1、 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 （人教人教 A A 版高中课标教材数学必修版高中课标教材数学必修 2 2） 授课教师：李彦杰授课教师：李彦杰 贵州省安顺市第二高级中学贵州省安顺市第二高级中学 ( (贵州省高中数学余红名师工作室）贵州省高中数学余红名师工作室） 电话：电话：1590264038515902640385 第九届全国高中青年数学教 师优秀课观摩与评比活动 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 教学设计教学设计 一、教学内容解析：一、教学内容解析： 1.1.教材的地位与作用：教材的地位与作用： 本节课是人教 A 版必修 2 第 2 章第 3 节的第 2 课时， 它是在直
2、线与平面垂 直的基础上， 介绍二面角、 二面角的平面角、 面面垂直的定义及判定定理， 本节课既是前面知识的巩固升华，又是后面研究线面、面面垂直性质的基础， 在面面垂直的判定定理探究中有利于培养学生的空间想象能力、 直观感知 能力和逻辑推理能力，培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学核心 素养， 同时本节课体现了转化化归、类比归纳等数学思想，是高中立体几何 课程中的重点课题之一。 2.2.教学重点、难点：教学重点、难点： 重点：重点：平面与平面垂直的判定定理及应用 难点：难点：二面角大小的度量 二、教学目标设置：二、教学目标设置： 1.1.通过直观感受生活中的二面角实物图，抽象出二面角的概念
3、，提高学生 观察、分析、类比、化归能力，培养学生数学抽象核心素养。 2.2.通过分组合作探究作二面角的平面角的过程，达到利用平面角刻画二面 角的目标，深化刻画空间角的唯一性思想方法，体验数学的严谨性，培养学 生严谨的数学思维习惯和自我反思纠错习惯。 3.3.通过动手操作实验探究过程，归纳猜想出面面垂直的关键，再通过推理 论证得出判定定理，提升学生归纳分析，猜想论证能力，培养学生逻辑推理、 抽象概括数学核心素养。 4.4. 通过运用定理的过程，达到巩固理解所学知识的目标，提高学生类比化 归能力，培养学生降低空间维数的化归与转化的数学思想。 三、学生学情分析：三、学生学情分析： 1.1.学生前面已
4、经学习了面面平行以及线面垂直，有了知识储备，课前也已 经预习了课本内容. 2.2.大部分同学已经具备了一定的空间想象能力、基本的逻辑推理思维、书 写的规范性等.但是，本节课的教学难点在于探究二面角的平面角，学生不容 易理解，通过小组合作探究，给出不同的解决方案，分析利弊，最终解决问 题、加深理解，让学生体会数学的严谨性. 3.3.经过高一一年的学习，绝大多数同学能够积极主动地参与到课堂探究、 讨论活动中.在知识建构的过程中， 各小组能够很快形成自己的看法并主动推 选出代表发言.小组间既有竞争又有合作，能够实现“生本愉悦课堂” ，保证 课堂的高效. 四、教学策略分析：四、教学策略分析： 我采用启
5、发引导、分组合作、讲练结合的教学方法，使学生形成“直观感 知操作确认数学抽象归纳猜想严谨证明灵活应用 ” 的探究式学习 方法，从而达到以学生为主体，教师为主导，师生共同发展的课堂教学效果. 为此我采用如下形式： 1.1.实物投影现场投影学生作品，及时发现问题、解决问题，充分体现 问题来自于学生、解决于学生，最终提高学生的能力. 2.2.教具自制教具、现场演示门、打开着的书，尊重学生由直观感知到 数学抽象的认知规律，充分体现数学源于生活又高于生活的基本理念. 3.3.各种制图软件的综合利用巧妙地将几何画板及录屏软件结合使用， 实现二面角的动态转动效果，既满足了学生直观感知的需要，又为培养学生 数
6、学抽象思维提供了帮助. 五五、教学基本流程教学基本流程( (总体设计总体设计) ) 从人类生产实践的需要引入二面角的有关概念 构建二面角的的平面角 直二面角 平面与平面垂直 平面与平面垂直的判定 平面与平面垂直的应用 课堂梳理 布置作业 六六、教学过程设计教学过程设计 （一）直观感知，形成概念（一）直观感知，形成概念 前面讨论了两个平面平行的问题，下面将要研究两个相交平面的位置关 系在生产实践中，有许多问题涉及到两个平面相交成一定角的情形，例如 修筑水坝时，为了使水坝坚固，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射 人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球赤道平面成一定 的角度（教师用
