1、考点考点1 1 抛物线的定义和标准方程抛物线的定义和标准方程 1.(2020北京,7,4分)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQl 于Q,则线段FQ的垂直平分线( ) A.经过点O B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直于直线OP 答案答案 B 不妨设抛物线的方程为y2=2px(p0),P(x0,y0)(x00),则Q,F,直线FQ的斜率为 ,从而线段FQ的垂直平分线的斜率为,又线段FQ的中点为,所以线段FQ的垂直平分线 的方程为y-=(x-0),即2px-2y0y+=0,将点P的横坐标代入,得2px0-2y0y+=0,又2px0=,所以y= y0,
2、所以点P在线段FQ的垂直平分线上,故选B. 0 -, 2 p y ,0 2 p 0 -y p 0 p y 0 0, 2 y 0 2 y 0 p y 2 0 y 2 0 y 2 0 y 2.(2017课标,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l 为C的准线,点N在l上且MNl,则M到直线NF的距离为( ) A. B.2 C.2 D.3 3 5233 答案答案 C 因为直线MF的斜率为, 所以直线MF的倾斜角为60, 则FMN=60. 由抛物线的定义得|MF|=|MN|, 所以MNF为等边三角形. 过F作FHMN,垂足为H. 易知F(1,0),l
3、的方程为x=-1, 所以|OF|=1,|NH|=2,所以|MF|=+2,即|MF|=4,所以M到直线NF的距离d=|FH|=|MF|sin 60=4 =2.故选C. 3 | 2 MF3 2 3 思路分析思路分析 利用抛物线的定义得|MN|=|MF|,从而得MNF为等边三角形,易得点M到直线NF的距 离等于|FH|,进而得解. 解后反思解后反思 涉及抛物线焦点和准线的有关问题,应充分利用抛物线的定义求解.本题中直线的倾斜 角为特殊角60,通过解三角形更快捷.若联立直线和抛物线的方程求点M的坐标,然后求点N的坐 标和直线NF的方程,再利用点到直线的距离公式求解,运算量会比较大. 3.(2017山东
4、,15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物 线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 . 2 2 x a 2 2 y b 答案答案 y=x 2 2 解析解析 本题考查双曲线、抛物线的基础知识,考查运算求解能力和方程的思想方法. 设A(x1,y1),B(x2,y2). 因为4|OF|=|AF|+|BF|,所以4=y1+y2+,即y1+y2=p.由消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,所 以y1+y2=.由可得=,故双曲线的渐近线方程为y=x. 2 p 2 p 2 p 2 22 22 2,
5、 -1 xpy xy ab 2 2 2pb a b a 2 2 2 2 思路分析思路分析 由抛物线的定义和|AF|+|BF|=4|OF|可得y1+y2的值(用p表示).再联立双曲线和抛物线的 方程,消去x得关于y的一元二次方程,由根与系数的关系得y1+y2.从而得的值,近而得渐近线方程. b a 4.(2019北京理,18,14分)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1). (1)求抛物线C的方程及其准线方程; (2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线 OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点. 解析解
6、析 本题主要考查抛物线、直线和圆的基本概念,重点考查直线与抛物线的位置关系,考查学生 对数形结合思想的应用以及逻辑推理能力,通过直线与抛物线的位置关系考查了数学运算的核心 素养. (1)由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2. 所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1. (2)证明:抛物线C的焦点为F(0,-1). 设直线l的方程为y=kx-1(k0). 由得x2+4kx-4=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4, 直线OM的方程为y=x. 令y=-1,得点A的横坐标xA=-. 同理得点B的横坐标xB=-. 设点D(0,n),则=,=, 2
7、-1, -4 ykx xy 1 1 y x 1 1 x y 2 2 x y DA 1 1 -,-1- x n y DB 2 2 -,-1- x n y =+(n+1)2=+(n+1)2 =+(n+1)2=-4+(n+1)2. 令=0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3. 综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3). DADB 12 12 x x y y 12 22 12 - 44 x x xx 12 16 x x DADB 一题多解一题多解 (2)抛物线C的焦点为F(0,-1). 设直线l的方程为y=kx-1(k0). 由得x2+4kx-4=0. 设M(x1,y1
