1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 株洲世纪星高级中学株洲世纪星高级中学 20192019- -20202020 学年度第二学期高一入学考试学年度第二学期高一入学考试 数学数学 第第卷卷 一、单选题（共一、单选题（共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，请将答案写到答卷上）分，请将答案写到答卷上） 1.若集合|3Ax x，0,2,4,6,8B ，则 RA B （ ） A. 0 B. 0,2 C. 0,2,4 D. 4,6,8 【答案】B 【解析】 【分析】 求出集合 A 的补集，再进行交集运算. 详解】|3 RA x x 0,2
2、 RA B 故选：B 【点睛】本题主要考查了集合间的交集和补集运算，属于基础题. 2.函数 1 ( )lnf xx x 的零点所在的区间是（ ） A. 1 (,1)e B. (1,2) C. (2, ) e D. ( ,3) e 【答案】B 【解析】 分析】 利用零点存在性定理即可判断. 【详解】 1 10f ee ；(1)10f ； 11 (2)ln2ln0 22 fe 1 ( )10f e e ； 1 (3)ln30 3 f (1) (2)0ff 故选：B 【点睛】本题主要考查了求函数零点所在区间，属于基础题. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 3.设长方体
3、的长、 宽、 高分别为 2， 1， 1， 其顶点都在同一个球面上， 则该球的表面积为 （ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出长方体的对角线的长度，即得外接球的直径，再求球的表面积得解. 【详解】由题得长方体外接球的直径 222 66 22116,46 24 RRS. 故选：B 【点睛】本题主要考查长方体的外接球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌 握水平，属于基础题. 4.已知是第二象限的角，那么 2 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第一或第三象限角 【答案】D 【解析】 【分析】 写出第
4、二象限角，再求出 2 的范围，讨论k的取值范围即可求解. 【详解】是第二象限的角， 则22 2 kkkZ ， 所以 422 kkkZ ， 当0k 时， 422 ，属于第一象限角， 当1k 时， 53 242 ，属于第三象限角， 当2k 时， 95 422 ，属于第一象限角， 所以 2 是第一或第三象限角， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 故选：D 【点睛】本题考查了象限角，考查了分类讨论的思想，属于基础题. 5.已知过点( 2,)Am和点( ,4)B m的直线为 1 l，2:210lxy ，3:10lxny 若 12 ll/， 23 ll，则mn的值为（ ）
5、A. 10 B. 2 C. 0 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】 利用直线平行垂直与斜率的关系即可得出 【详解】l1l2，kAB 4 2 m m 2，解得m8 又l2l3， 1 n (2)1，解得n2，mn10故选A 【点睛】本题考查了直线平行垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6.如图所示，在正方体 1 AC中，E，F分别是 1 DD，BD的中点，则直线 1 AD与EF所成角 的余弦值是（ ） A. 1 2 B. 3 2 C. 6 3 D. 6 2 【答案】C 【解析】 【分析】 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 E，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，
6、 在三角形中再利用余弦定理求出此角即可 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【详解】如图，取 AD 的中点 G， 连接 EG，GF，GEF 为直线 AD1与 EF 所成的角 设棱长为 2，则 EG= 2，GF=1，EF=3 cosGEF= 6 3 ， 故选 C 【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能 力，属于基础题 7.设 0.32 2 2 ,0.3 ,log 0.3abc，则, ,a b c的大小关系是（ ） A. abc B. cba C. cab D. bca 【答案】B 【解析】 【分析】 根据指数函数、对数函数和幂
7、函数的性质,即可判断abc、 、的范围,进而比较大小即可. 【详解】因为 0.32 2 2 ,0.3 ,log 0.3abc 由指数函数、对数函数和幂函数的性质可知 0.3 21a 2 00.31b 2 log 0.30c 所以cba 故选:B 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数和幂函数的性质,比较大小,属于基础题. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 8.如图， 两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直， 设,M N分别是BD和AE的中点， 那么 ADMN； /MN平面CDE；/MNCE；,MN CE异面，其中假命题的个 数为（ ） A. 4 B. 3 C
