1、 1 广西岑溪市 2020-2021 学年高二上学期期中考试 数学 (全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟) 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在答题卡上。 2.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。选择题答案用 2B 铅笔填涂在告題卷 选择题方框内；非选择题用 0.5mm 黑色签字笔写在答题卷上各题的答题区域内。 3.考生作答时，请在答题卡上作答(答题注意项见答题卡)，在本试题上作答无效。 第 I 卷 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.若集合 Ax|1
2、x2，Bx|x10，则 AB A.x|x1 B.x|1x1 C.x|x2 D.x|2x1 2.在等差数列an中，a12，a3a510，则 a7 A.5 B.8 C.10 D.14 3.已知角 的终边过点(4，3)，则 cos A. 4 5 B. 4 5 C. 3 5 D. 3 5 4.已知直线 l 过圆 x2(y3)24 的圆心，且与直线 xy10 垂直，则 l 的方程是 A.xy20 B.xy20 C.xy30 D.xy30 5.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 A.ycosx B.ysinx C.ylnx D.yx21 6.一个四棱锥的三视图如下图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角
3、三角形，俯视图是 边长为 2 的正方形，则该几何体的体积为 A. 4 3 B. 2 6 C.2 D. 2 3 2 7.函数Asin(x)，(|a1，则 a4a2 9.给出下列结论： (1)某学校从编号依次为 001， 002， ， 900 的 900 个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本， 已知样本中有两个相邻的编号分别为 053，098，则样本中最大的编号为 862。 (2)甲组数据的方差为 5，乙组数据为 5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定的是甲。 (3)若两个变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的值越接近于 1。 (4)对 A、B、C 三种个体按 3：1：2 的比例进行分层抽
4、样调查，若抽取的 A 种个体有 15 个， 则样本容量为 30。则正确的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0 10.阅读下面的算法框图，输出结果 S 的值为 A.1 B.3 C. 1 2 D. 3 2 3 11.已知两定点 4(2，0)，B(1，0)，如果动点 P 满足|PA|2|PB|，点 Q 是圆(x2)2(y3)2 3 上的动点，则|PQ|的最大值为 A.53 B.53 C.323 D.323 12.如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角 为 30
5、，则此山的高度 CD 为 A.100m B.1006m C.1206m D.2006m 第 II 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若 x2 y2 xy2 ，则目标函数 zx2y 的最小值为 。 14.已知 2xy1，且 x，yR ，则1 4 xy 的最小值为 。 15.已知 a， b， c 为ABC 的三个内角 A， B， C 的对边， 向量m(31)，n(cosA， sinA)。 若mn，且 acosBbcosAcsinC，则 B 。 16.在ABC 中，角 A，B，C 对的边分别为 a，b，c，a2，AB AC1，则ABC 面积 的最大值为 。 三
6、、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10 分)已知数列an和bn满足，a12，an12an (nN*)，bnn。 (1)求 an； 4 (2)记数列anbn的前 n 项和为 Tn，求 Tn。 18.(12 分)已知点 M(3，1)，直线 axy40 及圆(x1)2(y2)24。 (1)求过 M 点的圆的切线方程； (2)若直线 axy40 与圆相交于 A，B 两点，且弦 AB 的长为 23，求 a 的值。 19.在ABC 中，A60，c 3 7 。 (1)求 sinC 的值； (2)若 a7，求ABC 的面积。 20.(12 分)全国大