8、),N(x2,y2),则x1x2=-4, 直线OM的方程为y=x. 令y=-1,得点A的横坐标xA=-. 同理得点B的横坐标xB=-. xAxB=-4, 设点P(0,n),则由射影定理知:(n+1)2=4, 解得n=1或n=-3,所以以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3). 2 -1, -4 ykx xy 1 1 y x 1 1 x y 2 2 x y 1 1 x y 2 2 x y 12 22 12 - 44 x x xx 12 16 x x 1.(2016浙江,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|- 1. (1
9、)求p的值; (2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴 交于点M.求M的横坐标的取值范围. 以下为教师用书专用 解析解析 本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系,考查运算求解能力和方程的思想方法. (1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1, 即p=2. (2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t0,t1. 因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s0),由消去x得y2-4sy-4=0, 故y1y2=-4,所以,B. 2 p 2 4
10、 , 1 yx xsy 2 12 ,- tt 又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为-. 从而得直线FN:y=-(x-1),直线BN:y=-. 所以N. 设M(m,0),由A,M,N三点共线得 =,于是m=. 所以m2.经检验,m2满足题意. 2 2 -1 t t 2-1 2 t t 2-1 2 t t 2 t 2 2 32 ,- -1 t tt 2 2 - t tm 2 2 2 2 2 3 - -1 t t t t t 2 2 2 -1 t t 综上,点M的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+). 思路分析思路分析 (1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A点坐标及直
11、线AF的方程, 与抛物线方程联立可得B点坐标,进而得直线FN的方程与直线BN的方程,联立可得N点坐标,最后 利用A,M,N三点共线可得kAM=kAN,最终求出结果. 2.(2016江苏,22,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p0). (1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程; (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. 求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p); 求p的取值范围. 解析解析 本题考查抛物线的定义与方程,直线与抛物线的位置关系. (1)抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为, 由点在直线l:x-y
12、-2=0上,得-0-2=0,即p=4. 所以抛物线C的方程为y2=8x. (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0). 因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ, 于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b. 证明:由消去x得y2+2py-2pb=0.(*) 因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1y2, 从而=(2p)2-4(-2pb)0,化简得p+2b0. 方程(*)的两根为y1,2=-p,从而y0=-p. 因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p). 因为M(2-p,-p)在直线y
13、=-x+b上, ,0 2 p ,0 2 p 2 p 2 2, - ypx yxb 2 2ppb 12 2 yy 所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由知p+2b0,于是p+2(2-2p)0,所以p0)交于D,E两点,若ODOE,则 C的焦点坐标为( ) A. B. C.(1,0) D.(2,0) 1 ,0 4 1 ,0 2 答案答案 B 由抛物线的对称性,不妨设D在x轴上方、E在x轴下方.由得D(2,2),E(2,-2 ),ODOE,=4-4p=0,p=1,C的焦点坐标为,故选B. 2 2, 2 x ypx p pODOE 1 ,0 2 2.(2016课标,5,5分)设F为抛物线C:y