8、. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 两个正方形 ABCD 和 ADEF 所在平面互相垂直，M、N 分别是 BD 和 AE 的中点， 取 AD 的中点 G，连接 MG，NG，易得 AD平面 MNG，进而得到 ADMN，故正确； 连接 AC,CE,根据三角形中位线定理,可得 MNCE,由线面平行的判定定理,可得MN面 CDE 及MNCE 正确，MN、CE 错误； 其中假命题的个数为：1 本题选择 D 选项. 9.已知函数( )2tan 23 f xx .下列说法中错误的是（ ） A. 函数 f x的定义域是 1 2, 3 x xkkZ . B. 函数 f x图象与直线 1 2, 3 xkkZ没
9、有交点 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - C. 函数 f x的单调增区间是 5 2 3 2, 3 , 1 kkkZ D. 函数 f x的周期是 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正切函数的性质逐个判定即可. 【详解】对A, ( )2tan 23 f xx 的定义域满足 1 2 2323 xkxk ,kZ. 故 A 正确. 对 B,由 A 可知 B 正确. 对 C, ( )2tan 23 f xx 的单调递增区间即tan 23 x 的单调递减区间. 即 3 , 2232 kxkkZ ,化简得 17 22, 33 kxkkZ.故 C 错误. 对 D, f x的
10、周期是 2 2 ,故 D 正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了正切型函数的性质判定.属于基础题. 10.函数f（x） 2 1 sinx x 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 【分析】 根据函数图象的特征，利用奇偶性判断，再利用特殊值取舍. 【详解】因为f（- -x） 2 1 sinx x = f（x） ， 所以f（x）是奇函数，排除 B，C 又因为22 1 2 0 2 11 22 sin f ，排除 D 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 11.已
11、知直线x yt 与圆 222 2xytttR有公共点，则4tt的最大值为（ ） A. 4 B. 28 9 C. 32 9 D. 32 7 【答案】C 【解析】 【分析】 根据 222 2xytttR表示圆和直线xyt与圆 222 2xytttR有公共点， 得到 4 0 3 t ，再利用二次函数的性质求解. 【详解】因为 222 2xytttR表示圆， 所以 2 20tt，解得02t ， 因为直线x yt 与圆 222 2xytttR有公共点， 所以圆心到直线的距离dr， 即 2 2 2 t tt， 解得 4 0 3 t ， 此时 4 0 3 t ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高
12、考资源网 - 8 - 因为 2 2 4424 f tttttt，在 4 0, 3 递增， 所以4tt的最大值 34 3 2 9 f. 故选：C 【点睛】本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算 求解的能力，属于中档题. 12.函数 2 lg,0 62,0 xx f x xxx 则关于x的方程 2 230f xf x 的根的个数是 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 作出 f x的图象，解得方程 3f x 或 1f x ，数出根的个数即可. 【详解】作函数 f x的图象，如下图： 由方程 2 230f xf x ，即 3
13、10f xf x ， 解得 3f x 或 1f x ，由图象可知，方程的根的个数为 6 个. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法解决， 使本题变得易于理解，属于基础题. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 第第卷（非选择题卷（非选择题) ) 二、填空题（共二、填空题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，请将答案写到答卷上）分，请将答案写到答卷上） 13.半径为 1cm，圆心角为60的扇形的面积为_ 2 cm. 【答案】 6 【解析】 【分析】 利用扇形面积公式： 2 1 2
14、 SR，将圆心角化为弧度制代入即可求解. 【详解】圆心角60 3 ，由扇形的面积公式可得： 2 1 1 236 S . 故答案为： 6 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，需熟记公式，注意角为弧度制，属于基础题. 14.已知函数log (1)2(0,1) a yxaa的图象过定点A，且点A在幂函数 ( )f x的图 象上，则(9)f=_ 【答案】3 【解析】 【分析】 由对数函数性质求出定点A的坐标，设出幂函数解析式，由A点坐标求出幂函数解析式后可 求函数值 【详解】令10 x ，则2x，此时log 122 a y ，(2,2)A， 设( ) b f xx，则(2)22 b f， 1 2 b ，
15、即 1 2 ( )f xx 1 2 (9)93f 故答案为：3. 【点睛】本题考查对数函数的性质，考查幂函数的解析式掌握对数函数性质和幂函数的定 义是解题关键 15.已知( , )P x y为直线y x 上的动点， 2222 (1)(2)(2)(1)mxyxy， 则m 的最小值为_ 【答案】4 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 【解析】 【分析】 利用m几何意义可知其为点P到定点1,2A,2,1B 的距离之和的最小值,求出A关于 yx 的对称点2,1 A ,根据两点间线段最短求值即可 【 详 解 】 由 题 , 2222 (1)(2)(2)(1)mxyxy表