7、多媒体显示模型） 师：生活中，你还能举出哪些问题涉及到两个平面相交呢？ 生：打开的门，门面与墙面成一定角度；翻开着的书，两个书页面成一 定角度；打开着的笔记本电脑两个面也成一定角度 课件展示实物图，将其命名为二面角，我们应该怎么理解二面角呢？ （设计意图：从学生所熟悉的实际问题引入，使学生了解数学来源于实 际生活；同时引导学生体会知识的形成过程，使学生从直观感知到理论抽象 生成概念做铺垫，培养学生数学抽象核心素养） 引导学生思考：引导学生思考： 一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做 射线那么一个平面被平面中的一条直线分成两部分，其中的每一部分都叫 做半平面 师：初中已
8、经学过平面中的“角”是怎样定义的？(教师用多媒体演示角 的形成) 生：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角 类比得出概念： 师：你能根据平面中角的定义类比归纳得出平面与平面所成角的概念 吗？ 生：从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形(教师用自制教具 演示二面角的形成) 射线-点-射线 半平面-棱-半平面 （设计意图：创设问题情境，引导学生充分思考，在结合教具演示，启 发学生通过角的定义类比得出二面角的定义） （二）动手操作，归纳确认（二）动手操作，归纳确认 1 1二面角的概念：二面角的概念：从空间一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角（课件展示） （1）二面角的画法 课
9、件展示二面角实物图（打开着的笔记本电脑），让学生按 照实物图作出直观图。 多媒体投影学生的作品，点评学生作品以及强调作图（二面角） 的方法。 （设计意图：通过让学生亲自动手作图学会画二面角，同时培养学 生由实物图转化为直观图的直观想象核心素养， 并通过师生点评激发学 生创造美的精神。） （2）二面角的记法 ： 以直线为棱，以、为半平面的二L 面角记作：； L （设计意图：教师用课件演示平面内的“角”与空间的“二面角”的 联系与区别） 2 2二面角的平面角二面角的平面角 提出问题：提出问题：我们通常说“把门开大一些”“把门关小一些”（动手翻转 门演示）这说明二面角是有大小区分的那么，如何去刻画二
10、面角的大小 呢？ （设计意图：教师提出问题，激发学生的探索欲望，通过直观感知启发学 生的创造性思维） 引导联想：引导联想：异面直线所成角和线面角 师：我们如何刻画异面直线所成角？ 生 ： 将异面直线平移， 平移后两相交直线所成的夹角即为异面直线所成角。 师：我们如何刻画线面角？ 生：斜线与其在平面内的射影所成的夹角即为线面角。 师生总结：我们在解决这两种空间角时，都是转化为平面角来刻画，且平 面角的大小是唯一的。那么，二面角也是空间角，我们能否也用平面角来刻画二 面角呢？（设计意图：教师启发引导，让学生类比分析，分组探究） 分组探究（一）二面角的平面角分组探究（一）二面角的平面角 组 1：在一
11、个平面内取一点，过点作一条直线；再在另一个平面内取点作 一条直线。 组 2 点评：有两个问题，第一，二面角的两个面是半平面而不是平面；第 二，这样操作得到的可能不是平面角。（学生黑板演示说明） 组 3：过棱上一点在两个半平面内分别任意作一条射线。 组 4 点评 ： 这样操作虽然得到平面角， 但是作出的平面角大小不唯一。 （学 生黑板演示说明） 组 5：过棱上一点在两个半平面内分别作一条垂直于棱的射线。 师：平面角的大小与顶点在棱上的位置有无关系? 师生总结：无关，过不同的点做出的平面角都相等。 紧接着,教师多媒体动画展示二面角的平面角随着二面角张开幅度变化而 变化过程。这样作出的平面角符合我们
12、的直观认识，其次，刻画二面角体现了唯 一性，我们将其称为二面角的平面角。 （设计意图：学生在参与探讨刻画二面角大小方法过程中，分组合作 探究，生生之间、师生之间互相交流，共同讨论，变单向传递为多向交流， 这样既发挥了学生主体作用，又有利于学生交流合作意识、自我反思纠错意 识的形成和创新能力培养 通过学生充分参与活动，酝酿议论，画图，归纳，指导学生在归纳的 基础上升华经过师生共同研讨，学生不仅学会了二面角的平面角的定义和 二面角的度量方法，而且让学生体会了数学的严谨性，了解如何给数学概念 下定义 通过小组抢答发言解决问题，既培养了学生的数学表达能力，又激发 了学生的求知兴趣，培养了学生的探究式学