14、2=4x的焦点,曲线y=(k0)与C交于点P,PFx轴,则k=( ) A. B.1 C. D.2 k x 1 2 3 2 答案答案 D 本题考查抛物线的几何性质;考查运算求解能力;考查的核心素养为数学运算. 由题意得点P的坐标为(1,2).把点P的坐标代入y=(k0)得k=12=2,故选D. k x 3.(2019课标,9,5分)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p=( ) A.2 B.3 C.4 D.8 2 3 x p 2 y p 答案答案 D 本题考查椭圆与抛物线的几何性质;考查运算求解能力;考查的核心素养为数学运算. 抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为, 由
15、已知得椭圆+=1的一个焦点为, 3p-p=,又p0,p=8. ,0 2 p 2 3 x p 2 y p ,0 2 p 2 4 p 4.(2018北京,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物 线的焦点坐标为 . 答案答案 (1,0) 解析解析 本题主要考查抛物线的性质,弦长的计算. 由题意得a0,设直线l与抛物线的两交点分别为A,B, 不妨令A在B的上方,则A(1,2),B(1,-2), 故|AB|=4=4,得a=1, 故抛物线的方程为y2=4x,其焦点坐标为(1,0). aa a 5.(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦
16、点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半 轴相切于点A.若FAC=120,则圆的方程为 . 答案答案 (x+1)2+(y-)2=1 3 解析解析 本题主要考查抛物线的几何性质,圆的方程以及直线与圆的位置关系. 由抛物线的方程可知F(1,0),准线方程为x=-1, 设点C(-1,t),t0, 则圆C的方程为(x+1)2+(y-t)2=1, 因为FAC=120,CAy轴, 所以OAF=30,在AOF中,OF=1, 所以OA=,即t=, 故圆C的方程为(x+1)2+(y-)2=1. 33 3 6.(2018课标理,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点
17、且斜率为k的直线与C交于A,B 两点.若AMB=90,则k= . 答案答案 2 解析解析 本题考查抛物线的几何性质及应用. 解法一:由题意可知C的焦点坐标为(1,0), 所以过焦点(1,0),斜率为k的直线方程为x=+1, 设A,B, 将直线方程与抛物线方程联立得 整理得y2-y-4=0, 从而得y1+y2=,y1 y2=-4. M(-1,1),AMB=90, =0, 即+(y1-1)(y2-1)=0, 即k2-4k+4=0,解得k=2. 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则 y k 1 1 1, y y k 2 2 1, y y k 2 1, 4 , y x k yx 4 k 4
18、 k MAMB 1 2 y k 2 2 y k 2 11 2 22 4 , 4, yx yx -得-=4(x2-x1),从而k=. 设AB的中点为M,连接MM. 直线AB过抛物线y2=4x的焦点, 以线段AB为直径的M与准线l:x=-1相切. M(-1,1),AMB=90, 点M在准线l:x=-1上,同时在M上, 准线l是M的切线,切点为M,且MMl, 即MM与x轴平行, 点M的纵坐标为1, 即=1y1+y2=2, 故k=2. 2 2 y 2 1 y 21 21 - - y y x x 12 4 yy 12 2 yy 12 4 yy 4 2 疑难突破疑难突破 运用转化思想,采用“设而不求”的方
19、法来解决直线与抛物线的相交问题. 1.(2016四川,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是( ) A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0) 以下为教师用书专用 答案答案 D 本题考查抛物线的几何性质. 抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为, 抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),故选D. ,0 2 p 2.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为 线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 答案答案
20、 D 显然0r0、k4(y00),即r2. 另一方面,由AB的中点为M,知B(6-x1,2y0-y1), (2y0-y1)2=4(6-x1),又=4x1,-2y0y1+2-12=0. =4-4(2-12)0,即12. r2=(3-5)2+=4+16,r0)作不过原点O的直 线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点. (1)求点A,B的坐标; (2)求PAB的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称 该公共点为切点. 1 4 解析解析 (1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t), 由消去y,整理得