7、学生机器人大赛是由共青团中央，全国学联，深圳市人民政府联合主办的赛 事，是中国最具影响力的机器人项目，是全球独创的机器人竞技平台。全国大学生机器人大 赛比拼的是参赛选手们的能力，坚持和态度，展现的是个人实力以及整个团队的力量。某赛 季共吸引全国 240 余支机器人战队踊跃报名，这些参赛战队来自全国六大赛区，150 余所高 等院校，其中不乏北京大学，清华大学，上海交大，中国科大，西安交大等众多国内顶尖高 校，经过严格筛选，最终由 111 支机器人战队参与到该赛季的全国大学生机器人大赛的激烈 角逐之中，某大学共有机器人”兴趣团队 1000 个，大一、大二、大三、大四分别有 100， 200，300
8、，400 个，为挑选优秀团队，现用分层抽样的方法，从以上团队中抽取 20 个团队。 (1)应从大三抽取多少个团队? (2)将 20 个团队分为甲、乙两组，每组 10 个团队，进行理论和实践操作考试，甲组的分数如 下： 甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142 从甲组中不低于 140 分的团队中任取两个团队，求至少有一个团队为 144 分的概率。 21.(12 分)如图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点。 5 (1)求证：PABD； (2)当 PA/平面 BDE 时，
9、求三棱锥 EBCD 的体积。 22.(12 分)已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，且 an22an4Sn1(nN*)。 (1)求数列an的通项公式； (2)若 bn n 2n 12n 1 a1 SS ，数列bn的前 n 项和为 Tn，求 Tn的取值范围。 岑溪市岑溪市 2020 年秋季学期年秋季学期期中考试期中考试 高高中二年级数学科参考答案中二年级数学科参考答案 一、选择题：选择题： 1【答案】C 【解析】 集合 | 12Axx 剟 ， |10 |1Bx xx x ， |2ABx x 故选：C 2【答案】B 【解析】由等差数列的性质得 1735 aaaa，因为 1 2a ， 35 10
10、aa，所以 7 8a ， 选 B 3【答案】A 【解析】角 的终边过点(4，3)，cos 4 5. 故选 A. 4【答案】D 【解析】直线l过点(0,3)，斜率为1，所以直线l的方程为30 xy 5【答案】A 【解析】 cosyx= 是偶函数且有无数多个零点，sinyx=为奇函数，lnyx=既不是奇函数 又不是偶函数， 2 1yx=+是偶函数但没有零点故选 A 6【答案】D 7【答案】B 6 【解析】根据图象可知2A， 22 2 2362 T T T ， 所以 2sin 2f xx， 由图象可知 22 2sin2,sin1 333 f ， 由于 2 ，所以 2 326 . 所以( )2sin(
11、2) 6 f xx .故选：B 8【答案】C 【解析】取特殊值可排除 A、B、D，由均值不等式可得 222 13132 22aaa aa 9【答案】C 【解析】（1）中相邻的两个编号为 053，098，则样本组距为98 5345样本容量为 900 20 45 则对应号码数为53452n 当20n时，最大编号为53 45 18863，不是862，故（1）错误 （2）甲组数据的方差为 5，乙组数据为 5、6、9、10、5，则 569 105 7 5 x 乙 乙组数据的方差为 222221 576797107574.45 5 那么这两组数据中较稳定的是乙，故（2）错误 （3）若两个变量的线性相关性越
12、强，则相关系数r的绝对值越接近于 1，故错误 （4）按 3:1:2 的比例进行分层抽样调查，若抽取的 A 种个体有 15 个， 则样本容量为 3 1530 3 12 ，故正确 综上，故正确的个数为 1。故选C 10【答案】D 【解析】 2 3 3 4 sin 3 3 sin 3 2 sin 3 sin 3 2020 sin 3 2 sin 3 sin s 7 11【答案】B 【解析】设( , )P x y，因为2PAPB，所以 2222 (2)2 (1)xyxy 22 (2)4xy 因此PQ最大值为两圆心距离加上两圆半径，即为 22 (22)3 +2+ 3=5+ 3 故选：B 12【答案】B
13、【解析】ABC中, 30 ,18075105 ,45BACABCACB ,又 600ABm,由 600 sin45sin30 BC ,得300 2 ,BC m Rt BCD中, 3 tan30300 2 3 CDBC 100 6m ,故选 B. 二、填空题二、填空题 13【答案】2 【解析】作出可行域如图所示， 目标函数 2zxy 转化为直线 11 22 yxz ， 1 2 z为直线的纵截距， 数形结合知当直线 11 22 yxz 过点2,0时纵截距取得最小值，此时 z 取得最小值 2. 故答案为：2 14【答案】6 4 2 8 【解析】因为21xy，则 14148 22464 2 yx xy
