1、 - 1 - 绝密启用前绝密启用前 广西玉林师院附中、玉林十一中等五校广西玉林师院附中、玉林十一中等五校 2020-2021 学年高二上学期期中考试数学学年高二上学期期中考试数学 （文）试题（文）试题 考试时间：120 分钟；命题人：谭春 审题人：李益善 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第第 I I 卷（选择题）卷（选择题） 一、单选题一、单选题（每小题每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1已知: 2p x ，:1q x ，则p是q的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2椭圆 22 41xy
2、的离心率为（ ） A 3 2 B 3 4 C 2 2 D 2 3 3太阳能是一种资源充足的理想能源，我国近 12个月的太阳能发电量（单位：亿千瓦时）的 茎叶图如图，若其众数为x，中位数为y，则x y（ ） A19.5 B2 C21 D11.5 4判断如图所示的图形中具有相关关系的是（ ） A B - 2 - C D 5阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ） A2 B4 C8 D16 6从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球， 那么互斥而不对立的事件是（ ） A至少有一个红球与都是红球 B至少有一个红球与都是白球 C恰有一个红球与恰有二个红球 D至少有一个红球
3、与至少有一个白球 7从全体高二同学的期末考试成绩中，随机抽取了 100位同学的数学成绩进行分析，在录入 数据时，统计员不小心将 100 位同学中的最高成绩 148 分录成了 150 分，则在计算出的数据中 一定正确的是（ ） A平均分 B方差 C中位数 D标准差 8党的十八提出：倡导“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、 诚信、友善”社会主义核心价值观.现将这十二个词依次 写在六张规格相同的卡片的正反面（无 区分） ， （如“富强、 民主”写在同一张卡片的两面） ， 从中任意抽取 1 张卡片， 则写有“爱国”“诚 信”两词中的一个的概率是（ ） A 1 3 B 1 6
4、C 5 6 D 2 3 9椭圆 2 2 1 2 x y上的点到直线27xy距离最近的点的坐标为（ ） A 4 1 , 3 3 B 41 , 33 C 4 17 , 33 D 417 , 33 10已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 离心率为 3 2 ，点2,0A 在C上，则椭圆的短轴 - 3 - 长为（ ） A1 B 3 C2 D2 3 11祖冲之是中国南北朝时期的著名的数学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之 后的七位，比欧洲早了近千年为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三 角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率的值正三角形的边长为 4，若总豆 子
5、数1000n，其中落在圆内的豆子数618m，则估算圆周率的值是（为方便计算 3取 1.70，结果精确到 0.01）（ ） A3.13 B3.14 C3.15 D3.16 12数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C： 22 1 |xyx y 就是其中之一（如 图）.给出下列三个结论： 曲线 C 恰好经过 6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2； 曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3. 其中，所有正确结论的序号是 A B C D 第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题） 二、填空题二、填空题 - 4 - 132020年新冠肺炎疫情期