21、x2-4kx+4kt=0, 由于直线PA与抛物线相切,得k=t. 因此,点A的坐标为(2t,t2). 设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0), 由题意知:点B,O关于直线PD对称, 故 解得 因此,点B的坐标为. (2)由(1)知|AP|=t,和直线PA的方程tx-y-t2=0. 2 ( - ), 1 4 yk x t yx 00 00 -1, 22 -0, yx t x t y 0 2 2 0 2 2 , 1 2 . 1 t x t t y t 2 22 22 , 11 tt tt 2 1 t 点B到直线PA的距离是d=, 设PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|
22、d=. 2 2 1 t t 1 2 3 2 t 考点考点1 1 抛物线的定义和标准方程抛物线的定义和标准方程 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020贵州阳光校园空中黔课3月模拟,10)抛物线y2=4x的焦点为F,点P在双曲线C:-=1的一 条渐近线上,O为坐标原点,若|OF|=|PF|,则PFO的面积为( ) A. B. C. D. 2 4 x 2 2 y 3 2 4 2 3 2 2 2 答案答案 B 本题考查抛物线、双曲线的方程和性质,考查的核心素养是逻辑推理,数学运算. 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0), 双曲线C:-=1的渐近线方程为xy=0, 不妨设P在渐近线x-y=
23、0上,可设P(m,m),m0, 由|OF|=|PF|可得=1,解得m=, 则PFO的面积为|OF| |yP|=1=.故选B. 2 4 x 2 2 y 2 22 22 ( 2 -1)mm 2 2 3 1 2 1 2 2 2 3 2 3 2.(2020河南六市一模,10)已知点M是抛物线x2=4y上的一动点,F为抛物线的焦点,A是圆C:(x-1)2+(y- 4)2=1上一动点,则|MA|+|MF|的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案答案 B 作MP垂直于抛物线的准线,垂足为P,利用抛物线的定义知MP=MF, 当M、A、P、C四点共线时,|MA|+|MF|的值最小, 此时CMx轴,
24、 则(|MA|+|MF|)min=|CP|-1=5-1=4. 3.(2020河南南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校联考,10)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,半径 为3的圆C过点O、F,且与抛物线的准线l相切,则p的值为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案答案 C 本题考查了圆、抛物线的方程,考查的核心素养是数学运算. 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=9. 半径为3的圆C过点O、F,且与抛物线的准线l相切, p=4.故选C. 22 2 2 9, -9, 2 3 2 ab p ab p a -, 2 3- 2 p aa p a 4.(2018安徽黄山一模,4)若抛物线y2
25、=8x上一点P到其焦点的距离为10,则点P的坐标为( ) A.(8,8) B.(8,-8) C.(8,8) D.(-8,8) 答案答案 C 设P(xP,yP), 点P到焦点的距离等于它到准线x=-2的距离, xP=8,则yP=8, 点P的坐标为(8,8). 故选C. 5.(2019江西萍乡一模,5)已知动圆C经过点A(2,0),且截y轴所得的弦长为4,则圆心C的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 答案答案 D 设圆心C(x,y),弦为BD,过点C作CEy轴,垂足为E,则|BE|=2,则有|CA|2=|BC|2=|BE|2+|CE|2, (x-2)2+y2=22+x2,化为y
26、2=4x,则圆心C的轨迹为抛物线.故选D. 解题关键解题关键 设圆心C(x,y),弦为BD,过点C作CEy轴,垂足为E,则|BE|=2,又|CA|2=|BC|2=|BE|2+|CE|2,所 以利用两点间的距离公式即可得出答案. 6.(2019名校联盟模拟二,11)直线l与抛物线y2=2px(p0)交于A,B两点,O为坐标原点,OAOB,若 AOB的面积的最小值为4,则抛物线的方程为( ) A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x 答案答案 B 设直线l:x=y+m,代入抛物线方程,得y2-2py-2pm=0,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=2p,y1y