16、示 点P到 定 点 1,2A,2,1B 的距离之和,作A关于y x 的对称点 A ,可得 A 为2,1,则m的最小值 为 22 221 14AB 故答案为 4 【点睛】本题考查点关于直线对称的性质,考查两点间距离公式,考查数形结合思想和转化思 想 16.已知函数 2f xx， g x为偶函数，且当0 x时， 2 4g xxx.记 , max, , a ab a b b ab .给出下列关于函数 max,F xf xg xxR的说法：当 6x时， 2 4F xxx；函数 F x为奇函数；函数 F x在2 2 ,上为增函数； 函数 F x的最小值为0，无最大值.其中正确的是_. 【答案】 【解析】
17、 【分析】 g（x） 2 2 40 40 xxx xxx ， ， ，F（x）maxf（x） ，g（x）（xR R） 2 2 42 226 46 xxx xx xxx ， ， ， 画 出图象，数形结合即可得出 【详解】由 g x为偶函数，且当0 x时， 2 4g xxx， 令0 x，则0 x ，则 2 ()4gxxxg x ， 即当0 x时， 2 4g xxx， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - g（x） 2 2 40 40 xxx xxx ， ， ， F（x）maxf（x） ，g（x）（xR R） 2 2 42 226 46 xxx xx xxx ， ， ，
18、画出图象， 由图象可得：当x6 时，x 24x2x，F（x）x24x，因此正确 由图象可得：函数F（x）不为奇函数，因此不正确 2x6 时，2xx 24x，可得函数 F（x）2x，因此函数F（x）在2，6上为增函 数，所以函数F（x）在2，2上为增函数是正确 x2 时，g（x）x 2+4x2x，可得 F（x）x 2+4x4，综合可得函数 F（x）的最小值 为4，无最大值，不正确 其中正确的是 故答案为 【点睛】 本题考查了函数的图象与性质、不等式的解法，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力， 属于中档题 三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，小题，1010 分分+12+12 分分+12
19、+12 分分+12+12 分分+12+12 分分+12+12 分分=70=70 分）分） 17.计算： （1） 1 3 0 127 6(1) 48 ； （2） 23 1 lg25lg2lg0.1log 9 log 2 2 . 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 【答案】 （1）0（2） 1 2 . 【解析】 【分析】 （1）根据根式、指数运算化简所求表达式. （2）根据对数运算化简所求表达式. 【详解】 （1）原式= 1 3 2527 1 48 53 10 22 ； （2）原式 11 2 22 23 lg25lg2lg10log 3log 2 11 3 22 3
20、 3 log 3 lg 252 102log 2 log 2 3 2 31 lg1022 22 . 【点睛】本小题主要考查根式、指数和对数运算，考查运算求解能力，属于基础题. 18.(1)解不等式： 31 1 ( )2 2 x ； (2)已知a 5xax7(a0，且 a1)，求x的取值范围 【答案】 （1）x|x0 （2）当a1 时，x 7 6 ；当 0a1 时，x 7 6 . 【解析】 【分析】 (1)根据指数函数的单调性可将原不等式化为311x ，从而可得结果；(2)分两种情况讨 论，分别利用指数函数的单调性，化简原不等式求解即可. 【详解】(1)因为 1 1 2 2 ， 所以原不等式可以
21、转化为 311 11 22 x 因为y 1 2 x 在 R 上是减函数， 所以 3x11，所以x0. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 故原不等式的解集是x|x0 (2)当a1 时，因为a 5xax7，所以5xx7， 解得x ； 当 0a1 时，因为a 5xax7，所以5xx7， 解得x . 综上所述，x的取值范围是：当a1 时，x ； 当 0a1 时，x . 【点睛】本题主要考查指数函数的单调性，以及分类讨论思想的应用，属于中档题. 当 01a时， x f xa递减；当1a 时， x f xa递增. 19.如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，PA
22、 平面ABCD，点F为PC的 中点. （1）求证：PA平面BDF； （2）求证：PCBD. 【答案】 （1）详见解析； （2）详见解析 【解析】 试题分析： (1)设 BD 与 AC 交于点 O,利用三角形的中位线性质可得/OFPA,从而证明/PA 平面BDF;(2)由PA 平面ABCD,得PABD,根据菱形的性质可得BDAC,从而证 得BD 平面PAC,进而PCBD. 试题解析： （1）连结AC交BD于E，连结EF，点E，F分别为,AC PC的中点，所以EF 为CPA的中位数，PAEF，又PA面BDF，EF 面BDF，所以PA面BDF. （2）在菱形ABCD中，ACBD，又因为PA 面ABC
23、D，BD 面ABCD，所以 PABD， 又P A A C A，PA AC ，面PAC， 所以BD 面PAC， 又PC 面PAC， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 所以BDPC. 20.函数 sinf xAx（A、常数，0A，0， 2 ）的部分图象 如图所示. （）求函数 f x的解析式； （）将函数 f x的图象向左平移 6 单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数 g x的 图象，求函数 g x的单调递减区间. 【答案】 （） 2sin 2 3 f xx ； （） 5 , 1212 kkkZ . 【解析】 【分析】 （）先计算出 maxmin 2 fxfx