6、间，为停课不停学，某高中实施网上教学该高中为了解网课学 习效果，组织了一次网上测试并利用分层抽样的方法从高中 3个年级的学生中随机抽取了 150人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了 40 人，50 人，若高三年级有学生 1200人， 则该高中共有学生_人 14下表是x，y之间的一组数据： x 0 1 2 3 4 y 5 7 8 c 19 且y关于x的回归方程为 3.23.6yx ，则表中的c_. 15设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为 F，过 F 作 C的一条渐近线的垂线垂足为 A，且| | 2|OAAF ，O为坐标原点，则 C 的离心率为_ 16有下列命
7、题 命题“xR，使得 x2+13x”的否定是“xR，都有 x2+13x”； 设 p、q 为简单命题，若“pq”为假命题，则“pq为真命题”； “a2”是“a5”的充分不必要条件； 若函数 f（x）（x+1）（x+a）为偶函数，则 a1； 其中所有正确的说法序号是 三、解答题三、解答题 17已知某大学有男生 14000 人，女生 10000 人，大学行政主管部门想了解该大学学生的运动 状况， 按性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取 120人， 统计他们平均每天运动的时间 （单 位：小时）如表： 男生平均每天运动的时间 0,0.5) 0.5,1) 1,1.5) 1.5,2) 2,2.5) 2.5
8、,3) 人数 2 12 23 18 10 x 女生平均每天运动的时间 0,0.5) 0.5,1) 1,1.5) 1.5,2) 2,2.5) 2.5,3) 人数 5 12 18 10 3 y - 5 - （1）求实数 , x y的值； （2）若从被抽取的 120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围0,0.5)的人中随机抽取 2 人，求“被抽取的 2人性别不相同”的概率. 18已知：双曲线:C 22 1 169 xy . （1）求双曲线C的焦点坐标、顶点坐标、离心率； （2）若一条双曲线与已知双曲线C有相同的渐近线，且经过点(2 3, 3)A，求该双曲线的 方程. 19 设命题 :p 实数x满足
9、 22 320 xaxa， 其中0a； 命题 :q 实数x满足 3 log11x. （1）当1a 时，若命题p和命题q皆为真命题，求x的取值范围； （2）若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 20已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是3yx ，且双曲线过点2, 3. （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线右焦点F作倾斜角为 4 的直线交双曲线于A、B两点，求AB. 212020年上半年受新冠疫情的影响，国内车市在上半年累计销量相比去年同期有较大下降， - 6 - 国内多地在 3月开始陆续发现促进汽车消费的政策，开展汽车下乡活动，这也是继 2009年首 次汽车下乡之后开启的又一次
10、大规模汽车下乡活动.某销售商在活动的前 2天大力宣传后，从 第 3天开始连续统计了 6天的汽车销售量（单位：辆）如下： 第x天 3 4 5 6 7 8 销售量y（单位：辆） 17 20 19 24 24 27 （1）从以上 6 天中随机选取 2天，求这 2天的销售量均在 24 辆以上（含 24辆）的概率； （2）根据上表中前 4组数据，求y关于x的线性回归方程 ybxa； （3）用（2）中的结果计算第 7、8 天所对应的 y ，再求 y 与当天实际销售量y的差，若差值 的绝对值都不超过 1，则认为求得的线性回归方程“可行”，若“可行”则能通过此回归方程 预测以后的销售量.请根据题意进行判断，（
11、2）中的结果是否可行？若可行，请预测第 10天 的销售量；若不可行，请说明理由. 参考公式：回归直线 ybxa中斜率和截距的最小二乘估计分别为 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ， aybx. 22椭圆E： 22 22 10 xy ab ab 经过点 0, 1A， 23 , 22 B . （1）求椭圆E的方程； （2）经过点1,1的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），则直线AP与AQ的 斜率之和是否为定值？如果是请求出该定值，如果不是请说明理由. 参考答案参考答案 - 7 - 1A【详解】设命题p:2x 对应的集合为 |2Ax x, 命题q :1x 对应的集合