27、2=-2pm. 因为OAOB, 所以=x1x2+y1y2=+y1y2=0, 即y1y2=-4p2, -2pm=-4p2,m=2p. 直线l与恒过M点(2p,0). OA OB 22 12 22 y y pp SAOB=|OM|y1-y2| =2p =p =2p2, 当且仅当=0时,SAOB取最小值4p2, 由4p2=4得p=1, 故抛物线的方程为y2=2x.故选B. 1 2 1 2 2 1212 () -4yyy y 22 (2)16pp 2 4 规律方法规律方法 直线l与抛物线y2=ax(a0)交于A,B两点,OAOB直线AB过定点(a,0),直线l与抛物线 x2=ay(a0)交于A,B两点
28、,OAOB直线AB过定点(0,a). 1.(2020河南安阳一模,10)过抛物线E:x2=2py(p0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设P为抛物 线上的一动点,Q(1,2).若+=,则|PF|+|PQ|的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 1 |AB 1 |CD 1 4 考点考点2 2 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 答案答案 C 显然直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=kx+, 联立消去y得x2-2pkx-p2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=2pk, y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk2+p, 由抛物线
29、的性质可知|AB|=y1+y2+p=2pk2+2p, 2 p 2 , 2 2, p ykx xpy ABCD,直线CD的斜率为-, |CD|=2p+2p=+2p=, +=+=, 2p+2pk2=4+4k2,p=2, 抛物线方程为x2=4y,准线方程为y=-1, 设点P到准线y=-1的距离为d,由抛物线的性质可知|PF|+|PQ|=d+|PQ|, 而当QP所在直线垂直于x轴时,d+|PQ|的值最小,最小值为2+1=3,如图所示. |PF|+|PQ|的最小值为3,故选C. 1 k 2 1 - k 2 2p k 2 2 22ppk k 1 |AB 1 |CD 2 1 22pkp 2 2 22 k p
30、pk 2 2 1 22 k ppk 1 4 解题关键解题关键 由+=得到p=2,再利用抛物线的定义得到|PF|+|PQ|=d+|PQ|,即可求得最小值. 1 |AB 1 |CD 1 4 归纳总结归纳总结 过抛物线x2=2py(或y2=2px)(p0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,则+=. 1 |AB 1 |CD 1 2p 2.(2019广西名校联合调研,10)过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于PQ两点,若|PQ|=,|PF| QF|,则|PF|-2|QF|=( ) A.2 B. C.3 D. 25 4 5 2 7 2 答案答案 B 由题得点F的坐标为(1,0), 当PQx轴时,
31、点P、Q的坐标分别为(1,2)、(1,-2), 此时|PQ|=4,不合题意,故直线PQ的斜率存在. 由抛物线的对称性,不妨设直线PQ的斜率k0, 则直线PQ的方程为y=k(x-1), 设点P、Q的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 联立方程消去y整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0(*),则 由|PQ|=x1+x2+2=+2=,可得k=,代入方程(*), 可得4x2-17x+4=0,解得x1=,x2=4, 则|PF|=4+1=5,|QF|=+1=,则|PF|-2|QF|=5-=. 2 ( -1), 4 , yk x yx 2 12 2 12 24 , 1, k xx k x x
32、2 2 24k k 25 4 4 3 1 4 1 4 5 4 5 2 5 2 3.(2020安徽江南十校联盟,16)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线l:x=-,点M在抛物线C上, 点A在准线l上,若MAl,直线AF的倾斜角为,则|MF|= . 5 4 3 答案答案 5 解析解析 本题考查了直线与抛物线的位置关系,抛物线的简单性质的应用,三角形的面积计算,考查 了数形结合思想,主要体现了直观想象、数学运算的核心素养. 抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线l:x=-,可得抛物线C:y2=5x. 点M在抛物线C上,点A在准线l上,MAl,且直线AF的倾斜角为,所以FAM=
33、,又|FM|=|MA|,故 FAM为等边三角形,|MF|=|FA|=2=5. 5 4 3 3 5 2 4.(2020山西大同一模,16)已知抛物线y2=8x的焦点为F,其准线交x轴于点C,过点F的直线交该抛物 线于A,B两点,若CBF=90,则|AF|-|BF|= . 答案答案 8 解析解析 由抛物线的方程可得:焦点F(2,0),准线方程为x=-2,所以C的坐标为(-2,0). 由抛物线的对称性,不妨设直线AB的斜率大于0, 则直线AB的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2, 联立直线与抛物线的方程 整理可得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,x1+x2=,
