线 l 的方程为，存在 ， 椭圆的左准线方程为， 又， 由，得， ， ， ， 解得，直线 l 的方程为 设直线 l 的方程为，存在 ， 则到直线 l 的距离， 由知， 的面积，令，则
18、， ， 当时，S 单调递减，当时，S 取得最大值，且最大值为 9， 面积的最大值为 9 【点睛】本题考查椭圆标准方程、直线方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查 椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化 归与转化思想，是中档题 20.记， 其中为函数的导数若对于， 则称函数 为D上的凸函数 求证：函数是定义域上的凸函数； 已知函数，为上的凸函数 求实数a的取值范围； 求函数，的最小值 【答案】 （1）见解析； （2）；见解析 【解析】 【分析】 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出导函数的单调区间，从而判断函数的凹凸 性即可； 求出函数的导
19、数，问题转化为在上恒成立，求出 a 的范 围即可；令，则，通过讨论 a 的范围，求 出的最小值即可 【详解】由， 得， 令，则， 当时，当时， 故在递减，在递增， 故， 故对于， 函数是定义域上的凸函数； 由， 得， 函数是上的凸函数， 故在上恒成立， 故在上恒成立， 故，故， 故实数 a 的范围是， 令， 则， ， 当时，在上恒成立， 故 F， 故 H，当且仅当时取等号， ； 当时，在恒成立， 故 F在递增， 故 F， 故 H； 当时，令， 存在零点， 其中， ， 故， 结合的性质有：时，故 F， 时，故 F， 故 F在上递减，在递增， 故 F， 由知， 故，从而， 故 F， 又的图象是一条
20、不间断的曲线， 故 F在上有零点， 故 H的最小值是 0， 综上，当时，的最小值是， 当时，的最小值是 0， 当时，的最小值是 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和函数的最值问题，考查导数的应用以及分类 讨论思想，转化思想，综合性较强 21.在极坐标系Ox中，设曲线C的方程为，直线l的方程为，若直线 l与曲线C相交于A，B两点，求的面积 【答案】 【解析】 【分析】 首先把直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用和 三角形的面积公式的应用求出结果 【详解】曲线 C 的方程为， 转换为直角坐标方程为：， 直线 l 的方程为， 转换为直角坐标方程为：， 则圆心
21、到直线的距离， 且， 所以： 【点睛】本题考查的知识要点：直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公 式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为椭圆C的参 数方程为为参数 设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长 【答案】 【解析】 【分析】 把椭圆 C 的参数方程化为普通方程，将直线 l 的参数方程代入椭圆方程中，利用参数 t 的几 何意义与根与系数的关系求出线段 AB 的长 【详解】椭圆 C 的参数方程为参数 化为普通方程是， 将直线 l 的参数方程代入中， 整理得， 设 A，B
22、两点所对应的参数分别为 、 ， 则， 所以， 即线段 AB 的长为 【点睛】本题考查直线的参数方程，考查了简单曲线的参数方程，解答此题的关键是熟练掌 握直线参数方程中参数的几何意义. 23.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD， M是棱PD上一点，且， 当时，求直线AM与PC所成角的余弦值； 当时，求二面角的大小 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】 以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法 能求出直线 AM 与 PC 所成角的余弦值求平面 MAC 的一个法向量和平面 BAC 的一个法向量， 由向量的数量积公式可求
23、出二面角的大小 【详解】以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则0，0，2，0， 设y，则， ， 当时， ， 直线 AM 与 PC 所成角的余弦值为 2， 当时，解得， 此时，1， 设平面 MAC 的一个法向量y， 则，取，得， 又平面 BAC 的一个法向量0， ， 由图象得二面角是钝二面角， 二面角的大小为 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 24.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为H，
24、 过点F的直线l与抛物线的交点为A，B，且 求证：； 求的值 【答案】 （1）见解析； （2）4 【解析】 【分析】 求得抛物线的焦点坐标和准线方程，可得 H 坐标，设，直线 AB 的方程为 ， 联立抛物线方程， 运用韦达定理和直线的斜率公式， 证得 AH， BH 的斜率之和为 0， 即可得证； 由两直线垂直的条件：斜率之积为，结合抛物线的定义和韦达定理，化简可得所求值 【详解】证明：抛物线的焦点，准线方程为， 设， 直线 AB 的方程为， 代入抛物线方程可得， 可得， 则 ，即， 则； 由， 可得，即， ， 可得， 则 【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线的斜率公式的运用，考查化简运算 能力和推理能力，属于中档题