14、 xyxyxy . 15【答案】 6 【解析】根据题意,mn 3cossin0 3 AAA 由正弦定理可得 2 sincossincossinABBAC 2 sin()sinABC 2 sinsinCCsin1C 2 C 则 6 BA C=-=,所以答案为 6 。 16【答案】 2 【解析】 ， 当且仅当3bc时ABC的面积取到最大值为2. 三、解答题三、解答题 17【解析】（1）由 1 2a ， 1 2 nn aa ， 可知 n a是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， . 2 分 所以2n n a . 4 分 （2）由（）知，2n nn a bn， . 5 分 故 23 22 23 22
15、n n Tn 2341 222 22 21 22 nn n Tnn ， . 7 分 得 132 22222 nn n nT22)1 ( 1 n n. . 9 分 9 所以 1 1 22 n n Tn . 10 分 18【解析】 (1)(31)2(12)24，M 在圆外， . 1 分 当过点 M 的直线斜率不存在时，易知直线 x3 与圆相切 . 2 分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 y1k(x3)，即 kxy3k10， 3 分 直线与圆相切， |k213k| k21 2，解之得 k 3 4， . 5 分 切线方程为 y1 3 4(x3)，即 3x4y50. . 6 分 所求的切线方程为 x
16、3 或 3x4y50. . 7 分 (2)圆心到直线的距离 d |a2| 1a2，又 l2 3，r2， . 9 分 由 r2d2( l 2) 2，可得 a3 4. . 12 分 19【解析】 （1）因为60A， 3 7 ca，由正弦定理可得 3333 3 sinsin 77214 CA . 4 分 （2）若7a，则3c ，CA， . 5 分 22 sincos1CC，又由 1可得 13 cos 14 C ， .7 分 31313 34 3 sinsinsin coscos sin 2142147 BACACAC， . 9 分 114 3 sin7 36 3 227 ABC SacB . 11
17、分 20【解析】（1）由题知，大三团队个数占总团队数的 3003 100010 ， . 2 分 则用分层抽样的方法，应从大三中抽取 3 206 10 个团队. . 4 分 （2）不低于 140分的团队共 5个，其中 140 分的团队有 3 个，分别为a，b，c，144 分的 团队有 2个，分别为E，F， . 6 分 则任取两个的情况有 , a b，, a c，, a E，, a F，, b c，, b E，, b F，, c E，, c F，,E F， 10 共 10 个， . 8 分 其中两个团队都是 140分的情况有, a b，, a c，, b c，共 3 个. .10 分 故所求概率
18、37 1 1010 P . . 12 分 21【解析】（1）因为PAAB，PABC，所以PA 平面ABC， . 2 分 又因为BD 平面ABC，所以PABD .4 分 （2）因为PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE，所以PADE . 6 分 因为ABBC，D为AC的中点， 所以BDAC， 1 1 2 DEPA， 2BDDC . 8 分 由（）知，PA 平面ABC，所以DE 平面ABC . 10 分 所以三棱锥EBCD的体积 111 363 DBC VSDEBD DC DE . 12 分 22【解析】（1）当1n 时，由 2 241 nnn aaS，得 2 111 241aaa，得 1 1a
19、 ， . 1 分 由 2 241 nnn aaS，得 2 111 241 nnn aaS ， 两式相减，得 22 111 224 nnnnn aaaaa ， . 2 分 即 22 11 20 nnnn aaaa ， 即 11 20 nnnn aaaa .3 分 因为数列 n a各项均为正数，所以 1 0 nn aa ，所以 1 2 nn aa 所以数列 n a是以1为首项，2为公差的等差数列 4 分 因此， 12(1)21 n ann ， 即数列 n a的通项公式为21 n an 5 分 （2）由（1）知21 n an，所以 2 (121) 2 n nn Sn ， . 6 分 11 所以 22
20、 2121 12 (21) (21) n n nn an b SSnn 22 111 4(21)(21)nn ，. 7 分 所以 222222 246 133557 n T 22 2 (21) (21) n nn ， 2222222 11111111 1 433557(21)(21)nn 2 11 1 4(21)n ， . 8 分 令 2 1 ( )1 (21) f n n ，则 (1)( )f nf n 2222 118(1) 0 (21)(23)(23) (21) n nnnn ， .10 分 所以 f n是单调递增数列，数列 n T递增，所以 1 2 9 n TT，又 1 4 n T ， 11 分 所以 n T的取值范围为 2 1 , 9 4 12 分