34、x1x2=4, 由CBF=90,可得=0,即(x2+2,y2)(x2-2,y2)=0,即-4+=0,即+8x2-4=0,可得x2=-4+2(负值 舍去), 代入可得x1=2+4, 则|AF|-|BF|=(x1+2)-(x2+2)=x1-x2=(2+4)-(2-4)=8. 2 ( -2), 8 , yk x yx 2 2 84k k CBFB 2 2 x 2 2 y 2 2 x5 5 55 思路分析思路分析 设直线的方程,与抛物线方程联立求出两根之积,由CBF=90,可得=0,求得B的 横坐标,进而求出A的坐标,由抛物线的性质可得结论. CBFB 5.(2019云南昆明黄冈实验学校期末,16)已
35、知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线 交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= . 答案答案 6 解析解析 抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0), 设N(0,a),M为FN的中点,M, M在抛物线C:y2=8x上, a=4,即N(0,4),所以|FN|=6. 1, 2 a 22 一、选择题(每小题5分,共20分) B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间：50分钟 分值：50分) 1.(2020云南昆明一模,9)抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P,称PAB为“阿基米德三角 形”.当线段AB经过抛物线焦点F时,PAB具有以下特征:P点必在抛物线的准线上;P
36、AB为 直角三角形,且PAPB;PFAB.若经过抛物线y2=4x焦点的一条弦为AB,阿基米德三角形为 PAB,且点P的纵坐标为4,则直线AB的方程为( ) A.x-2y-1=0 B.2x+y-2=0 C.x+2y-1=0 D.2x-y-2=0 答案答案 A 本题以阿基米德三角形为载体,主要考查抛物线的定义,抛物线的性质,考查学生推理论 证能力,运算求解能力,体现了逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养. 由题意可知,抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1, 由PAB为“阿基米德三角形”,且线段AB经过抛物线y2=4x的焦点,可得P点必在抛物线的准线 上, 点P(-1,4
37、),直线PF的斜率为=-2, 又PFAB,直线AB的斜率为, 直线AB的方程为y-0=(x-1),即x-2y-1=0,故选A. 4-0 -1-1 1 2 1 2 思路分析思路分析 由PAB为“阿基米德三角形”,且线段AB经过抛物线y2=4x的焦点,可得P点必在抛物 线的准线上,可求出点P(-1,4),从而得到直线PF的斜率为-2,又PFAB,所以直线AB的斜率为,再 利用点斜式即可求出直线AB的方程. 1 2 2.(2020安徽江南十校联盟,12)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于P,Q 两个不同的点,O为坐标原点,P,Q两点在直线x=-p上的射影分别为M,N,
38、若|MO|=2,|NO|=,则p2= ( ) A.1 B. C.4 D.6 33 12 5 答案答案 B 作出图象如图所示.设P(x1,y1),Q(x2,y2), 由题意可得M(-p,y1),N(-p,y2). 故|MO|2=(-p-0)2+(y1-0)2=p2+, 所以(2)2=p2+,即=12-p2. |NO|2=(-p-0)2+(y2-0)2=p2+, 所以()2=p2+,即=3-p2. 又直线PQ过焦点F,所以y1y2=-p2, 所以(y1y2)2=(-p2)2,即(y1y2)2=(12-p2)(3-p2)=p4,解得p2=.故选B. 2 1 y 3 2 1 y 2 1 y 2 2 y
39、 3 2 2 y 2 2 y 12 5 解题关键解题关键 设P(x1,y1),Q(x2,y2),由|MO|2=(-p-0)2+(y1-0)2=p2+,可得=12-p2.由|NO|2=(-p-0)2+(y2-0)2=p2 +,可得=3-p2.又y1y2=-p2,代入即可求解. 2 1 y 2 1 y 2 2 y 2 2 y 3.(2019吉林第三次调研测试,12)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点A(4,3),P为抛物线上一点,且P不在 直线AF上,则PAF周长取最小值时,线段PF的长为( ) A.1 B. C.5 D. 13 4 21 4 答案答案 B 求PAF周长的最小值,即求|PA|+|P