12、为 |1Bx x, 因为 AB,所以命题p 是命题q的充分不必要条件.故选 A. 2A【详解】 解：因为 22 41xy，所以 2 2 1 1 4 y x ，则1a ， 1 2 b ， 所以 22 2 2 3 4 ab e a ，又因为0e，所以 3 2 e .故选：A. 3D【详解】 由题意可知众数为77x,中位数为 6467 =65.5 2 y ,所以7765.5=11.5xy. 4C【详解】根据图象可得 A,B 为连续曲线，变量间的关系是确定的，不是相关关系， C中散点分布在一条直线附近，可得其线性相关， D中散点分布在一个长方形区域，即非线性相关，故选：C 5C【详解】 从装有 5 个
13、红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球，不同的取球情况共有以下几种： 3 个球全是红球；2 个红球和 1 个白球；1 个红球 2 个白球；3 个全是白球. 选项 A 中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件； 选项 B 中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件； 选项 D 中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2 个红球 1 个白 球”与“1 个红球 2 个白球”； 选项 C 中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有 2 个红球”互斥不对立，故选 C. 6C【解析】试题分析：根据程序框图可知，程序运行时，列出数值 S 与 n 对应变化情况， 从而求
14、出当 S=2 时，输出的 n 即可 解：由框图可知，程序运行时，数值 S 与 n 对应变化如下表： s= -1 2 n= 2 4 8 故 S=2 时，输出 n=8 故选 C - 8 - 7C【详解】 将最高分 148分录成了 150 分，则把 100 个数据从小到大排列，中间的两个数没有发生变化， 所以一定正确的数据为中位数.故选：C 8A【详解】 由题意，基本事件为抽到写有富强、民主；文明、和谐；自由、平等；公正、法治；爱国、 敬业；诚信、友善的卡片，共有 6 个， 其中抽到写有“爱国”“诚信”两词中的一个的事件为：抽到写有爱国、敬业的卡片，抽到写有诚 信、友善的卡片，共有 2 个，所以由古
15、典概型概率公式知： 21 63 P ，故选：A 9B【详解】设和椭圆 2 2 1 2 x y相切且与直线27xy平行的直线方程为2yxb， 所以 2 2 1 2 2 x y yxb 得 22 98202xbxb， 因为直线和圆相切，所以 22 362)64(20bb，所以3b， 3b时，2 7xy 与23yx的距离为 4 5 5 ， 3b时，2 7xy 与 23yx 的距离为2 5 4 5 5 此时直线虽然与椭圆相切，但是在椭圆的上方，舍去， 所以3b， 所以 2 2 1 2 23 x y yx ，得 2 924160 xx，解得切点坐标为 41 , 33 ，故选：B. 10C【详解】因为 3
16、 2 c a ，2a，所以3c ，所以 22 1bac ，故选：C. 11C【详解】由题意可得，S正三角形4 3，内切圆的半径r内 2 3 3 ，S内切圆 4 3 ， 则 4 618 3 10004 3 S S 内切圆 正三角形 ，3.15183.15故选：C 12C【详解】 - 9 - 133000 【详解】 由已知可知，高三年级抽取的学生数为150 40 5060， 设该高中的学生总数为 n，则 60150 1200n ， 解得3000n，即该高中的学生共有 3000人故答案为：3000 1411【详解】 回归直线经过样本中心点, x y， 01234 2 5 x ， 3.2 23.610
17、y ， 57819 10 5 c ，解得11c. 故答案为：C 15 5 2 【详解】 由题意可得 |1 tan |2|2 AFAF AOF OAAF ， 渐近线方程为 b yx a ， 1 2 b a ， 2 2 222 2 222 5 4 4 a a cab e aaa ，故 5 2 e 故答案为： 5 2 16【详解】 解：命题“xR，使得 x2+13x”的否定是“xR，都有 x2+13x”，故错误； - 10 - 设 p、q 为简单命题，若“pq”为假命题，则“pq为真命题”，故正确； “a2”是“a5”的必要不充分条件，故错误； 若函数 f（x）（x+1）（x+a）为偶函数， 则 f