13、习能力） OA B A O B 现给出二面角的平面角的定义：（课件出示定义） 二面角的平面角-取二面角的棱上任意一点为垂足，过点在两个OO 面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 （师生共同总结归纳）二面角的平面角必须具备三个条件： （1）角的顶点在棱上（2）角的两边分别在两个半平面内（3）角的两边 分别与棱垂直 教师强调：（1）二面角的平面角的范围是 ，当两个半平面重0 180， 合时，平面角为；当两个半平面合成一个平面时，平面角为 0180 （2）引入直二面角（课件展示正方体中两个相邻平面所成的二面角，启 发学生直观感知生成概念，进而引入面面垂直） 3 3平面
14、与平面垂直平面与平面垂直 定义：一般地，两个平面相交，如果两个平面所成二面角是直二面角，定义：一般地，两个平面相交，如果两个平面所成二面角是直二面角， 就说这两个平面互相垂直就说这两个平面互相垂直. . 如图，如图， 记作：记作： 师：生活中，平面与平面垂直的例子有哪些？ 生：墙面与地面，门面 与地面等 我们可以用定义判断面面垂直，接下来我们一起来探究判断面面垂直的 另一种方法： 探究（二）面面垂直的判定定理探究（二）面面垂直的判定定理 数学实验（一）：将展开着的书竖立放置在水平桌面上，观察各页面与 水平桌面的位置关系，发现共性。 组 1：各页面都与桌面垂直，并且书棱线也垂直于地面，书棱线在每
15、一 个页面内。 数学实验（二）：将展开着的书平铺在水平桌面上（使得有页面与桌面 垂直，有页面斜交不垂直），观察垂直与不垂直的区别。 组 2：垂直的页面能找到页边线垂直于桌面，而不垂直的页面里找不到 任何线能垂直于桌面。 师：通过归纳实验，猜想满足什么条件才能使得面面垂直？ （设计意图：通过自己亲自动手实验，合作操作经历，再通过观察归 纳猜想得出结论，培养学生合情推理，数学抽象能力。） 4.4.发展理性思维，严谨证明发展理性思维，严谨证明 猜想：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则这两个平面垂直 引导学生用面面垂直的定义证明命题的真实性。 （设计意图：通过猜想推理论证，体会数学的严谨性，培养
16、学生严谨 的数学思维习惯，深化逻辑推理核心素养。） 5.5.平面与平面垂直的判定定理：平面与平面垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直简称简称 ： 线面垂线面垂 直，则面面垂直。直，则面面垂直。 启发学生用符号语言表达判定定理 符号语言：符号语言： （设计意图：培养学生用符号语言表达数学的能力） （三）巩固理解，知识深化（三）巩固理解，知识深化 例例 1.1.判断题 （1）如果平面内有一条直线垂直于平面内的一条直线，则 （2）如果平面内有一条直线垂直于平面内的无数条直线，则 （3） 如果平面内有一条直线垂直于平面内的两条相交直
17、线， 则 （4）若则 ,mm （设计意图：学生动手操作，举出反例，既巩固了知识又培养了学生的 严谨的数学思维） 例例 2 2：如下图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是ABOPAOC 圆周上不同于的任意一点，求证： BA,ABCPAC平面平面 师：分析还有哪些面面垂直？ （引导提出问题）变式： PBCPAC平面平面 （设计意图：启发学生善于提出问题，独立思考解决问题，学会逻辑推 理以及数学语言表达能力） 分析：线线垂直 线面垂直 面面垂直 （四）（四）学生回顾，课堂小结学生回顾，课堂小结 学生从三个层面总结本节课的收获：知识层面；思想方法层面； 能力情感层面。教师引导学生自己总结，交流分享本节
18、课的收获，串联知识 脉络，体会整堂课所用到的思想方法以及能力体现. （五）课外作业（五）课外作业 见教材第 41 页 1,2 题 （六）（六） 板书设计板书设计 七、课堂教学目标检测七、课堂教学目标检测 引导学生对照课堂内容，回扣目标、突出重点，知识应用、查漏补缺，自我 评价、自我反思. 八、八、教学反思教学反思 通过本节课的教学，对新课标下的课堂有了如下的认识： （一）注重知识的形成过程 新课标强调“直观感知”，在教学中教师要善于引导学生从熟悉的事物、现 象出发，引导学生用数学眼光看待周围的事物。通过动手操作、实验活动等 让学生去经历、感受、体会，在获得大量的直接经验的基础上去发现知识， 主