40、F|的最小值, 设点P在准线上的射影为D, 根据抛物线的定义,可知|PF|=|PD|, 因此,|PA|+|PF|的最小值,即|PA|+|PD|的最小值, 根据平面几何知识,可得当D,P,A三点共线时|PA|+|PD|最小, 此时P,PF的长为+1=,故选B. 9 ,3 4 9 4 13 4 4.(2019河南新乡二模,11)如图,已知抛物线C1的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,且过点(3,6),圆C2:x2+ y2-6x+8=0,过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P,Q,M,N,则|PN|+3|QM|的最小值为( ) A.12+4 B.16+4 C.16+6 D.20+6 3333 答案答案
41、 C 设抛物线的方程为y2=2px(p0), 则36=2p3,则2p=12, 抛物线的方程为y2=12x,设抛物线的焦点为F,则F(3,0),准线方程为x=-3, 圆C2:x2+y2-6x+8=0的圆心为(3,0),半径为1,由直线PQ过抛物线的焦点,得+=. |PN|+3|QM|=|PF|+1+3(|QF|+1) =|PF|+3|QF|+4=3(|PF|+3|QF|)+4=3+43(4+2)+4=16+6当且仅 当=时取等号.故选C. 1 |PF 1 |QF 2 p 1 3 11 |PFQF 3| 4 | QFPF PFQF 33 3| | QF PF | | PF QF 解题关键解题关键
42、由抛物线的焦点弦性质,得+=是解决本题的关键. 1 |PF 1 |QF 2 p 5.(2018宁夏银川4月质量检测)设点F是抛物线y2=2px(p0)的焦点,过抛物线上一点P作其准线的垂 线,垂足为Q,已知直线FQ交y轴于点A(0,2),且PQF的面积为10,则该抛物线的方程为 . 二、填空题(每小题5分,共10分) 答案答案 y2=4x或y2=16x 解析解析 如图, 其中F,准线方程为x=-,PQQE,A(0,2). 设P(x0,y0),则Q,|PQ|=x0+. O为EF的中点,OAQE, A为QF的中点, 则|QE|=4,y0=4. PQF的面积为10. 4=10, ,0 2 p 2 p
43、 0 -, 2 p y 2 p 1 2 0 2 p x 即x0=5-. =2px0, 即42=2p,即p2-10p+16=0. p=2或p=8. 该抛物线的方程为y2=4x或y2=16x. 2 p 2 0 y 5- 2 p 6.(2019广西柳州一模,16)已知抛物线y2=2mx(m0)的焦点为F,过焦点F作直线交抛物线于A、B两 点,以AB为直径的圆的方程为x2+y2-2x-2ty+t2-15=0,则m= . 答案答案 6 解析解析 由题意,知以AB为直径的圆的方程为(x-1)2+(y-t)2=16, 所以圆心坐标为(1,t),半径为4, 所以弦AB的中点的横坐标为1,且|AB|=8. 设A
44、(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=2, 又由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+m=8, 所以m=6. 三、解答题(共20分) 7.(2020陕西咸阳一模,21)如图,已知抛物线C:y2=8x的焦点是F,准线是l. (1)写出焦点F的坐标和准线l的方程; (2)已知点P(8,8),若过点F的直线交抛物线C于不同的两点A,B(均与P不重合),直线PA,PB分别交l于 点M,N.求证:MFNF. 解析解析 本题主要考查抛物线的性质,以及直线与抛物线的位置关系,考查学生运算求解能力,化归 与转化思想、数形结合思想,考查直观想象、数学运算的核心素养. (1)抛物线的焦点为F(2,0),
45、准线l的方程为x=-2. (2)证明:设直线AB的方程为x-2=my(mR), A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去x得y2-8my-16=0, 由根与系数的关系得y1y2=-16. 直线PB方程为=,y=(x-8)+8=, 当x=-2时,y=, N,同理得M. =,=, 2 -2, 8 , xmy yx 2 -8 -8 y y 2 -8 -8 x x 2 2 2 -8 -8 8 y y 2 2 88 8 yx y 2 2 8-16 8 y y 2 2 8-16 -2, 8 y y 1 1 8-16 -2, 8 y y FN 2 2 8-16 -4, 8 y y FM 1 1 8-1
46、6 -4, 8 y y =16+=0, MFNF. FNFM 2 2 8-16 8 y y 1 1 8-16 8 y y 2121 21 16(8)(8)(8-16)(8-16) (8)(8) yyyy yy 12 21 80(16) (8)(8) y y yy 21 80(-16 16) (8)(8)yy 8.(2020河南洛阳一模,21)过点P(0,2)的直线与抛物线C:x2=4y相交于A,B两点. (1)求+的值. (2)A,B在直线y=-2上的射影分别为A1,B1,线段A1B1的中点为Q,求证:BQPA1. 2 1 |AP 2 1 |BP 解析解析 (1)设直线AB的方程为(t为参数,是不为90的倾斜角), 代入抛物线方程C:x2=4y可得t2cos2-4tsin -8=0, 设A,B对应的参数分别为t1,t2, 可得t1+t2=,t1t2=-, +=+= =. cos , 2sin xt yt 2 4sin cos 2 8 cos 2 1 |AP 2 1 |BP 2 1 1 t 2 2 1 t 22 12 2 1 2 () tt t t 2 121 2 2 1 2 () -2 () ttt t t t 2 42 4 16sin16 coscos 64