18、（x）f（x），即（x+1）（x+a）（x+1）（x+a）， 即 x2（a+1）x+ax2+（a+1）x+a， 则 a1，故正确； 故答案为 17【详解】 （1）男生 14000人，女生 10000人，男数：女数7:5， 故男生抽取了 7 12070 12 人，女生抽取了 50人，由 2 12 23 18 10705xx， 5 12 18 10348502yyy ， ； （2）从被抽取的 120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围0,0.5)的人中，有男生 2， 女生 5 人，共有 7 人 设男生为 12 ,A A,女生为： 12345 ,B B B B B 随机抽取 2 人不相同的情况有：
19、 121112131415 ,A A AB AB AB AB AB 2122232425 ,A BA BA BA BA B 12131415 ,B B B B B B B B 232425 ,B B B B B B 3435 ,B BB B 45 B B,总共有21种选法 性别不同的(即一男生一女生)有： 1112131415 ,AB AB AB AB AB 2122232425 ,A B A B A B A B A B，共10种选法， 随机抽取2人，“被抽取的2人性别不相同”的事件为C， 故 10 ( ) 21 P C . 18（1）双曲线:C 22 1 169 xy ，所以 4,3ab ，
20、 22 5cab ， 双曲线C的焦点坐标5,0 ，5,0，顶点坐标4,0，4,0，离心率 5 4 c e a （2）设所求双曲线的方程为： 22 169 xy ，将 2 3, 3A代入上式得： - 11 - 2 2 2 3 3 169 ， 解得： 1 4 所求双曲线的方程为： 22 4 1 94 yx 19【详解】（1）当1a 时， 2 320 xx， 所以120 xx， 解得12x；即命题p为真命题，则12x； 因为 3 log11x， 所以14x，即命题q为真命题，则14x； 若命题p和命题q皆为真命题， 所以 12 14 x x ，所以12x；即x的取值范围1,2 （2）因为 22 32
21、0 xaxa，0a， 所以20 xaxa， 解得2axa ， 因为 p 是 q 的必要不充分条件， 所以q是p的必要不充分条件， 即,2aa 是1,4的真子集， 则 1 24 a a ，则12a， 经检验，当1a 或2a时，都满足题意. 即实数a的取值范围 1,2. 20【详解】 （1）设双曲线方程为： 22 3xy，将点2, 3的坐标代入双曲线的方程得 3 2 33 ， 所以所求双曲线方程为 2 2 1 3 y x ； （2）易知双曲线右焦点的坐标为2,0，设点 11 ,A x y、 22 ,B x y， 直线AB的方程为2yx，联立 22 2 33 yx xy ，可得 2 2470 xx，
22、 164 2 772 ，由韦达定理可得 12 2xx ， 12 7 2 x x . 因此， 22 2 121212 7 1 1242246 2 ABxxxxx x . 21【详解】（1）设“从 6 天中随机选取 2天，这 2天的销售量均在 24 辆以上（含 24辆）” 为事件A， 这 6 个数据为 3、4、5、6、7、8，抽取两个事件的基本事件有： - 12 - 3,4，3,5，3,6，3,7，3,8，4,5，4,6，4,7， 4,8，5,6，5,7， 5,8，6,7，6,8，7,8，共 15 种， 其中事件A发生的基本事件包括6,7，6,8，7,8，共 3 种， 所以 31 155 P A
23、. （2）因为 34569 42 x ， 1720 1924 20 4 y ， 4 2 1 86 i i x ， 4 1 370 ii i x y ， 所以 1 22 1 9 370420 2 2 81 864 4 n ii i n i i x ynxy b xnx ， 9 20211 2 aybx ， 所以所求线性回归方程为211yx. （3）当7x 时，2 7 1125y ，此时24251 1 ； 当8x 时，2 8 1127y ，此时272701； 所以所求线性回归方程为211yx是“可行”的. 当10 x 时，2 10 1131y ； 所以预测第 10 天的销售量为 31 辆. 22【
24、详解】（1）由题意知 22 13 1 24ab ，1b，解得 2a ， 所以，椭圆E的方程为 2 2 1 2 x y. （2）由题设知，直线P、Q的方程为112yk xk，代入 2 2 1 2 x y， 得 22 124 (1)2 (2)0kxk kxk k ，由已知， 设 11 ,P x y， 22 ,Q xy， 12 0 x x ，则 12 2 4 (1) 12 k k xx k ， 12 2 2 (2) 12 k k x x k ， 从而直线AP与AQ的斜率之和 1212 1212 1122 APAQ yykxkkxk kk xxxx 12 1212 114 (1) 2(2)2(2)2(2) 2 (2) xxk k kkkkkk xxx xk k 2(21)2kk.