24、 A ，由函数图象得出 yf x的最小正周期T，再由 公式 2 T 求出的值，然后将点 7 , 2 12 代入函数解析式并结合的取值范围求出的 值，由此可得出函数 yf x的解析式； （）利用图象变换得出函数 yg x的解析式为 2 2sin 21 3 g xx ，然后解不等 式 23 222 232 kxkkZ ，可得出函数 yg x的单调递减区间. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 【详解】 （）由图可知， maxmin 22 2 22 f xf x A ， 设函数 yf x的最小正周期为T，则 7 41234 T ，T，则 2 2 T ， 2sin 2f
25、 xx， 由图象可知 777 2sin 22sin2 12126 f ， 7 sin1 6 ， 22 ， 275 363 ， 73 62 ， 3 ， 因此， 2sin 2 3 f xx ； （）由题意可得 2 2sin 212sin 21 633 g xxx ， 由 23 222 232 kxkkZ ，得 5 1212 kxkkZ . 因此，函数 yg x的单调递减区间为 5 , 1212 kkkZ . 【点睛】本题考查利用图象求三角函数的解析式，同时也考查了三角函数图象变换以及正弦 型三角函数单调区间的求解，解题时要将角视为一个整体，利用正弦函数的单调性来求解， 考查分析问题和解决问题的能力
26、，属于中等题. 21.已知圆 22 :2410C xyxy ，O为坐标原点，动点P在圆外，过点P作圆C的切 线，设切点为M. （1）若点P运动到13 ，处，求此时切线l的方程； （2）求满足PMPO的点P的轨迹方程. 【答案】 （1）1x 或3 4150 xy ； （2）2410 xy . 【解析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 【详解】 解: 把圆 C 的方程化为标准方程为（x1） 2（y2）24， 圆心为 C（1,2） ，半径 r2. （1）当 l 的斜率不存在时，此时 l 的方程为 x1，C 到 l 的距离 d2r，满足条件 当 l 的斜率存在时，设
27、斜率为 k，得 l 的方程为 y3k（x1） ，即 kxy3k0， 则 2 |23| 1 kk k 2，解得 k 3 4 . l 的方程为 y3 3 4 （x1） ， 即 3x4y150. 综上，满足条件的切线 l 的方程为1x 或3 4150 xy . （2）设 P（x，y） ，则|PM| 2|PC|2|MC|2（x1）2（y2）24， |PO| 2x2y2， |PM|PO|. （x1） 2（y2）24x2y2， 整理，得 2x4y10， 点 P 的轨迹方程为2410 xy . 考点：直线与圆的位置关系；圆的切线方程；点的轨迹方程. 22.已知函数 2 ( )(2)f xxmxm， ( )
28、( ) f x g x x ，且函数(2)yf x是偶函数. （1）求 g x的解析式；. （2）若不等式(ln )ln0gxnx在 2 1 ,1 e 上恒成立，求n的取值范围； （3）若函数 2 2 2 2 2 log49 log4 ygxk x 恰好有三个零点，求k的值及该函数 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 的零点. 【答案】 （1） 6 ( )4(0)g xxx x ； （2） 5 2 n； （3）6k ，该函数的零点为 0，2， 2. 【解析】 【分析】 (1)根据(2)yf x是偶函数求得表达式算出m的值,进而求得 g x的解析式即可. (2)换
29、元令lnxt,再求解(ln )lngxnx的最小值,化简利用二次不等式进行范围运算即可. (3)换元令 2 2 log4xp ,结合复合函数的零点问题,分析即可. 【详解】(1) 2 ( )(2)f xxmxm, 22 (2)(2)(2)(2)(6)8 3f xxmxmxmxm . (2)yf x是偶函数,60m,6m. 2 ( )46f xxx, 6 ( )4(0)g xxx x . (2)令lnxt, 2 1 ,1x e , 2,0)t ,不等式(ln )ln0gxnx在 2 1 ,1 e 上恒成立,等价于( )0g tnt在 2,0)t 上恒成立, 22 6 4 6464 11 t t
30、n ttttt . 令 2 64 1z tt , 1 s t ,则 1 2 s, 2 5 641 2 zss , 5 2 n. (3)令 2 2 log4xp ,则2p,方程 2 2 2 2 2 log490 log4 gxk x 可化为 2 ( )90g pk p ,即 62 490 k p pp ,也即 2 5(26) 0 ppk p . 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 又方程 2 2 2 2 2 log490 log4 gxk x 有三个实数根, 2 5(26) 0 ppk p 有一个根为 2,6k . 2 560pp,解得 2p 或3p . 由 2 2 log42x ,得0 x, 由 2 2 log43x ,得2x,该函数的零点为 0,-2,2. 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求解方法以及换元法求复合函数的应用,包括二 次函数的范围问题等与函数零点的问题.属于难题. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 -