19、板主板 课件展示课件展示 副板副板 总结方法，提升能力。本课通过引导学生例举开门、翻书动作形成平面所成 角的基础上，再由折纸活动让学生感知二面角的概念。使抽象知识直观化， 符合学生的认知规律。 （二）注重温故而知新 在学习新知识时，要重视联想、类比有关的旧知识，辩清它们的区别和联系， 进而达到知识或方法的同化。本课类比 1：对平面中“角”的定义类比得出 二面角的概念；类比 2：回顾利用平面角唯一刻画“异面直线所成的角”“直 线和平面所成的角”的方法，类比，学生探究出利用二面角的平面角刻画二 面角的大小，从而达到高效地突破教学难点。 （三）注重课堂活动的多样性 新的教学理念希望给学生营造一个民主
20、、和谐的学习氛围，培养学生自主探 究、参与合作的学习方式，全面发展学生的实践与创新能力。活动有学生的 自己动手画图、摆书；提问方式有个体、小组、群体提问；合作方式有同桌 交流，四人小组实验；教具有多媒体、教室的门、学生的书、硬纸板。本课 在课堂教学中保证学生参与教学活动的时间和空间，抓住学生的学习兴趣、 求知欲、成就感等积极因素，积极培养学生观察、发现、操作、画图、表达 等多方面的能力。 （四）注重数学思维的培养 新课标提出高中数学应注重提高学生的数学思维能力。本课在概念的构建过 程中，通过直观观察到动手操作，归纳推理，提升了学生的数学思维能力， 培养了学生的逻辑推理，数学抽象等核心素养。 （
21、五）注重对教材的开发使用 新教材在问题设置、数学知识的形成、习题设置、数学的应用等方面设计轻 巧，因此教师在平时备课中不但要吃透教材，而且要尽量地搜集与教材有关 的知识，制作与教材有关的教具，辅助教学，提高教学效果。基于本节课的 教学，教学重点是面面垂直的判定，对判定定理的得出与理解学生没有难度。 但教学难点是用二面角的平面角来刻画二面角学生不易理解，整个教学容量 比较大，致使整节课教学时间紧张，时间安排可能不太科学，比如，前面二 面角及其平面角占用时间过多，后面教学重点略显紧凑，留给学生的探究与 反思时间较少，这样不利于学生能力与思维的培养，希望在以后的教学中改 进。 课例点评：课例点评：安
22、顺市第二高级中学、贵州省高中数学余红名师 工作室李彦杰老师执教的平面与平面垂直的判定这节课，从整 体来看，李老师本着“让学生充分经历知识的形成、发展和应用过 程” 的“以生为本”的教学理念，将教材中静态的数学知识还原成 动态的生成过程，尽可能地为学生提供一种思考、交流、探究的空 间，立足教思考、教体验、教表达，为促进学生在教师指导下主动 地学习而教；为发展学生理性思维而教；为发展学生数学核心素养 而教。 从教材处理看，设置生活情景：学生通过观察堤坝、卫星运行 面与地球赤道面等图形中，抽象出二面角的定义。突出了二面角度 量的教与学：通过类比空间中直线与直线的角、线面角的度量原理： 满足唯一性的平
23、面角来刻画空间角大小， 引导学生第一次自主探究， 得出二面角平面角定义。进而为学生经历知识形成、学会学习、深 刻思考提高了探究的空间，难点得到较好突破。突出了面面垂直判 定定理的教与学：通过从动手操作、合作探究，学生观察、归纳、 猜想出判定定理，到学生严格证明猜想得到定理，学生在老师的指 导下，经历了有意义的探究活动，培养学生发现问题、提出问题、 解决问题的能力，使判定定理的理解应用的重点得到突出。另外对 例题的处理李教师的创新之处，通过变式把课本例题中的两个面垂 直，引导学生提出问题。如“图形中还有哪些面有垂直关系？”等 的开放式问题有利于促进学生的思考。 从教学过程看，教师设置了问题串来引
24、领学生探究和思考，设 计的问题都在学生的最近发展区，有开放度、有思维量、能激发学 生学习的积极性。给出生活中平面与平面垂直的例子，一系列的启 发性问题，对二面角的度量进行了深入剖析；在课本页面与课桌面 垂直的试验中，教师自然提出页面与桌面垂直的共性问题等，不断 的激发和调动学生去自主探究、交流反馈，促使学生的认知和思维 得到深化，为平面与平面垂直的判定定理的产生奠定了基础。通过 这些主体参与的学习活动，使学生体验了研究数学问题的方法，体 现了“做中学”的教学思想。关注到学生学习体验。 从教学效果看，教师营造了宽松的教学氛围，让学生有更多的 展示机会，每当学生展示后，教师都对学生的成果及时使用激励性 语言进行评价，以激发学生的内驱力。我们能够看得出教师给予学 生的都是恰到好处的扶持帮助、牵线搭桥、评价鼓励，为学生能够 顺利地完成本节课的探究任务注入了“润滑剂”，使课堂教学得以 深入发展。问题解决质量较高，注重变式教学、注重数学表达，重 点知识和能力得到巩固和强化，学习能力得到提升，数学核心素养 得到发展。 需要改进的是，问题解决过程中，教师的引导有过头的现象， “做中学”还有待深入研究。 点评人：安顺第一高级中学 工作室余红名师工作室工作室主持人 余红 2018.10.18
